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第四講:分數數概念與加減運算 分數代表什麼 ? ½ 是什麼意思呢 ? 分數的意義 分數是用來表示不滿一個單位量的數值,其中 涉及「等分」的概念與等分的「測量活動」。 目前課程多以將指定一個單位,切分成另外一 個小單位後,對小單位重新以大單位加以命名。 並以具體物介紹分數,情境上分為連續量與離 散量。

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2 第四講:分數數概念與加減運算 分數代表什麼 ? ½ 是什麼意思呢 ?

3 分數的意義 分數是用來表示不滿一個單位量的數值,其中 涉及「等分」的概念與等分的「測量活動」。 目前課程多以將指定一個單位,切分成另外一 個小單位後,對小單位重新以大單位加以命名。 並以具體物介紹分數,情境上分為連續量與離 散量。 一張色紙平分成 10 等分,每一等分記為 ____ 張, 唸做 ____ 張 一盒裝有 10 顆雞蛋,一顆雞蛋是 ___ 盒,唸做 ___ 盒。

4 分數的教學活動 命名:具體物或圖示  分數數字 作數:具體物或圖示  小數數字 分數的命名從單位分數開始,隨後介紹 真分數,也些版本把帶分數延後到別的 單元,有些則緊跟在同一單元介紹。 討論看看,第一個被介紹的分數是哪個 數字?為什麼?第二個呢?為什麼?

5 分數的啟蒙活動 你會安排什麼樣的活動開始介紹分數? 那個分數先開始?為什麼? 在正式教育前,有哪些先前經驗與分數 有關?有哪些語詞與分數有關?

6 處理 1/2 的策略 1) 對折 2) 用視覺約估 3) 一對一的對應 4) 整數分割【 EX : 3+3=6 】 5) 將每個整數均等分 1/2= ? 6) 拋棄餘量

7 單位分數的教學重點 1) 部分 / 整體關係。 2) 確認等分。 3) 幾份中的一份。 4) 單位分數的數詞與數字。 ※以具體物的操作為主。 ※『整體』最好不要被破壞。 ※先用連續量,再用離散量。 ※是『部分』還是『切分點』?

8 單位量的問題【一】 代表多少?

9 單位量的問題【二】 分數的情境佈置上,關鍵之一是清楚的 指出單位量「 1 」是什麼? 例如 這是一張蛋餅,即界定了 1 為 一個圓,是以「張」為單位。

10 分數的五種模式 1 、部分 - 整體模式: 2 、子集合 - 整體集合模式: 3 、數線模式: 4 、商模式: 3 個蘋果分給 6 個人 3÷6 = 5 、比值模式:兩個集合(或度量)相比的結果 ex : 2 杯葡萄酒對 3 杯七喜混成的雞尾酒為 2 : 3 = 0 ¼ 1

11 部分整體模式 怎麼介紹 3/4 ? 1. 四份中的 3 份 2. 三個 1/4 ,是以 1/4 為單位所組成的。 由 2 ,可以容易的引入分數加減。 3. 假分數通常在同分母加減的活動中會產生。 4. 此時即同時處理 m/m 與 1 相等的概念。

12 離散量情境 - 一盒草莓裝有 12 顆 n/m 盒和 a 顆草莓的轉換 m=a, 分母與內容物個數相同時 1 顆草莓是多少盒? 1/12 盒是多少顆? 2 顆草莓是多少盒? 2/12 盒是多少顆? 具體物操作或圖解如何得出答案?

13 一盒草莓裝有 12 顆(續) a=km, 內容物為分母的整數倍,指定分母。 2 顆草莓是 6 分之幾盒? 1/6 盒是多少顆? 4 顆草莓是六分之幾盒? 2/6 盒是多少顆? a=km, 內容物為分母的整數倍,指定分子。 2 顆草莓是多少分之一盒 ? 2 顆 =1/( ) 盒 4 顆草莓是多少分之二盒? 4 顆 =2/( ) 盒 分子為 1 者,較容易, why? 具體物操作或圖解,足夠嗎? 怎樣才不會扯到分數乘法?

14 數線模式 數線為一標有 0 與 1 的射線,分數即數線 上一點,其大小表示與原點 0 的距離。 會有哪些類型的解題活動呢? 介在 0-1 之間的分數較容易,> 1 的較難, why?

