蘋果與月亮 劉源俊 94 年 5 月 7 日 中央研究院物理研究所 高中物理科學培訓計畫. 蘋果與月亮 ─ 力學概念的發展 ─ ‧ 伽利略與下落的蘋果 ‧ 牛頓與蘋果 ‧ 蘋果與月亮的聯想 ‧ 萬有引力律 ‧ 從力到勢 ‧ 蘋果與雲的聯想.

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1 蘋果與月亮 劉源俊 94 年 5 月 7 日 中央研究院物理研究所 高中物理科學培訓計畫

2 蘋果與月亮 ─ 力學概念的發展 ─ ‧ 伽利略與下落的蘋果 ‧ 牛頓與蘋果 ‧ 蘋果與月亮的聯想 ‧ 萬有引力律 ‧ 從力到勢 ‧ 蘋果與雲的聯想

3 嘗試從一顆蘋果看世界

4 伽利略與下落的蘋果

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6 Galileo Galilei(1564-1642)

7 Dialogues Concerning Two New Sciences 1638

8 伽利略與下落的蘋果 伽利略的想像實驗 無阻下落

9 h v

10 v ～ h ?

11 h h/ 2 v v/ 2 ?

12 v ～ h ? v ～ t ? v = g t 重力加速度 g = 常數 h = ½ g t²  v² = 2 g h

13 伽利略與下落的蘋果 伽利略的想像實驗 無阻下落 重力加速度 g 與物質無關

14 伽利略的想像實驗

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16 伽利略與下落的蘋果 伽利略的想像實驗 無阻下落 重力加速度 g 與物質無關 斜面的加速度 a = g sinθ

17 伽利略與下落的蘋果 伽利略的想像實驗 無阻下落 重力加速度 g 與物質無關 斜面的加速度 a = g sinθ 擺相當是個無阻的斜面（只不過 θ 在變） 週期與物質無關 T → g

18 g = 9.8 m/s²

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20 伽利略與下落的蘋果 伽利略的想像實驗 無阻下落 重力加速度 g 與物質無關 斜面的加速度 a = g sinθ 擺相當是個無阻的斜面（只不過 θ 在變） 週期與物質無關 T → g ‧拋體運動是兩個互相獨立方向運動的加成

21 牛頓與蘋果

22 Isaac Newton(1642-1727)

23 Principia Mathematica 1687

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25 牛頓與蘋果 脫離樹枝的蘋果為何下落？

26 牛頓與蘋果 脫離樹枝的蘋果為何下落？ ─ 重力 W = m g W = m a ∴ a = g

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28 牛頓與蘋果 脫離樹枝的蘋果為何下落？ ─ 重力 W = m g 樹上（桌上）的蘋果為何不下落？

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30 牛頓與蘋果 脫離樹枝的蘋果為何下落？ ─ 重力 W = m g 樹上（桌上）的蘋果為何不下落？ ─ W= － N

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32 牛頓與蘋果 脫離樹枝的蘋果為何下落？ ─ 重力 W = m g 樹上（桌上）的蘋果為何不下落？ ─ W= － N 天上的月亮為何不下落？

33 山近月遠覺月小， 便道此山大於月； 若人有眼大如天， 還見山小月更闊。 ─ 王陽明

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38 蘋果與月亮的聯想

39 拋體與月亮

40 牛頓的想像實驗

41 蘋果與月亮的聯想 拋體與月亮 地球引力一視同仁

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43 蘋果與月亮的聯想 拋體與月亮 地球引力一視同仁 牛頓運動第一律

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45 蘋果與月亮的聯想 拋體與月亮 地球引力一視同仁 牛頓運動第一律 牛頓運動第二律 F = ma a ：加速度

46 蘋果與月亮的聯想 拋體與月亮 地球引力一視同仁 牛頓運動第一律 牛頓運動第二律 月亮一直在下落！

47 月球 地球

48 蘋果與月亮的聯想 拋體與月亮 地球引力一視同仁 牛頓運動第一律 牛頓運動第二律 月亮一直在下落！ 作用力與反作用力 ─ 牛頓運動第三律

49 蘋果與月亮的聯想 拋體與月亮 地球引力一視同仁 牛頓運動第一律 牛頓運動第二律 月亮一直在下落！ 作用力與反作用力 ─ 牛頓運動第三律 靜力的平衡

50 W N －N－N N'N' －N'－N' －W－W 地球

51 萬有引力律

52 圓周運動

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54 r r r

55 兩三角形相似 △ v = a t △ s = v t △ s : r = △ v : v ∴ v t / r = a t / v ∴ a = v² / r

56 萬有引力律 圓周運動 向心加速度 a = v² / r

57 萬有引力律 圓周運動 向心加速度 a = v² / r 蘋果與月亮的比較

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60 g moon = v² / r = 4π² r / T² r ≒ 60 × 6400 Km T = 28.2 × 24 × 60 × 60 s g moon ≒ 0.0025 m/s² 9.8 m/s² / 60² = 0.0027 m/s² ≒ g moon 猜測 g ～ 1 / r² 於是 F ～ 1 / r²

61 萬有引力律 圓周運動 向心加速度 a = v² / r 蘋果與月亮的比較 萬有引力的反平方律 F ～ 1 / r² F = G m 1 m 2 / r² g = G M E / R E ²

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63 萬有引力律 圓周運動 向心加速度 a = v² / r 蘋果與月亮的比較 萬有引力的反平方律 F ～ 1 / r² 球面稱的物體，其合力指向質心

64 淨力

65 萬有引力律 圓周運動 向心加速度 a = v² / r 蘋果與月亮的比較 萬有引力的反平方律 F ～ 1 / r² 球面稱的物體，其合力指向質心 橢圓軌道與刻普勒律

66 太陽引力造成行 星的橢圓軌道

67 橢圓軌道

68 A A'A' 二、 A = A' 三、 T² ～ a³ Kepler’s laws 刻普勒行星運動三律 一、橢圓軌道 a

69 從力到勢從力到勢

70 h m g

71 從力到勢從力到勢 勢能 (potential energy) Lagrange (1736-1813) Analytical Mechanics (1788) V = m g h

72 從力到勢從力到勢 勢能 能量守恆 動能 ＋ 勢能 ＝ 常數 ½ m v² ＋ m g h = C

73 勢能 ＝ m g △ h 動能 ＝ ½ m v² △h△h 動能 ＋ 勢能 ＝ C

74 從力到勢從力到勢 勢能 能量守恆 力與勢能的關係 ─ 力是勢能的梯度 力的方向指向勢能減少最快的方向

75 m h l 梯度 = m g h / l

76 從力到勢從力到勢 勢能 能量守恆 力與勢能的關係 ─ 力是勢能的梯度 力的方向指向勢能減少最快的方向 ─ 力是向量，勢能是純量 ─ 力是想像的，勢能更是推想的

77 蘋果與雲的聯想

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80 雲是小水滴 為何雲浮在天空？ 把蘋果磨成細粉，灑在空中 水中的蘋果 把蘋果打成汁

81 學而思 思能悟 悟而驗 驗更發