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財務管理 第五章 評價:貨幣的時間價值 5.1 終值和複利 5.2 現值和折現 5.3 現值和終值:進一步探討.

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2 財務管理 第五章 評價:貨幣的時間價值

3 5.1 終值和複利 5.2 現值和折現 5.3 現值和終值:進一步探討

4 終值( future value, FV )指的是,在某一利率水準下,今 天投資的金額經過一段期間所能累積的價值。換言之,終 值是今天的投資在未來某個時點的價值。把本金連同累積 的利息繼續投資超過一期,就是利息再投資 ( reinvesting )。 複利( compounding )。複利就是利上加利( interest on interest )這部份的利息為複利利息( compound interest )。 單利利息( simple interest ),利息就不再投資,每一期只 賺得原本本金的利息。 5.1 終值和複利

5 單期投資 假設你存 $100 到一個年息 10% 的儲蓄帳戶中。 一年後你會有多少錢呢?等於原來的本金 ( principal ) $100 ,加上所賺得 $10 的利息。 如果你在 r 利率下投資一期, $1 的投資將成長 為 (1 + r) 。

6 (1) 原本的 $100 本金; (2) 第一年賺得的 $10 利息; (3) 第二年賺得的另一個 $10 利息; (4) $1 是第一年年底的利息在第二年所賺得的 $10×0.10 = $1 利息。 多期投資 同前例,如果利率沒有變動,兩年後投資終值是多少 呢?在第二年可以賺得 $110×0.10 = $11 的利息,總共 會有 $110 + 11 = $121 。在 10% 利率下投資兩年後的終 值。 這 $121 包括四部份。

7 範例 5.1 利上加利 假設你從事一個年利率 14% 的投資兩年。假如 你投資了 $325 ,兩年後的投資終值是多少?其 中多少是單利利息?多少是複利利息?

8 在第一年年底時, $325×(10.14) = $370.50 。 第二年年底 $370.5×1.14 = $422.37 。 總利息是 $422.37 - 325 = $97.37 。 本金每年賺得的利息為 $325×0.14 = $45.50 , 兩年的單利利息和為 $91 , 剩下的 $97.37 - 91 = $6.37 ,則是複利利息的部 份。

9 在每期利率為 r 之下, $1 投資 t 期後的終值為: 終值= $1×(1 + r) t (1 + r) 通常稱為 $1 在 r 利率下投資 t 期的終值利率 因子( future value interest factor ),或簡稱終值 因子( future value factor ),可縮寫為 FVIF ( r, t )。 例子 $100 的五年後價值是多少呢? (1) 算出攸關的終值因子為: (1 + r) t = (1 + 0.10) 5 = 1.1 5 = 1.6105 (2) $100 將成長為: $100×1.6105 = $161.05

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14 範例 5.2 複利利息 你看中了一項報酬率 12% 的投資。由於這項投資 的報酬率不賴,所以你投資了 $400 。三年後你可 以拿到多少呢?七年後?七年結束後,你賺得了多 少利息?其中多少是來自複利利息呢? 12% 的三年期終值因子: (1 + r)t = 1.12 3 = 1.4049 $400 成長為: $400×1.4049 = $561.97

15 七年後,你將擁有: $400×1.12 = $400×2.2107 = $884.27 在 $884.27 的終值中,其中 $400 為本金, $884.27 - 400 = $484.27 是利息。 在 12% 利率下,每年賺得 $400×0.12 = $48 的單利利息。 七年期間,單利利息共 7×$48 = $336 。 其餘的部份 $484.27 - 336 = $148.27 ,則是 來自複利利息。

16 複成長 例如,你的公司目前有 10,000 個員工。你估計員工人 數每年以 3% 成長,五年後將有多少員工呢? 我們所思考的是成長率而不是利率,但是,兩者的計 算卻是完全一樣: 10,000×(1.03) 5 = 10,000×1.1593 = 11,593 個員工未 來五年內將有 1,593 個新進員工。

17 範例 5.4 股利成長 TICO 公司目前每股發放 $5 現金股利,你確信 股利將以每年 4% 的成長率一直成長下去。八 年後股利將是多少? 終值= $5×(1.04) 8 = $5×1.3686 = $6.84 股利將成長 $1.84 。

