关于高中数学的一些想法 东北师范大学 史宁中 2014年10月.

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1 关于高中数学的一些想法 东北师范大学 史宁中 2014年10月

2 目录 （一）义务教育数学课程标准理念 （二）高中数学课程标准体例 （三）高中数学课程核心素养

3 一、义务教育数学课程标准理念 教育理念：以人为本（传统理念以知识为本） 工作方针：育人为本（纲要）；立德树人（十八大）
以人为本：以学生的发展为本；站在学生的立场思考问题 转换 尊重的教育：教育规律；认知规律；受教育者的人格人性 以学习为本：实现从“如何教”到“如何学”的转变 了解学生如何接受（青蛙跳水） 如何启发学生思考（几何作图）

4 课程理念：每个人都能获得良好的数学教育；
不同的人在数学上得到不同的发展。 人成功的基础：知识技能 + 把握机遇 + 思维方法 学习数学，除了获取必要的数学知识和掌握必要的数学技能之外，还要获得基本的数学素养。会想问题、会做事情。 课程目标包括三条 提出四基：基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验 提出四能：发现问题、提出问题 + 分析问题、解决问题 科学精神：敢于质疑，善于思考，实事求是，一丝不苟

5 什么是数学的基本思想？数形结合、等量替换、消元法、递归法？
数学的产生与发展必须依赖的思想； 学习数学与没学习数学的思维差异。 抽象：现实 → 数学。数量与数量关系；图形与图形关系。 数学具有一般性。学习过数学的人抽象能力强。 推理：数学 → 数学。得到并且验证数学的结果：命题。 数学具有严谨性。学习过数学的人推理能力强。 模型：数学 → 现实。用数学的语言讲述现实世界的故事。 数学具有应用的广泛性。学习过数学的人会一般性思考。

6 关于抽象 亚里士多德： 数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中那些 感性的东西（颜色、温度）。对于数学而言，线、角、 或者其他的量的定义，不是作为存在而是作为关系。 数学抽象包括：数量与数量关系、图形与图形关系。 通过抽象得到：研究对象的概念、研究对象的关系； 运算方法和运算法则、度量方法。 抽象分两个层次：对应起名（外延）；本质描述（内涵）。

7 关于数的抽象（对应、去掉物理属性） 什么是数：数量 → 数（估算与近似计算的区别） 数量的本质多与少 → 数的本质大与小 3个苹果比2个苹果多 → 3比2大 什么是加法：□□□←□，所以 = 4 ？ □□□ □□□□ 哪边的小方块多？ □□□←□ □□□□ 哪边的小方块多？ 所以 = 4。等号是指两边的量相等。 方程的意义：讲两个故事，两个故事量相等。

8 自然数（加法） → 整数（减法：加法的逆运算） → 有理数（除法：乘法的逆运算）；有理数 = 分数 → 无理数（不能写成分数的形式） → 实数 = 有理数 + 无理数（小数形式的表达） 为了解释微积分、为了解释极限运算 需要实数的连续性：可以理解 1/n → 0，如何理解 x → 0 ? 需要无理数的运算：√2 +√3 = ? √2·√3 = √2·3 ?

9 极限运算：柯西(1821) 从柯西开始，现代数学走向了符号化、形式化、公理化 1872 年，康托用柯西基本序列的方法定义了实数 解决了实数的运算问题 √a·√b = √a·b ？ 柯西有理数列： an → √a, bn → √b , 极限运算法则： an2 → a, bn2 → b，an2·bn2 → a·b 有理数列：{an2·bn2 } ≡ {(an·bn)2 } 确定实数 a·b 柯西有理数列：an·bn 确定实数 √a·b，所以 √a·√b = √a·b

10 1872 年，戴德金用有理数分割的方法重新定义了实数
有理数分割三种可能；实数分割两种可能 解决了实数的连续性问题 1889 年，皮亚诺用公理体系重新定义了自然数（九个公理） 后续数方法：从1开始，后续为2=1+1；加法1+1=2。 后来（10年）从0开始。 1908 年，策梅罗构建了集合公理化体系（九个公理） 抽象的存在 郑板桥：我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。

11 关于数学的推理 推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程。 命题：可以进行是否判断的陈述句。 数学命题可供判断：这个三角形是红的（不是数学命题） 数学命题仅供判断：三角形内角和 180 度 三角形内角和 120 度（都是命题） 数学命题两种形式： 性质命题（系词结构：… 是 …） 关系命题（条件结论：如果 … ，那么 …）

