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第 14 章 常微分方程的 MATLAB 求 解 编者. Outline 14.1 微分方程的基本概念 14.2 几种常用微分方程类型 14.3 高阶线性微分方程 14.4 一阶微分方程初值问题的数值解 14.5 一阶微分方程组和高阶微分方程的数值解 14.6 边值问题的数值解.

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1 第 14 章 常微分方程的 MATLAB 求 解 编者

2 Outline 14.1 微分方程的基本概念 14.2 几种常用微分方程类型 14.3 高阶线性微分方程 14.4 一阶微分方程初值问题的数值解 14.5 一阶微分方程组和高阶微分方程的数值解 14.6 边值问题的数值解

3 14.1 微分方程的基本概念 微分方程:一般的,凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微 分方程,有时也简称方程。 微分方程的阶:微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做微分方程的阶 微分方程的解:找出这样的函数,把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。这个函数 就叫做微分方程的解。 微分方程的通解:如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数 相同,这样的解叫做微分方程的通解。 初始条件:设微分方程中的未知函数为 ,如果微分方程是一阶的,通常用来确定任 意常数的条件是 时, 或写成 其中 都是给定的值;如果微分方程是二阶的,通常用来确定任意常数的条件是 其中 和 都是给定的值,上述这种条件叫做初始条件。 确定了通解中的任意常数以后,就得到微分方程的特解。求微分方程 满足初始条 件 的特解是这样一个问题,叫做一阶微分方程的初值问题,记作 微分方程的解的图形是一条曲线,叫做微分方程的积分曲线。

4 14.2 几种常用微分方程类型 1. 可分离变量的微分方程 一般的,如果一个一阶微分方程能写成 的形式,就是说,能把微分方程写成一端只含 的函数和 ,另一端只含 的函数和 ,那么原方程就称为可分离变量的微分方程。 2. 齐次方程 如果一阶微分方程可化成 的形式,那么就称这方程为齐次方 程。 3. 一阶线性微分方程 线性方程:方程 叫做一阶线性微分方程因为 它对于未知函数 y 及其导数是一次方程。如果 , 则上述方程称为齐次的;如果 , 则上述方程称为非齐次的。为了求出非齐次线性方程的解,我们先把 换成 零而写出方程 该方程叫做对应于非齐次线性方程的齐次线性方程。齐次线性方 程的通解为 非齐次线性方程的通解为 伯努利方程:方程 叫做伯努利( Bernoulli )方程。当 时,该方程是线性微分方程,当 时,该方程不是线性的,但是通过变量的替换,便 可把它化为线性的

5 4. 可降阶的高阶微分方程 型的微分方程:微分方程 的右端仅含有自变量 x ,容易看出,只 要把 作为新的未知函数,那么微分方程 即化为新未知函数 的一 阶微分方程,两边积分,就得到一个 阶的微分方程 同理可得 依此法继续进行,接连积分 n 次,便得到方程 的含有 n 个任意常数的通解。 型的微分方程 : 方程的右端不显含未知函数 y 。如果我们设 ,那么 因此,方程 就成为 ,这是一个关于变量 的一阶微分方程 ,设其通解为 ,又 因此又得到一个一阶微分方程 对它进行积分,便得到方程 的通解为 型的微分方程:方程中不显含自变量 x ,为了求出它的解,我们令 ,并利用复合函数求导法则把 化为对 的导数,即 这样,方程 就成为 这是一个关于变量 的一阶微分方程 ,设它的通解为 分离变量并积分,便得方程 的通解为

6 14.3 高阶线性微分方程 1. 线性微分方程解的结构 在 n 阶微分方程 中, 若 是 的一次有理整式,则称此方程为 n 阶线性微分方程。一般形式可写成: 线性微分方程解的结构定理: 如果 是方程 的 n 个线性无关的解,则该方程的通解为 其中 是任意常数。 设 是方程 的一个特解, 是对应的齐次线性方程的通解,则 是上述方程的通解。 若 和 分别是方程 与 的特解,则 是方程 的特解 2. 常系数线性微分方程的 MATLAB 符号求解 MATLAB 中提供了 dsolve 函数求解微分方程(组)。该函数允许用字符串的形式描述微分方 程及初值、边值条件,最终将给出微分方程的解析解。

