1 函数的微分 微分的定义 微分的几何意义 基本初等函数 的微分公式与 微分的运算法则 微分在近似计算中的应用 微分的近似计算 误差估计 基本初等函数的微分公式 和、差、积、商的微分法则 复合函数的微分法则.

Presentation on theme: "1 函数的微分 微分的定义 微分的几何意义 基本初等函数 的微分公式与 微分的运算法则 微分在近似计算中的应用 微分的近似计算 误差估计 基本初等函数的微分公式 和、差、积、商的微分法则 复合函数的微分法则."— Presentation transcript:

1

2 1 函数的微分 微分的定义 微分的几何意义 基本初等函数 的微分公式与 微分的运算法则 微分在近似计算中的应用 微分的近似计算 误差估计 基本初等函数的微分公式 和、差、积、商的微分法则 复合函数的微分法则

3 2 第七节 函数的微分 一. 微分的定义： 1. 实例 —— 函数增量的构成 x0x0 x0x0 函数的增量由两部分构成：

4 3 2 、微分的定义 设函数 y=f(x) 在某区间内有定义， 区间内，如果函数的增量可表示为 （1）（1） 其中是不依赖于的常数，而是比高阶无穷小， 那么称函数 在点是可微的，而 叫做函数 相应于自变量增量  x 的微分， 在点 记作 dy ，即： 及在这定义

5 4 设函数 在点 可微, 则有 (1) 成立，即 等式两端除以 因此, 如果函数 在点可微，则在点 也一定可导, 且 3 、问题：函数可微的条件是什么？ 于是, 当时, 由上式就得到 根据极限与无穷小的关系, 上式可写为 反之, 如果在存在, 可导, 即

6 5 则 故上式相当于 (1) 式, 在点 可微。 则 4. 函数可微的充要条件： 如函数的微分为 显然，函数的微分 与和有关。 函数在任意点的微分, 称为函数的微分, 记作 即

7 6 5 、微分的几何意义 x y M0M0 N P Q x0x0 T O 当 很小时，

8 7 例 1 求函数 解 函数 例 2 求函数 解 先求函数在任意点的微分

9 8 通常把自变量的增量称为自变量的微分. 记作 即 则函数 的微分又可记作： 这表明, 函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数. 因此, 导数也叫 “ 微商 ”. 导数（微商）即微分之商。

10 9 二. 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 1. 基本初等函数的微分公式 导数公式 微分公式

11 10 2. 函数的和、差、积、商的微分法则

12 11 函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则 3. 复合函数的微分法则 —— 微分公式的形式不变性。 由此可见，无论是自变量还是中间变量的可微函数，微分形式 保持不变 。这一性质叫做微分形式不变性。

13 12 4 、利用微分公式的形式不变性计算 利用微分公式的形式不变性，不仅可以求函数的微分，而且 可以求导数，只要把微分运算进行到只剩自变量的微分，就可以 得到函数的导数。 例3：例3：

14 13 2 、分别按照 dx 、 dy 合并同类项。 得到 g 1 (x,y) dy = g 2 (x,y) dx 利用微分公式的形式不变性，求隐函数的微分和导数的步骤： 1 、不论自变量还是函数，对方程两边求微分。并将微分进行 到 dy 、 dx 。 3、3、

15 14 在求复合函数的微分时，也可以不写出中间变量。 解 解 把 2x+1 看成中间变量 u ，则 例4例4 求 例5例5 求

16 15 例 7 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。 解:解: 解 应用积的微分法则得： (1) 因为 例6例6 求

17 16

18 17 第八节 微分在近似计算中的应用 解： 例1：例1：

19 18 解： 例2：例2：

20 19 利用上式可导出工程上常用的几个公式 （ ）： 假定很小 在 式中，取 得

21 20 解 解

22 21 绝对误差： 相对误差： 在实际工作中，由于某个量的精确值往往是无法知道的， 所以绝对误差和相对误差无法求得。

23 22 绝对误差 限： 相对误差限：

24 23 解： 通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差。 例5：例5：

25 24 小 结： 4 ．近似计算公式 5 ．工业上常用的几个近似公式 6. 绝对误差与相对误差的定义及计算 1 ．微分的定义、公式 2 ．微分的几何意义 3 ．基本初等函数的微分公式与微分运算法则 作业 : 习题 2-7 ， 2-8 ，总习题二 学习指导 例题 2.15,2.16 ， 第二章自测题 第二章自测题 作业纸： P16 下次交 P15--16 下次交 P15--16