第七章 空间解析几何与向量代数 1/26.

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1 第七章 空间解析几何与向量代数 1/26

2 第一节 向量及其线性运算 向量的概念 向量的线性运算 空间点的直角坐标 利用坐标作向量的线性运算 向量的模、方向角、投影 小结、作业
第一节 向量及其线性运算 向量的概念 向量的线性运算 空间点的直角坐标 利用坐标作向量的线性运算 向量的模、方向角、投影 小结、作业 2/26

3 一、向量的概念 | | 向量（矢量）： 既有大小又有方向的量. 向量的表示： 向量的记法： 或 向量的模： 向量的大小 或 单位向量：
| | 或 单位向量： 模长为1的向量。 零向量： 模长为0的向量 （方向任意）。 3/26

4 自由向量： 不考虑起点位置的向量（默认）. 相等的向量： 大小相等且方向相同的向量. 负向量： 大小相等但方向相反的向量. 向径：
起点在原点的向量。 平行的向量： 4/26

5 二、向量的线性运算 [1] 加法： （1）平行四边形法则 特殊地：若 ‖ 分为同向和反向 （2）三角形法则 5/26

6 向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： （2）结合律： （3） [2] 减法 6/26

7 [3]向量与数的乘法: 7/26

8 数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： （2）分配律： 8/26

9 例1 化简 解 9/26

10 *例2 试证：任一个三角形的三条中线向量可以构成一个三角形。
*例2 试证：任一个三角形的三条中线向量可以构成一个三角形。 证 A D F B C E 10/26

11 三、空间点的直角坐标 竖轴 若三个坐标轴的正方向符合右手规则——右手系——最常用（默认）. 定点 纵轴 另一种空间直角坐标系——左手系.
横轴 空间直角坐标系 11/26

12 Ⅲ 面 面 Ⅱ Ⅳ Ⅰ 面 Ⅵ Ⅶ Ⅴ Ⅷ 空间直角坐标系共有三个坐标面、 八个卦限 12/26

13 向径OM 点M 有序数组 称为(x, y, z)向径OM的坐标, z 点M的坐标。 y x 向量AB的坐标 =向径OM的坐标
B(x2,y2,z2) y x A(x1,y1,z1) M(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) 向量AB的坐标 =向径OM的坐标 =AB的终点坐标(x2,y2,z2) -起点坐标(x1,y1,z1) =(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) 13/26

14 —— 按基本单位向量的分解式. 14/26

15 四、利用坐标作向量线性运算 15/26

16 *例3 解 由题意知： 16/26

17 五、 向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间距离公式 ——向量的模的坐标表达式。 17/26

18 解 原结论成立. 18/26

19 解 设P点坐标为 所求点为 19/26

20 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为向量的方向角，
2. 方向角与方向余弦 类似地，定义向量与轴的夹角及两轴的夹角. 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为向量的方向角， 其余弦称为向量的 方向余弦. 由 20/26

21 向量方向余弦的坐标表示式 当 时， 由 21/26

22 解 所求向量有两个，一个与 同向，一个反向。 或 22/26

23 例7 解 23/26

24 3. 向量在轴上的投影 24/26

25 投影的性质（1） 投影的性质（2） 25/26

26 六、小结 1、向量的概念 2、向量的线性运算 3、空间点的坐标、向量的坐标 4、利用直角坐标作向量的线性运算
（注意与标量的区别） 2、向量的线性运算 3、空间点的坐标、向量的坐标 4、利用直角坐标作向量的线性运算 5、向量的模、方向角、方向余弦、投影 26/26

27 作 业 习题7-1