1 第四章 数值积分与数值微分 — Gauss 求积公式. 2 内容提要 数值积分 数值微分 基本概念 Newton-Cotes 求积公式 复合求积公式 Gauss 求积公式 Romberg 求积公式 多重积分.

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1 1 第四章 数值积分与数值微分 — Gauss 求积公式

2 2 内容提要 数值积分 数值微分 基本概念 Newton-Cotes 求积公式 复合求积公式 Gauss 求积公式 Romberg 求积公式 多重积分

3 3 本讲内容 一般理论：公式，余项，收敛性，稳定性 Gauss-Legendre 求积公式 Gauss-Chebyshev 求积公式 无限区间的 Gauss 求积公式 Gauss 求积公式

4 4 Gauss 型求积公式 考虑求积公式 含 2n+2 个参数 ( 节点与系数 ) ，为了使该公式具有 尽可能高的代数精度，可将 f (x) = 1, x, x 2, …, x 2n+1 代入公式，使其精确成立，则可构造出代数精度至 少为 2n+1 的求积公式 ! 怎样构造更高精度的求积方法 自由选取求积节点！等分点不一定最佳！

5 5 举例 例： 试确定节点 x i 和系数 A i ，使得下面的求积公式具有尽 可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。 解： 将 f (x) ＝ 1, x, x 2, x 3 代入求积公式，使其精确成立，可得 该公式对 f (x) ＝ x 4 不精确成立，故有 3 次代数精度！ 缺点：非线性方程组求解较困难！

6 6 Gauss 型求积公式 一般情形：考虑机械带权求积公式 定义 ： 若存节点在 x i  [a, b] 及系数 A i ，使得上面的求积 公式具有 2n+1 次代数精度，则称节点 x i 为高斯点， A i 为 高斯系数，求积公式为 高斯型求积公式 性质：上面的求积公式至多具有 2n+1 次代数精度 将 代入验证即可 Gauss 求积公式在所有机械求积公式中代数精度最高

7 7 Gauss 点 问题： 如何计算 Gauss 点 x i 和 高斯系数 A i 法一：解非线性方程组 太困难 !  法二：分开计算 先确定 Gauss 点 再通过解线性方程组计算 Gauss 系数

8 8 Gauss 点 定理： 上面的插值型求积公式中的节点 x i (i = 0, 1, …, n) 是 Gauss 点的充要条件是：多项式 与任意次 数不超过 n 的多项式 p(x) 都关于权函数  (x) 正交，即 证明 : 板书

9 9 Gauss 点 计算 Gauss 点的一般方法 求出  n+1 (x) 的表达式 计算其零点 与 1, x, x 2,..., x n 带权正交 特殊情形： (1) [a, b]=[-1, 1],  (x)=1 ， 则 Gauss 点即为 Legendre 多项式的零点 (2) [a, b]=[-1, 1], 则 Gauss 点即为 Chebyshev 多项式的零点 推论： 设 p 0 (x), p 1 (x), , p n (x),  是 [a, b] 上带权  (x) 正交的 多项式族，则 Gauss 点即为 p n+1 (x) 的零点！

10 10 举例 例： 试确定节点 x i 和系数 A i ，使得下面的求积公式具有尽 可能高的代数精度。 解：板书 Gauss 系数的计算 将 f (x) = 1, x, x 2, …, x n 代入，解方程 或利用 Lagrange 基函数

11 11 余项 设 p 2n+1 (x) 是 f(x) 在节点 x 0, x 1, , x n 上的 2n+1 次 Hermite 插值多项式, 即 余项公式

12 12 收敛性与稳定性 可以证明：当 a, b 为有限数，且 f (x)  C[a, b] 时 Gauss 型公式是收敛的 令 Gauss 型公式是稳定的

13 13 正交多项式 Gauss 公式 积分区间 : [-1, 1] ，权函数：  (x) = 1 利用正交多项式构造 Gauss 求积公式 积分区间 : [-1, 1] ，权函数： Gauss-Legendre 求积公式 Gauss-Chebyshev 求积公式

14 14 G-L 公式 积分区间 : [-1, 1] ， 权函数 :  (x) = 1 Gauss 点 = Legendre 多项式 p n+1 (x) 的零点 G-L 求积公式 : Gauss-Legendre 求积公式

15 15 低阶 G-L 公式 n =0 时, G-L 求积公式 : Gauss 点 : 将 f (x) ＝ 1 代入求出 A 0 n =1 时, 两点 G-L 求积公式 : Gauss 点 : 将 f (x) ＝ 1, x 代入 求出 A 0, A 1

16 16 低阶 G-L 公式 n =2 时, 三点 G-L 求积公式 : Gauss 点 :

17 17 更多 G-L 公式 当 n > 3 时，可用数值方法计算 P n+1 (x) 的零点 ( 教材 122 页 ) n 节点个数 Gauss 点 Gauss 系数 010.0000000 2.0000000 12 0.5773503 1.0000000 23 0.7745967 0.0000000 0.5555556 0.8888889 34 0.8611363 0.3399810 0.3478548 0.6521452 45 0.9061798 0.5384693 0.0000000 0.2369269 0.4786287 0.5688889 56 0.93246951 0.66120939 0.23861919 0.17132449 0.36076157 0.46791393

18 18 G-L 公式余项 余项公式   (-1, 1)

19 19 一般区间上的 G-L 公式 做变量代换 一般区间上的 G-L 求积公式 积分区间 : [a, b] ， 权函数 :  (x) = 1

20 20 G-L 公式举例 例： 用四点 G-L 公式 (n=3) 计算定积分 解： 令

21 21 G-C 公式 积分区间 : [-1, 1] ，权函数 : Gauss 点 = Chebyshev 多项式 T n+1 (x) 的零点 G-C 求积公式 : Gauss-Chebyshev 求积公式

22 22 G-C 公式 T n+1 (x) 的零点 (i = 0, 1, …, n) Gauss 系数 (i = 0, 1, …, n) G-C 求积公式 : 余项 :   (-1, 1)

23 23 低阶 G-C 公式 n = 0 n = 1 n = 2 两点 G-C 公式 三点 G-C 公式

24 24 G-C 公式举例 例： 用五点 G-C 公式计算奇异积分 解： 直接代公式可得 误差估计

25 25 无穷区间上 Gauss 公式 积分区间 : [0,  ] ，权函数： 无穷区间上的 Gauss 型求积公式 积分区间 : [- ,  ] ，权函数： Gauss-Laguerre 求积公式 Gauss-Hermite 求积公式 这两个求积公式的 Gauss 点和 Gauss 系数可以通过查表得 到，见教材 124 ， 125 页 。

26 26 几点注记 Gauss 型求积公式的优点 计算精度高 可计算无穷区间上的积分和奇异积分 Gauss 型求积公式的缺点 需计算 Gauss 点和 Gauss 系数 增加节点时需重新计算 复合 Gauss 求积公式 将积分区间分隔成若干小区间 在每个小区间上使用 Gauss 求积公式

27 27 作业 1. 教材第 136 页： 10 ， 11 提示： 暂无