15 商模式 在整數除法時,無法整除時,會有餘數。 強迫分盡,就會產生商為分數的情況。 整除 vs. 除盡? 3 個蘋果分給 6 個人, 3÷6 = 9 個蘋果分給 6 個人, 9÷6 = 商為< 1 vs. > 1 的,難度有差異嗎?

16 等值分數 等值分數是透過擴分 ( 同乘一數 ) 或約分 ( 同除一數 ) 所產生的。 教學上從兩分數的大小比較開始,而非 直接介紹約分、擴分。 六個月餅裝一盒,那麼 1/3 盒和 2/6 盒那個比 較多? 1/4 張蔥油餅和 2/8 張蔥油餅,那個比較大?

17 等值分數的順序與教具 m1/m2 和 n1/n2 誰比較大或 m1/m2=( )/n2 ,教 材順序的安排? 常用的教具 分數板(圓形板) 離散量的圖示( 1 單位的內容物個數為兩分數分 母的公因數倍) 數線 討論:設計一題異分母加(或減)的應用題 討論:如何讓不懂異分母加減為何要通分的 學生瞭解其道理?

18 比和比例 比 (ratio) 是一種數的有序對 (ordered pair) 用以表示相同量或不同量的比較關係。 a:b ; a÷b b≠0 以分數表示比值 比例 (proportion) 是兩個等值比的等式 a:b=c:d ,用以表示 a:b 和 c:d 這兩個比等價 等值分數的等式 1/2 = 3/6 ,即是表示不同 分割活動所產生的分數具有等值關係

19 比和比例的情境 母子情境: a, b 為同類量,另一數量為全體,另一 為部分 一打襯衫有 12 件,其中四件是藍色的,想要有 8 件 藍色襯衫,需要買幾打? 組合情境: a, b 為同類量,均為同一全體量的部份 一種親子遊戲, 3 個小孩需要 2 個大人的協助, 15 個小孩需要幾個大人協助? 交換的情境: a, b 表兩種物件,因某種因素是二者 可互換 1 公尺的絲緞可換 5 公尺的棉布, …

20 速度的情境: 1 小時跑 50 公里的小汽車, 320 公里的路程,需要多少小時? 密度情境 濃度情境 (上頁前三種為外延量,本頁為內涵量) 用同一個情境,選用不同數字或敘述方式, 設計出難易不同的比例問題,範例 a 個披薩平分給 b 個人,問 c 個披薩可以分給幾 個人吃? 12 元可以買 8 顆糖, 9 元可以買多少顆糖?

21 解比例問題的策略 累加法: 2 個蘋果 15 元, 4 個蘋果 30 , 6 個蘋果 … , 8 個蘋果 60 元。 單價法: 12  8 = 1.5, 9  1.5= 倍數法: 9  12 = 3/4, 3/4  8 = 數量分解法: 甲公司手機月費為 4 個月 1000 元, 乙公司 9 個月 3000 元,那一家比較便宜?如果乙和 甲一樣,那 8 個月應該 2000 元,第 9 個月卻要 1000 元 … 公式化:內項乘積=外項乘積

22 比例問題的延伸 百分率( percent )是一種特殊的比,及 分母(或後項)為 100 的比。使用情境包 括投票率、缺席率、答對百分率 … 百分率的文字題有三類:總量未知、部 分量未知、百分率未知 縮圖、擴大圖、比例尺 圖形的擴大、縮小通常以一維的比例關 係表示倍率

23 分數乘法 一罐牛奶 2 公升,用了 2/5 罐作優格,請 問用了多少公升的牛奶? 一瓶牛奶 1/2 公升,用了 2/5 瓶作優格,請 問用了多少公升的牛奶? 一桶牛奶 5 又 1/3 公升,用了 2/5 桶作優格, 請問用了多少公升的牛奶?

24 分數除法的教學 每個人吃 2/3 顆葡萄柚, 10 顆葡萄柚夠讓 幾個人吃? 每個人吃 1/2 顆葡萄柚, 10 顆葡萄柚夠讓 幾個人吃? 10  2 = 20 why?

25 媽媽自製葡萄酒,每 2/3 公升裝 1 瓶, 5 公 升可以裝幾瓶,剩多少公升? 砂糖每 0.3 公斤裝 1 袋, 7.6 公斤可以裝幾 袋?剩多少公斤?


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