第四章 假设检验 第4.1节 假设检验的基本概念 第4.2节 正态总体均值与方差 的假设检验 第4.3节 非参数假设检验方法

Presentation on theme: "第四章 假设检验 第4.1节 假设检验的基本概念 第4.2节 正态总体均值与方差 的假设检验 第4.3节 非参数假设检验方法"— Presentation transcript:

1 第四章 假设检验 第4.1节 假设检验的基本概念 第4.2节 正态总体均值与方差 的假设检验 第4.3节 非参数假设检验方法
第四章 假设检验 第4.1节 假设检验的基本概念 第4.2节 正态总体均值与方差 的假设检验 第4.3节 非参数假设检验方法 第4.4节 似然比检验

2 第4.1节 假设检验的基本概念 一、零假设与备选假设 二、检验规则 三、两类错误的概率和检验水平 四、势函数与无偏检验

3 0、假设检验的基本概念 1.什么是假设检验 在数理统计中，人们常常对总体分布中某些参数或 分布函数的形式提出某种假设，然后利用样本的有
关信息对所作假设的正确性进行推断，这类统计问 题称为假设检验 2. 假设检验的分类：假设检验可分为两大类： (1)参数的假设检验(Parametric test),当总体分布形 式已知，只对某些参数提出假设，进而做出的检验 称为参数假设检验.

4 (2)非参数假设检验 (Nonparametric test)。对分布假设做出的检验为非参数假设检验。
例如, 提出总体服从泊松分布的假设.

5 假设检验的基本原理 2. 基本思想方法 小概率事件(概率接近0的事件)，在一次试验中，实际上可认为不会发生. 小概率推断原理：
先提出假设H0 , 再根据一次抽样所得到的样本值进行计算. 若导致小概率事件发生，则否认假设H0 ; 否则，接受假设H0 . 采用概率性质的反证法： 下面结合实例来说明假设检验的基本思想.

6 例1 某厂有一批产品，共有200件，需检验合格才能出厂. 按国家标准，次品率不得超过3%. 今在其中随机地抽取10件，发现其中有2件次品，问：这批产品能否出厂? 分析： 从直观上分析，这批产品不能出厂. 因为抽样得到的次品率： 然而，由于样本的随机性，我们不能轻易下结论。但如何才能根据抽样结果判断总体(所有产品) 的次品率是否≤3%?

7 解 用假设检验法，步骤如下： 1º 提出假设 H0: 其中 p为总体的次品率. 2º 设 ={ 抽取的10件产品中的次品数 }

8 3º 在假设 H0成立的条件下，计算

9 4º 作判断 由于在假设 H0成立的条件下， 而实际情况是： 小概率事件竟然 在一次试验中发生了， 这违背了小概率原理，

10 是不合理的，故应该否定原假设H0 ，认为产品
的次品率 p >3% . 所以，这批产品不能出厂.

11 例 2 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布. 当机器正常时, 其均值为0. 5公斤, 标准差为0
例 2 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正常时, 其均值为0.5公斤, 标准差为0.015公斤.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(公斤): , 问机器是否正常? 分析:

12 由长期实践可知, 标准差较稳定, 问题: 根据样本值判断 提出两个对立假设 再利用已知样本作出判断是接受假设H0(拒绝假设H1), 还是拒绝假设H0(接受假设H1). 如果作出的判断是接受H0, 即认为机器工作是正常的, 否则, 认为是不正常的.

13 由于要检验的假设设计总体均值, 故可借助于样本均值来判断.
于是可以选定一个适当的正数k,

14 由标准正态分布分位点的定义得

15 假设检验过程如下: 于是拒绝假设H0, 认为包装机工作不正常.

16 以上所采取的检验法是符合实际推断原理的.

17

18 一、零假设与备选假设 1. 显著性水平

19

20 2. 检验统计量 3. 零假设与备选假设 假设检验问题通常叙述为:

21 注 ：对于一个具体问题，如何提出原假设及备选假设， 一般以保护原假设为基础, 提出原假设.

22 二、检验规则 1. 检验规则 在对问题作出假设以后,需要利用样本的观测值,根据一定的规则作出一种决策,是接受原假设还是拒绝原假设? 这种规则就称为检验规则, 例如 例2 中的检验规则为

23 2. 拒绝域与临界点 当检验统计量取某个区域C中的值时, 我们拒绝原假设H0, 则称区域C为拒绝域, 拒绝域的边界点称为临界点. 拒绝域一般用W来表示,即 如在前面实例中,

24 三、两类错误的概率和检验水平 1. 检验函数 由上述检验规则以及拒绝域, 我们可以定义如下检验函数,其实就是一个示性函数

25 2. 两类错误及记号 假设检验的依据是: 小概率事件在一次试验中很难发生, 但很难发生不等于不发生, 因而假设检验所作出的结论有可能是错误的. 这种错误有两类: (1) 当原假设H0为真, 观察值却落入拒绝域, 而作出了拒绝H0的判断, 称做第一类错误, 又叫弃真错误, 这类错误是“以真为假”. 犯第一类错误的概率是

26 (2) 当原假设H0不真, 而观察值却落入接受域, 而作出了接受H0的判断, 称做第二类错误, 又叫取伪错误, 这类错误是“以假为真”.
犯第二类错误的概率记为 当样本容量 n 一定时, 若减少犯第一类错误的概率, 则犯第二类错误的概率往往增大. 要使犯两类错误的概率都减小, 除非增加样本容量.

27 例3(p117例4.3) 某厂有一批产品，共有1000件，需检验合格才能出厂. 按国家标准，次品率不得超过1%. 今在其中随机地抽取100件，发现其中有4件次品，若选择 采用检验

28 解

29 计算二个检验犯两类错误的最大值列于下表 0.997 0.023 2 0.732 0.268 1 第二类错误最大值 第一类错误最大值 检验

30 当样本容量 n 一定时, 若减少犯第一类错误的概率, 则犯第二类错误的概率往往增大
当样本容量 n 一定时, 若减少犯第一类错误的概率, 则犯第二类错误的概率往往增大.在保护零假设的条件下,Neyman-Pearson提出如下规则: 对于给定的一个小正数,使的下式成立. 注 若一个检验满足此条件,称此检验为显著性水平为 的检验.

31 3. 显著性检验 只对犯第一类错误的概率加以控制, 而不考虑犯第二类错误的概率的检验, 称为显著性检验. 4. 双侧备选假设与双侧假设检验

32 5. 右边检验与左边检验 右边检验与左边检验统称为单侧检验.

33 定义4.1 的显著性水平为的两个检验, 若 此定义表明在限制第一类错误的基础上,第二类错误越小越优.此定义可以推广至多个检验比较.

34 四、势函数与无偏检验 1. 势函数的定义 定义4.2 注

35 2. 无偏检验 定义 上述条件的假设是由于势函数为连续函数时, 其连续性上的合理假设.

36 3. 一致最优势检验 定义4.3 例4(p119例4.4)

37 解 由例2可知,该检验的拒绝域为 则其势函数为

38

39 4. 尾概率 定义

40 五、小结 假设检验的一般步骤: 3. 确定检验统计量以及拒绝域形式;

41 再 见