向量空间与线性变换 在数学大厦中的重要地位

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1 向量空间与线性变换 在数学大厦中的重要地位
向量空间与线性变换 在数学大厦中的重要地位 主 讲 侯维民教授

2 向量空间与线性变换在数学大厦中的重要地位主要体现在以下三方面：
一、在大学数学课程体系中的核心地位 二、对诸多数学知识的领导作用 三、对现代数学思想方法的奠基作用

3 一.在大学数学课程体系中的核心地位 1 高等代数是数学类各专业的骨干基础课 2 线性代数是高等代数的主要内容
3 向量空间、线性变换在线性代数中的核心地位

4 高等代数是数学类各专业的骨干基础课

5 线性代数是高等代数的主要内容 多项式论 线性代数 高等代数 群环域简介 ●三部分内容简介 ●三部分内容重要性比较

6 向量空间、线性变换 在线性代数中的核心地位
向量空间、线性变换 在线性代数中的核心地位

7 二 对诸多数学知识的领导作用 （一）向量空间对诸多数学知识的领导作用
二 对诸多数学知识的领导作用 （一）向量空间对诸多数学知识的领导作用 ●对中学数学 设C表示复数域，则(C,+,·)作成C上的向量空间 设R表示实数域，则(R,+,·)作成R上的向量空间 设Q表示有理数域，则(Q,+,·)作成Q上的向量空间

8 ○设v1={a|a是直线上的向量},则(v1,+,数乘)作成R上的向量空间
二、对诸多数学知识的领导作用 （一）向量空间对诸多数学知识的领导作用 ●对解析几何 ○设v1={a|a是直线上的向量},则(v1,+,数乘)作成R上的向量空间 ○设v2={a|a是平面上的向量},则(v2,+,数乘)作成R上的向量空间 ○设v3={a|a是几何空间的向量},则(v3,+,数乘)作成R上的向量空间 ○ ○

9 二、 对诸多数学知识的领导作用 （一） 向量空间对诸多数学知识的领导作用
●对数学分析

10 二、 对诸多数学知识的领导作用 （一）向量空间对诸多数学知识的领导作用
二、 对诸多数学知识的领导作用 （一）向量空间对诸多数学知识的领导作用 ●对高等代数 (1)令F是一个数域，则(F,+,数乘)作成F上的向量空间 (2)F[x]={f(x)|f(x)是F上的多项式},则(F[x],+,数乘)作成F上的向量空间 (3)令F[x1,x2,...,xn]是F上多元多项式的集合，则 （F[x1,x2,...,xn],+,数乘)作成F上的向量空间 (4)令Fm[x1,x2,...,xn]是F上m次齐次多项式的集合，则(Fm[x1,x2,...,xn],+,数乘)作成F上的向量空间 (5)令F对[x1,x2,...,xn]是F上对称多项式的集合，则 (F对[x1,x2,...,xn],+,数乘)作成F上的向量空间 （6）令Mm×n(F)={A|A是F上的m×n矩阵}，则(Mm×n(F),+,数乘)作成F上的向量空间 (7)令M是F上n阶对称（反对称）矩阵的集合，则(M，+，数乘)作成F上的向量空间 （8）令M是F上n阶上（下）三角形矩阵的集合，则(M，+，数乘)作成F上的向量空间 （9）设V是F上的向量空间，则L(V)作成F上的向量空间

11 二、 对诸多数学知识的领导作用 （二）线性变换对诸多数学知识的领导作用
●对中学数学 正比例函数 y=kx

12 二、 对诸多数学知识的领导作用 （二）线性变换对诸多数学知识的领导作用
●对解析几何

13 ●对数学分析 注 意 如不计较常数的差异， 也可看成C[a,b]的线性变换 则 是C[a,b]上的线性函数，而不是线性变换
二、 对诸多数学知识的领导作用 （二）线性变换对诸多数学知识的领导作用 ●对数学分析 注 意 如不计较常数的差异， 也可看成C[a,b]的线性变换 则 是C[a,b]上的线性函数，而不是线性变换

14 二、 对诸多数学知识的领导作用 （二）线性变换对诸多数学知识的领导作用
●对高等代数

15 二、 对诸多数学知识的领导作用 （二）线性变换对诸多数学知识的领导作用
●对高等代数

16 三. 对现代数学思想方法的奠基作用 ●现代数学思想方法： 形式公理化方法、 结构化方法、 矩阵表示方法

17 ○抽象代数：群、环、域、模、格 ○拓扑学：拓扑、同胚 ○泛函分析：距离、线性赋范空间 ○概率论：概率
三. 对现代数学思想方法的奠基作用 （一）形式公理化方法 ○抽象代数：群、环、域、模、格 ○拓扑学：拓扑、同胚 ○泛函分析：距离、线性赋范空间 ○概率论：概率

18 三. 对现代数学思想方法的奠基作用 （二）结构化方法
代数结构 数学结构 拓扑结构 序结构 向量空间的结构 线性变换的结构

19 ●取定一个基后，向量、向量组、线性映射、线性变换、线性函数、双线性函数...
三. 对现代数学思想方法的奠基作用 （三）矩阵表示方法 ●取定一个基后，向量、向量组、线性映射、线性变换、线性函数、双线性函数... ●基变换公式、坐标变换公式、向量组之间的线性关系、线性变换的计算公式、矩阵之间的相似关系 ●

20 谢 谢 大 家！