7 14.4 一阶微分方程初值问题的数值解 1. 欧拉法及其 MATLAB 实现 对于一阶微分方程的初值问题 ,若要求其数值解,我们可以采用 离散化方法。在求解区间 上取一组节点: 称 为步长。为简单起见,仅考虑等距步长 ,即 将方程 的两端在区间 上积分,得到 即 应用左矩形公式 : ,则有 略去上式中的 ,得 考虑到 ,设已求得 , 的 1 个近似值 ,则由上式可得 由 可依次求出 。称上式即为求解初值问题的 Euler 公式。

8 2. Runge-Kutta 法及其 MATLAB 实现 考虑微分方程 ,由 Lagrange 微分中值定理,存在 ,使得 于是,由 得 记 ,则称 为区间 上的平均斜率。这样,只要给 出了 的一种算法,就可以得到求解微分方程初值问题的一种计算公式。显然,显式 Euler 公式就是以 作为平均斜率 的近似。 经典四阶 Runge-Kutta 方法的迭代公式:

9 14.5 一阶微分方程组和高阶微分方程的数值解 1. 一阶微分方程组 前面研究的是求解单微分方程 的数值解法,对于微分方程组,只需将 y 理解成向量, 理解成向量函数,那么对前面研究过的各种计算公式即可用到一阶 微分方程组上来。 2. 高阶微分方程 对于高阶微分方程组的数值求解,首先应将其变换成一阶显式常微分方程组。其具体 转换方法如下:( 1 )将微分方程的最高阶变量移到等式的左边,其他移到右边,并按阶次 从低到高排列,(这里以两个高阶微分方程的转换为例)假设两个高阶微分方程最后能够 显式的表达成下述形式: ( 2 )为每一阶微分式选择状态变量,最高阶除外 ( 3 )根据( 2 )中选用的状态变量,写出所有状态变量的一阶微分的表达式 最后,对初值进行相应的变换,就可以得到所期盼的一阶微分方程组了。 3. 微分方程组的 MATLAB 求解函数 MATLAB 提供了一系列的函数来求解微分方程组,包括 ode 系列函数,另外还提供了 几类特殊的微分方程的求解函数,例如 ode15s , ode15i 等。

10 14.6 边值问题的数值解 1. 打靶法 打靶法也称为试射法,其基本思想是把边值问题作初值问题来求解,从满足 左端边界条件的解曲线中寻找也满足右端边界条件的解。 线性方程边值问题的打靶法: 考虑如下给出的二阶线性边值问题 该边值问题的打靶法求解过程可以由如下步骤完成:( 1 )计算下面齐次微分方程在区间 上的数值解 , ,初值条件: ;( 2 )计算下面齐 次微分方程在区间 上的数值解 , ,初值条件: ;( 3 )计算下面初值问题在区间 上的数值解 , ,初值条件 : ;( 4 )若 ,则 计算 ;( 5 )计算下面初值问题的数值解,则 即为原边值问 题的数值解 ,初值条件:

11 非线性方程边值问题的打靶法: 考虑二阶常微分方程 的边值问题,边界条件为 。假定 该问题可以转换为下面的初值问题 则问题转化为求解 ,这是一个复杂的超越方程,可以考虑引入牛顿迭代法求 解参数 m 。具体的迭代公式为: 式中 通过这些关系可以建立方程 具体计算中可以指定一个 m 值,然后求解上面的初值问题,将结果代入上面的迭代公式中 迭代一步,并将结果代入上式中重新计算,直至两次计算出来的 m 值的误差在允许的范围 内为止,最后将 m 值代入初值问题 即可求解原始问题。

12 2. 边值问题的 MATLAB 函数求解 MATLAB 能求解的边值问题的一般形式如下 其中 y 为状态变量向量 为方程中其他未知参数向量。该方程已知的边界值为 MATLAB 提供了专门求解边值问题的 bvp 解算器 bvpslover 。要想求解一个常微分方程 的边值问题,一般应该遵循以下几个步骤: ( 1 )参数初始化 ( 2 )微分方程和边值问题的 MATLAB 函数描述 ( 3 )边值问题的求解

13 谢谢大家!


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