18 單期現值 例子:「在 10% 年利率下,今天我們必須投資多少, 才能在一年後拿到 $1 ?」終值是 $1 ,現值 ( present value, PV )是多少呢? 5.2 現值和折現

19 範例 5.5 單期現值 假設你明年需要 $400 購買教科書,而你的投資可 以賺得 7% 的報酬。那麼,今天你必須存多少錢? 現值 ×1.07 = $400 現值= $400×(1/1.07) = $373.83 投資 $373.83 一年,就可以擁有終值 $400 。

20 多期現值 假設兩年後你得到需用 $1,000 。如果你的投資可 以賺得 7% ,那麼,你必須投資多少錢才能確保你需 用的 $1,000 ? $1,000 = PV×1.07×1.07 = PV×1.072 = PV×1.1449 現值= $1,000/1.1449 = $873.44

21 範例 5.6 儲 蓄 你想要買一部新車。你有約 $50,000 ,但車價為 $68,500 。如果,你可以賺到 9% 的報酬,今天你必須存 多少錢,才能在兩年後買這部車呢?你有足夠的錢嗎? 假設車子的價格維持不變。 PV = $68,500/(1.09) 2 = $68,500/1.1881 = $57,655.08 仍短缺 $7,655 。

22 在 r 折現率下, t 期後的 $1 之現值是: PV = $1×[1/(1 + r) t ] = $1/(1 + r) t

23 1/(1 + r) t 被稱為折現因子( discount factor )。 討論現值時,以折現率( discount rate )稱呼它。 1/(1 + r) t 又被稱為 r 利率下, t 期的 $1 的現值利率因子 ( present value interest factor ),並縮寫為 PVIF ( r, t )。 計算未來現金流量的現值,以決定它(證券)在今天的 價值之方法,通常稱為折現現金流量評價( discounted cash flow (DCF) valuation )。

24 例如,假設三年後你需用 $1,000 ,而你的投資每 年可以賺到 15% 的報酬,今天你必須投資多少 呢? (1) 折現因子計算如下 1/(1 + 0.15) 3 = 1/1.5209 = 0.6575 (2) 投資的金額是 $1,000×0.6575 = $657.50

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27 現值和終值 現值因子就是終值因子的倒數: 終值因子 (1 + r) t 現值因子 1/(1 + r) t 如果讓 FV t 代表 t 期後的終值,那麼終值和現值間 的關係就可以寫成: PV×(1 + r) t = FV t PV = FV t /(1 + r) t = FV t ×[1/(1 + r) t ] 稱為基本現值等式( basic present value equation ) 5.3 現值和終值:進一步探討

28 範例 5.8 投資評估 我們以下列簡單投資案例,說明現值和終值的應 用:你的公司擬購買價值 $335 的資產。這項投資 方案非常安全,三年後你可以把這項資產以 $400 賣掉。另外,你也可以將 $335 作其他投資,賺取 10% 報酬率且風險極低。你覺得公司擬進行的這項 資產投資案如何呢?

29 (1) 將 $335 作其他投資,若報酬率為 10% ,三年後就可 以 得到: $335×(1 + r) t = $335×(1.1)3 = $335×1.331 = $445.89 提案中的投資卻只得到 $400 ,所以,這並不是項好投資。 (2) 在 10% 下,三年後 $400 的現值為: $400×[1/(1 + r)t] = $400/(1.1)3 = $400/1.331 = $300.53

30 折現率的求算 PV = FVt /(1 + r) t 現值( PV )、終值( FV )、折現率( r )和 投資期間( t )。

31 範例 5.9 找出單期投資的折現率 你正在考慮某項一年期的投資。如果你投入 $1,250 , 將回收 $1,350 ,這項投資的報酬率是多少? 這項投資,你多拿到了 $100 ,因此,隱含的報酬率 是 $100/1,250 = 8% 。 基本現值等式來看, $1,250 = $1,350/(1 + r) 1 (1 + r ) = $1,350/1,250 = 1.08 r = 8%