12 数学推理是有逻辑的推理：命题内涵之间具有传递性。
演绎推理：命题内涵由大到小，得到结果是必然的。验证结论。 A → P，x ∈ A，x → P。 凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。 归纳推理：命题内涵由小到大，得到结果是或然的。发现结论。 x → P，x ∈ A，A → P。 苏格拉底是人，苏格拉底有死，所以凡人都有死。 无逻辑的推理：命题之间没有传递性。 苹果是酸的，酸是一种味道，所以苹果是一种味道。

13 演绎推理 基础：同一律、矛盾律、排中律、公理（定理）、假设 包括：三段论、假言三段论、反证法、完全归纳法、数学归纳法、 数字与符号运算（算法逻辑） 形式：已知 A 求证 B。 A 和 B 都是确定性命题。 功能：可以验证结论。 不能用于发现真理，但可以发现谬误。

14 归纳推理 通过经验过的东西推断没有经验的东西 从小范围的结论推断大范围的结论。 包括：归纳法、类比、实验数据、试验数据、调查数据 归纳法：代数（哥德巴赫猜想、平方和公式） 类比法：几何（庞加莱猜想、爱因斯坦时空) 归纳推理就是“看出”结果，这是创新的根本。在我国，过去的数学教育缺少这种能力的培养。因此，这种能力的培养将是我国未来教育教学改革的难点和重点。

15 针对现代数学符号化、形式化、公理化的特点，应当采取有相应的教学方法：
表达是符号的，教学应当是现实的； 证明是形式的，教学应当是直观的； 体系是公理的，教学应当是归纳的。 即：教学需要反其道而行之 抽象到具体：举例说明、直观描述。 一般到特殊：高维空间到低维空间。 是教学改革的一个难点，也是为广大教师提供了一个舞台。

16 关于数学模型 什么是数学模型？2x、y = 5x2 是不是模型？ 数学模型：用数学的语言讲述现实世界中的故事。 语言：概念、符号、公式； 故事：与数量（数字化）有关、与图形有关。 力的模型（第二定律）：F = ma 重力加速度模型：s = gt2/2 伯努利模型：B(1,p) → B(n,p)

17 凯恩斯学派强调政府对于市场的干预 凯恩斯静态模型两个方程 第一个方程：收入 = 消费 + 投资 第二个方程：消费 = 基本 + 收入比例 其中 Y：国民收入；C：国民消费；I：国民投资；a0为基本消费；a为消费倾向：a ≦1。通过计算可以得到 a 越接近 1，消费倾向越强，国民收入越高。

18 二、高中课程标准体例 高中阶段教育：基础性、选择性、时代性 必修 （8学分、一学年）：学业水平考试；分等级
必修 （8学分、一学年）：学业水平考试；分等级 选修Ⅰ （6学分、二学年）：专科可以不学；作为高考成绩 选修Ⅱ （6学分、三学年）：自主招生院校 必修：强调基础性与时代性 函数与数列：集合、函数、基本初等函数、数列、不等式 向量与几何：向量、立体几何初步、平面解析几何初步 统计与概率：随机抽样、误差模型、估计、古典概型

19 选修Ⅰ（6学分）：选择性与基础性 导数、函数的性质、优化、算法、伯努利模型、列联表 选修Ⅱ （6学分）：选择性与时代性 理工方向：变换、基于模型的统计与概率 社会方向：经济模型、运筹优化 人文方向：概念命题、逻辑推理 艺术方向：基于数学的美，对称、周期、和谐 自主招生考试：学校指定、学生选择、分类录取

20 三、高中数学核心素养 两个层次：通识、数学 通识素养：会学学习，应用能力（应用意识），创新意识。
数学素养：抽象概括（数感、符号意识），运算能力，推理能力， 数学建模（模型思想），几何直观（ + 空间观念）， 数据分析观念。 表述：数学理解，审美能力，数学表达交流合作能力。 考试：以核心素养为准则。

21 谢谢！

22 什么是：除法是乘法的逆运算？ 关联问题：为什么除分数等于乘分数的倒数？ 有鹅4只，是鸭子的1/3，问有几只鸭子？ 4 ÷ 1/3 = 4 × 3 = 12 ? 分数：等分关系；比例关系。 除法是乘法的逆运算：？= 4 ÷ 1/3 → ？ × 1/3 = 4 ？ × 1/3 × 3 = 4 × 3 ？= 4 × 3 ？= 4 ÷ 1/3 = 4 × 3

23 平方和 12 + 22 + … + n2 = ？ 立方和13 + 23 + … + n3 = ？ 归纳的方法： n 1 2 3 4 5
和 平方和 立方和 → 立方和 = 和×和 = n2(n+1)2/4 平方和 = 和×A n = 2，和 = 5 = 3×5/3； n = 3，和 = 14 = 6×7/3； n = 4，和 = 30 = 10×9/3； n = 5，和 = 55 = 15×11/3。 → A = (2n+1)/3 → 平方和 = n(n+1)(2n+1)/6

