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第七节 函数的微分 一 、微分 概念 二、微分的几何意义 三、 基本初等函数的微分公 式与 微分运算法则 四 、小结.

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1 第七节 函数的微分 一 、微分 概念 二、微分的几何意义 三、 基本初等函数的微分公 式与 微分运算法则 四 、小结

2 一、微分( differential )的定义 1. 问题提出 (1) 在实际问题中, 我们常常考虑当 时 的变化情况?的变化情况? 例 1: 圆钢截面积, 测量直径 D 的误差为△ D, 由此计算截面积时引起 的误差△ S?

3 解得 : 分析 :

4 再例如,

5 (2) 能否找到 的一个近似表达式, 要求 : 简单 误差小 如上面两个例题 : 简单 误差小

6 一般而言: 对函数 在点 处的增 量, 考虑到函数的增量 能否写成 形式,这样的常数能否存在.一般而言: 对函数 在点 处的增 量, 考虑到函数的增量 能否写成 形式,这样的常数能否存在.

7 2 、定义 ( 微分的实质 )

8 由定义知 :

9

10 ? 下面要解决的问题就是 : 能否写成 : 什么条件下 A 存在, 值又是什么 ? 换言之 : 为 的线性主部, 即

11 定理 证 (1) 必要性 3. 可微与可导的关系

12 (2) 充分性

13 4. 问题的解决

14 例1例1 求函数 在 x=1 和 x=3 处的微分。 解: 函数 在 x=1 处的微分为函数 在 x=3 处的微分为

15 例2例2 解

16 5. 自变量的微分

17 二、微分的几何意义 M N T ) 几何意义 :( 如图 ) P

18 三、 基本初等函数的微分公式 与微分运算法则 求法 : 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1 、基本初等函数的微分公式

19 2 、函数和、差、积、商的微分法则

20 3 、复合函数的微分法则 结论: 微分形式的不变性

21 例3例3 解法 (1) 解法 (2)

22 例4例4 解法 (1) 解法 (2)

23 例5例5 解 例6例6 解

24 例7例7 解 在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使 等式成立.

25 四、小结 微分学所要解决的两类问题 : 函数的变化率问题 函数的增量问题微分的概念 导数的概念 求导数与微分的方法, 叫做微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学, 叫 做微分学. 导数与微分的联系 : ★ ★

26 导数与微分的区别 : ★

27 思考题

28 思考题解答 说法不对. 从概念上讲,微分是从求函数增量引 出线性主部而得到的,导数是从函数变化 率问题归纳出函数增量与自变量增量之比 的极限,它们是完全不同的概念.


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