§1 导数的概念 §1 导数的概念 §2 求导法则 §2 求导法则 §3 参变量函数的导数 §3 参变量函数的导数 §4 高阶导数 §4 高阶导数 §5 微分§5 微分.

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2 §1 导数的概念 §1 导数的概念 §2 求导法则 §2 求导法则 §3 参变量函数的导数 §3 参变量函数的导数 §4 高阶导数 §4 高阶导数 §5 微分§5 微分

3 §1 导数的概念

4 一. 导数的定义 1. 直线运动的瞬时速度问题 如图, 取极限得 瞬时速度

5 2. 切线的斜率 切线：割线的极限 M N T 割线 MN 绕点 M 旋 转而趋向 极限位置 MT, 直线 MT 就称 为曲线 C 在点 M 处 的切线.

6 2. 切线的斜率 切线：割线的极限 M T N

7 2. 切线的斜率 切线：割线的极限 M T N

8 2. 切线的斜率 切线：割线的极限 M T N

9 2. 切线的斜率 切线：割线的极限 M T N

10 2. 切线的斜率 切线：割线的极限 M T N

11 2. 切线的斜率 切线：割线的极限 M T N

12 2. 切线的斜率 切线：割线的极限 M T N

13 2. 切线的斜率 切线：割线的极限 M T N

14 2. 切线的斜率 切线：割线的极限 M T N

15 2. 切线的斜率 切线：割线的极限 M T N 割线 MN 绕点 M 旋 转而趋向 极限位置 MT, 直线 MT 就称 为曲线 C 在点 M 处 的切线.

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17 1. 点导数定义

18 导数定义其它常见形式： 即

19 1 ） 注1注1 2. 导函数定义

20 很明显 2）2） 3）3）

21 右导数 : 3. 单侧导数 左导数 : 判断函数在某一点可导的充分必要条件：

22 例2例2 解

23 由定义求导数举例 : 步骤 : 例3例3 解

24 例 6(1) 解 更一般地 例如,

25 例 6(2) 解

26 例 6(3) 解

27 再例 解

28 三. 导数的几何意义 1. 几何意义 切线方程为 法线方程为

29 导数几何意义的应用 1 、根据导数的几何意义，可以得到曲线 在定点 处的切线方程为： 2 、如果 ，则法线的斜率为 ，从而点 处法线方程为：

30 例 求曲线 在点（ 4 ， 2 ）处的切线方程和法线方程。 解： （ 1 ）函数 在 x=2 处的导数： （ 2 ）所求切线的斜率 即 （ 4 ）法线的斜率 ，故所求的法线方程为： 即 （ 3 ）由直线的点斜式方程可得曲线的切线方程为：

31 例 曲线 上哪些点处的切线与直线 平行？ 解：由导数的几何意义可知，曲线 在点 处的 切线的斜率为： 而直线 的斜率为 解此方程，得 将 代入曲线方程 ，得 。 根据两直线平行的条件有 所以，曲线 在点 处的切线与直线 平行。

32  练习 例 7 求曲线 在点（ 1 ， 1 ）处的切线方程和法线方程 解： 所以，切线方程为： 法线方程为： 即 即 即切线的斜率为：

33 例 解 根据导数的几何意义, 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为

34 2 简单的物理意义 1 ）变速直线运动中路程对时间的导数为物 体的瞬时速度. 2 ）交流电路中电量对时间的导数为电流强 度. 3 ）非均匀物体中质量对长度 ( 面积, 体积 ) 的 导数为物体的线 ( 面, 体 ) 密度.

35 可导与连续的关系 结论： 可导的函数一定是连续的。 证

36 比如 解 注意 : 反之不成立. 即连续不一定可导。

37 小结与思考判断题 1. 导数的概念与实质 : 增量比的极限 ; 3. 导数的几何意义与物理意义 : 5. 函数可导一定连续，但连续不一定可导 ; 4. 由定义求导数.

38 思考判断题 1 、初等函数在其定义区间内必可导 2 、初等函数的导数仍是初等函数

39 1 、利用幂函数的求导公式，求下列函数的导数

40 2 、熟记以下导数公式： （ 1 ） （ C) ‘ =0 （2）（2） ( 3) （4）（4） （5）（5） 八、作业 P94: 1 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7.

41 §2 求导法则

42 一. 导数的四则运算 定理 5.5

43 证 (1) (2) 略.

44 推论 例1例1 解

45 定理 5.6 推论 注意 :

46 例 解 定理 5.7

47 证

48 注意 :

49 例4例4 解 同理可得

50 例5例5 解 例 分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.

51 解

52 二. 反函数的导数 证 定理 5.8

53 于是有 即是反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

54 例 6(1) 解 特别地

55 例 6(2) 解 同理可得

56 例 6(3) 解 同理可得

57 三. 复合函数的求导法则 定理 5.9 链式法则（ Chain Rules) ： 证明

58 注 1 ：链式求导法则，即因变量对自变量求导, 等于因变量对中间变量求导, 乘以中间变量对自 变量求导.