24 如何理解集合？ 集合的定义由描述走向符号化 研究对象的全体 → 可分辨的、研究对象的全体 → 具有某种特性的、研究对象的全体 1918年罗素给出悖论： 一个乡村理发师说，他不给村里自己刮脸的人刮脸，但给所有不自己刮脸的人刮脸。 后来他遇到了尴尬，他是否应当给自己刮脸呢？ 如果他给自己刮脸，那么按照他说的前一半，就不应当给自己刮脸；如果他不给自己刮脸，那么按照他说的后一半，就应当给自己刮脸。理发师陷入了逻辑两难的困境。

25 符号化定义（Z-F公理体系） 用大写字母A表示集合；用小写字母a表示元素；用∈表示属于关系。如果元素a属于集合A，则表示为a∈A。 集合由元素唯一确定： 1.外延公理。对于两个集合A和B，如果A中的任一元素都是B中的元素，B中的任一元素都是A中的元素，则这两个集合是同一集合，记为：A≡B。 集合的性质与分类。 集合的不重复性是什么意思？集合的无序性是什么意思？

26 函数：初中变量说、高中对应说，为什么？ f1(x) = sin2x + cos2x， f2(x) = 1。 这两个函数是一样的吗？ 对应说：定义域、值域、对应（映射）；集合、对应关系。 三角函数： 初中在直角三角形中讲、高中在单位圆中讲，为什么？ 对数函数与指数函数的关系？

27 如何定义几何的点线面？ 欧几里得 概念：点没有部分。线只有长度没有宽度。面只有长度和宽度。 平行公理：过直线外一点能且只能做一条平行线。 带来很多的问题 点线：两条直线相交一定交于一点？ 平行：两条永远不相交的直线？ 全等：两个图形重合？

28 希尔伯特：基本概念符号化（点、线、面；桌子、椅子、啤酒杯）
设想有三组不同的对象： 第一组的对象叫做点，用A，B，C，… 表示； 第二组的对象叫做直线，用a，b，c，… 表示； 第三组的对象叫做平面，用α，β，γ，… 表示。 关联公理：两点唯一决定一条直线、三点唯一决定一个平面 顺序公理：直线上一个点在两个点之间、直线通过三角形两个边 合同公理：线段相等、角相等、三角形边角边全等 平行公理：过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行 连续公理：阿基米德公理、完备性公理（庞加莱）

29 过直线外一点有一条平行线：欧几里得几何 无数平行线：罗巴切夫斯基几何 没有平行线：黎曼几何 三角形内角和 高斯曲率在三角形上的积分 = 三个角的和 – π 曲率：欧式几何 = 0；内角和等于 180 度。 罗氏几何 ﹤0；内角和小于 180 度。 黎曼几何 ﹥0；内角和大于 180 度。 这些几何都有鲜明的物理背景。 公理 → 假设

30 罗巴切夫斯基几何 从无穷远点出发，可以在地球上得到无数多条平行直线。 北极出地 = 北纬：北半球所有点到北极星的射线都平行。 北极星到地球：434 光年；地球半径：6369 公里。
A a b 赤道 O N

31 黎曼几何：球面上的几何 两点间直线段最短？两点间所有连线中直线段最短。 北京和纽约都在北纬40度 沿纬度：14311公里 沿大圆：11005公里 缩短：3306公里 球面上最短线为直线：大圆。 所有直线都相交，因此没有平行线。

32 随机误差模型 x = μ+ε 其中：x 为观测值，μ为真值，ε为随机误差。 统计学工作：估计 μ，检验 μ = a ？估计方差，计算取值分布。 基本方法： 得到样本：x1 = μ + ε1，…， xn = μ + εn 各项相加：x1 + … + xn = nμ + ε1 + … +εn 随机误差满足：ε1 + … + εn = 0 用样本平均估计真值： μ* = (x1+…+xn)/n

33 用反证法证明√2是无理数。 假设√2不是无理数。（为证明A→P，先假定A→Pc） 因为√2 有理数，可以表示为两个整数的比：√2 = a/b， 其中 a 和 b 没有公因数。则 a2 = 2b2，a2 必为偶数（只有 偶数的平方才能为偶数），所以 a 为偶数。因为 a 和 b 没有公因数，b 必为奇数。 设a = 2c，则a2 = 4c2，于是4c2 = 2b2 或者 2c2=b2，则 b2为偶数、即 b 为偶数。B 不可能又是奇数又是偶数，假设不成立。（根据矛盾律的原则）。 所以√2是无理数。（根据排中律）。