32 假設有一項投資必須投入 $100 ,八年後這項投資 成長為 $200 。這個投資隱含的折現率是多少?也 就是該投資的報酬率( rate of return ,或只稱 return )。 PV = FV t /(1 + r) t $100 = $200/(1 + r) 8

33 (1 + r) 8 = $200/100 = 2 r 是 9% 1. 使用財務計算機。 2. 兩邊各開八次方根,解得 (1 + r) 。 3. 使用終值表。 在這個特例中,我們可以利用所謂的 72 法則( Rule of 72 )。在合理的報酬率下,使你的錢變成兩倍大 約需要 72/r% 的時間。

34 範例 5.10 棒球收藏品投資 在 2008 年 4 月, Barry Bonds 所揮出個人大聯盟生涯 的最後一顆全壘打球,以大約 $376,000 拍售,這樣 的得標價格被認為是值得投資,因為買家不確定 Bonds 是否會再復出大聯盟。棒球「專業」收藏家認為這顆棒 球收藏品的價值,於十年後會加倍。 根據 72 法則每年報酬率大約是 72/10 = 7.2% 而已。

35 藝術品收藏界一個經驗法則是「在五年內可以回 收,十年內會加倍」 1998 年 Alberto Giacometti 的銅雕像作品 Homme Qui Marche Ⅲ 以 $2,972,500 賣出。五年之後這個雕像以 $4,039,500 賣出,這項投資的報酬如何呢?

36 投資價值會在十年後加倍。根據 72 法則每年會 有 7.2% 的報酬率。這個雕像在五年期間轉手一 次,現值為 $2,972,500 ,終值為 $4,039,500 , 求解折現率 r 如下: $2,972,500 = $4,039,500/(1 + r) 5 (1 + r) 5 = 1.3590 r 將近 6.33% ,低於 7.2% 。

37 範例 5.11 為上大學儲蓄 你預估八年後你的孩子上大學時,將需要大約 $80,000 的目標金額。現在你有 $35,000 。你的投 資報酬率是每年 20% ,你可以達到目標嗎?在報 酬率多少之下你剛好可以達到目標?

38 假設年報酬率 20% , $35,000 在八年後的終值是: FV = $35,000×(1.20)8 = $35,000×4.2998 = $150,493.59 最低限度的報酬率 r : FV = $35,000×(1 + r) 8 = $80,000 (1 + r) 8 = 80,000/35,000 = 2.2857 報酬率大約是 11%

39 範例 5.12 18,262.5 天後退休 你想要在 50 年後以一個百萬富翁退休。假如你今天擁 有 $10,000 ,要達到百萬富翁的目標,你的報酬率必須 是多少? 終值是 $1,000,000 ,現值是 $10,000 ,離退休還有 50 年,我們必須算折現率 r : $10,000 = $1,000,000/(1 + r) 50 (1 + r) 50 = 100 大約是 9.65% 。

40 計算投資期數 假設我們有意購買價值 $50,000 的某項資產。 目前,我們有 $25,000 現金,如果這 $25,000 可以 賺得 12% 的報酬,多久才能累積到 $50,000 呢? 根據 72 法則,這將需要 72/12 = 6 年的時間。 基本現值等式為: $25,000 = $50,000/(1.12) t $50,000/25,000 = (1.12) t = 2 查表 12% 所對應的那一欄,你將看到終值因子 1.9738 對應的期數為 6 ,所以,大約是 6 年。

41 範例 5.13 計畫買下 Godot 公司 你正存錢準備買下 Godot 公司。該公司價值將為 1,000 萬美元,目前,你有 230 萬美元,如果賺得 5% 報酬,必須等多少年?在 16% 報酬率下,必須 等多久? (1) 在 5% 下 230 萬美元= 1,000 萬美元 /(1.05) t 1.05 t = 4.35 t = 30 年 (2) 在 16% 下,大約需要等 10 年。

42 策略試算表 你可以求解終值、現值、折現率、期間四個未知數中 的任何一個,在試算表中它們皆有個別獨立的公式可 應用,在 Excel 中,這些公式應用如下:


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