59 注2注2 例 解

60 例 解 注：熟练以后，可以不写出中间变量，此例可以 这样写：

61 例 练习： 解

62 例 求 的导数。 解： 设 由 得

63 熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心， 由外及里、逐层求导。 例 求 的导数 解： ] ' y ' = [(3x+2) 5 ] ' =5(3x+2) 4 (3x+2)' =5(3x+2) 4 (3+0)=15(3x+2) 4 例 求 的导数 解： y ' =[(cosx) 2 ]' =2cosx (cosx) ' =2cosx (-sinx)

64 例 求 的导数 解： y ' ={[sin(x 3 )] 2 } ' =2sin(x 3 ) [sin(x 3 )] ' =2sin(x 3 ) cos(x 3 ) (x 3 ) ' =2sin(x 3 ) cos(x 3 ) 3x 2 =6x 2 sin(x 3 ) cos(x 3 ) 例 求 的导数 解： y ' ={ln[sin(4x)]} ' = [sin(4x)] ' = cos(4x)(4x) ' = cos(4x)

65 例 求 的导数 解：

66 练习 求下列函数的导数 1. 解： 2. 解： 3. 解：

67 4. 解 ：解 ：

68 例 求下列函数的导数 综合运用求导法则求导

69 例 求下列函数的导数 解： （1）（1）

70 解 ：解 ： （2）（2）

71 先化简再运用导数法则求导 例 求下列函数的导数 解 ：先将已知函数分母有理化，得 （1）（1）

72 解： 因为 所以 解：因为 所以 （2）（2） （3）（3）

73 练习 : 求下列函数的导数

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75 四、双曲函数与反双曲函数的导数

76 只证明其中一个公式

77 例 解

78 1 常数和基本初等函数的导数公式 五. 小结

79 2 函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(),(xvvxuu  可导，则 （ 1 ） vuvu   )(, （ 2 ） uccu  )( （ 3 ） vuvuuv  )(, （ 4 ） )0()( 2    v v vuvu v u. ( 是常数 )

80 3. 复合函数的求导法则 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解 决.

81 (1) 、复合函数求导的关键，在于首先把复合函数分解成初 等函数或基本初等函数的和、差、积、商，然后运用复合 函数的求导法则和适当的导数公式进行计算。求导之后应 该把引进的中间变量代换成原来的自变量。 (2) 、 熟悉了复合函数的求导法则后，可不写出中间变量， 直接由外及里、逐层处理复合关系进行求导。 (3) 、有些函数可先化简再求导。  作业 p102 2 ： (1) ~ (12) 3: (1) ~ (26)

82 六. 思考判断题 1. 幂函数在其定义域内一定可导。 2. 任何初等函数的导数都可以按常数和基本 初等函数的求导公式和上述求导法则求出. 3. 初等函数的导数仍为初等函数.

83

84 §3 参变量函数的导数

85 由参数方程所确定的函数的导数 消参数法 消参困难或无法消参的求导可用复合函数 求导方法 1 由参数方程确定的函数的定义 2 由参数方程所确定的函数的求导数的方法 例如

86 由复合函数及反函数的求导法则得

87

88 例 解 : 先求运动的方向

89 再求速度的大小

90 例 解 所求切线方程为

91 例 解

92 相关变化率问题 相关变化率解决的问题 : 已知其中一个变化率时求出另一个变化率

93 例 解

94 例 解

95 小结与思考判断题 隐函数求导方法 : 直接对方程两边求导 ; 对数求导法 : 对方程两边取对数, 按隐函数的求导 法则求导 ; 参数方程求导 : 实质上是利用复合函数求导法则 ; 相关变化率 : 通过函数关系确定两个相互依赖的变 化率 ; 由其中一个变化率时求出另一个变化率

96 思考题

97 §4 高阶导数

98 一. 问题的提出 (Introduction) 变速直线运动的加速度问题 即加速度是位移对时间的导数的导数。

99 二. 高阶导数的定义 记作 类似地， 二阶导数的导数称为三阶导数, 记作

100 三阶导数的导数称为四阶导数. 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 高阶导数的定义

101 三. 高阶导数的求法 例1例1 解 1 直接法 求高阶导数就是多次接连地求导数. 例2例2

102 例3例3 解

103 例4例4 解 2. 数学归纳法证明高阶导数

104 例5例5 解 同理可得

105 3. 高阶导数的运算法则 公式（ 3 ）称为 莱布尼兹公式

106 例6例6 解

107 3 间接法 几个初等函数的高阶导数 利用已知的高阶导数公式, 通过四则 运算, 变量代换等方法, 求出 n 阶导数.

108 例7例7 解

109 四 小结与思考判断题 高阶导数的定义 ; 高阶导数的运算法则 ; n 阶导数的求法 ; 几个初等函数的高阶导数.

110 思考判断题

111 §5 微分

112 一. 问题的提出 1 面积问题 设有一边长为 的正方形

113 2 自由落体问题

114 二. 微分的定义 1 定义

115 M N T ） 2 几何意义 ( 如图 ) P

116 注1：注1： 注2：注2： 注3：注3：

117 三. 可微与可导关系 定理 5.10 证 (1) 必要性

118 (2) 充分性 注1：注1：

119 函数的变化率问题 函数的增量问题微分 导数 注 3 ：导数与微分的区别

120 例1例1 解 例2例2 解

121 四. 基本初等函数的微分公式与法则 先计算函数的导数, 再 乘以自变量的微分. 1 基本初等函数的微分公式

122 2 函数和、差、积、商的微分法则

123 3 复合函数的微分法则 结论： 微分形式的不变性

124 解2解2 例3例3 解1解1

125 例4例4 解1解1 解2解2

126 例5例5 解1解1 解2解2

127 例6例6 解 在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使 等式成立.

128 五. 小结与思考判断题 求导数与微分的方法, 叫做微分法. 导数与微分的联系 : 微分的基本公式. 函数的和、差、积、商的微分法则. 117 页作业 :4, 5, 6