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第四章 空间力系.

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1 第四章 空间力系

2 若力系中各力的作用线在空间任意分布,则该力系称为空间任意力系,简称空间力系。

3 本章研究的主要内容 分解 空间力偶系 空间力系 空间汇交力系 简化 导出平衡方程。 应用: 重心、平行力系中心

4 §4–1空间汇交力系 平面汇交力系合成的力多变形法则对空间汇交力系是否适用? 对空间多个汇交力是否好用? 用解析法又如何?

5 1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法

6 间接(二次)投影法 2、空间汇交力系的合力与平衡条件 空间汇交力系的合力 合矢量(力)投影定理

7 合力的大小为: 方向余弦 空间汇交力系平衡的充分必要条件是: 该力系的合力等于零,即可由上式得: 称为空间汇交力系的平衡方程。

8 §4–2 力对点的矩和力对轴的矩 1、 力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素 (1)大小:力F与力臂的乘积 (2)方向:转动方向
§4–2 力对点的矩和力对轴的矩 1、  力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素 (1)大小:力F与力臂的乘积 (2)方向:转动方向 (3)作用面:力矩作用面。

9 力对O点的矩在三个坐标轴的投影:

10 2.力对轴的矩 力与轴相交或与轴平行(力与轴在同一平面内),力对该轴的矩为零。

11 3、  力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 已知:力 ,力 在三根轴上的分力 , , ,力 作用点的坐标 x, y, z 求:力F对 x, y, z轴的矩

12 比较力对点之矩和力对轴之矩,可得如下关系式:
即,力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影,等于 力对该轴的矩。

13 §4–3 空间力偶 1、力偶矩以矢量表示 力偶矩矢 空间力偶的三要素 (1) 大小:力与力偶臂的乘积; (2) 方向:转动方向;
§4–3 空间力偶 1、力偶矩以矢量表示 力偶矩矢 空间力偶的三要素 (1) 大小:力与力偶臂的乘积; (2) 方向:转动方向; (3) 作用面:力偶作用面。

14 力偶矩

15 2、力偶的性质 (1)力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。 (2)力偶对任意点取矩都等于力偶矩,不因矩心的改变而改变。 力偶矩

16 (3)只要保持力偶矩不变,力偶可在其作用面内任意移转,且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短,对刚体的作用效果不变。
= = =

17 (4)只要保持力偶矩不变,力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面,对刚体的作用效果不变。
= = = =

18 定位矢量 滑移矢量 自由矢量(搬来搬去,滑来滑去) 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力,力偶平衡只能由力偶来平衡。

19 3.力偶系的合成与平衡条件 = = 则得: 为合力偶矩矢,等于各分力偶矩矢的矢量和。

20 合力偶矩矢的大小和方向余弦 空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等于零,即 简写: 称为空间力偶系的平衡方程。

21 §4–4 空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩
简化过程: 将力系向已知点 O 简化 —— O 点称为简化中心。 合成 汇交力系 力线平移 合成 力偶系 一个力 作用于简化中心O 向一点O 简化 结论: 空间 一般力系 一个力偶M 主矢与主矩 ——原力系的主矢 主矢与简化点O位置无关 MO——称为原力系对O点的主矩 主矩与简化点O位置有关

22 建立直角坐标系Oxyz,主矢F’R在各坐轴上的投影分别为:
主矩MO在各坐标轴上的投影分别为:

23 —有效推进力 飞机向前飞行 —有效升力 飞机上升 —侧向力 飞机侧移 —滚转力矩 飞机绕x轴滚转 —偏航力矩 飞机转弯 —俯仰力矩 飞机仰头

24 2.  空间任意力系的简化结果分析(最后结果)
1)   合力 当   最后结果为一个合力。 合力作用点过简化中心。 当    时, 最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为

25 合力矩定理:合力对某点(或轴)之矩等于各分力对同一点(或轴)之矩的矢量(代数)和。
(2)合力偶 当 时,最后结果为一个合力偶。此时与简化 中心无关。 (3)力螺旋 力螺旋中心轴过简化中心

26 力螺旋中心轴距简化中心为 (4)平衡 当 时,空间力系为平衡力系

27 §4–5 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充分必要条件:该力系的主矢、主矩分别为零。 即: 则有:

28 例4-1已知:T1=200N, T2=100N,皮带轮直径 D1=160mm,柱齿圆轮节圆直径D=20mm,压力角α=200
求: 力P大小及A、B处的反力

29 解: 分析: 传动轴AB匀速转动时,可以认为处于平衡状态。 以AB轴及其上的齿轮和皮带轮所组成的系统为研究对象。

30 解: 以AB轴及其上的齿轮和皮带轮所组成的系统为研究对象。

31 例4-2 三轮小车ABC静止于光滑水平面上,如图所示。已知:AD = BD = 0. 5m,CD = 1. 5m。若有铅垂载荷P = 1
例4-2 三轮小车ABC静止于光滑水平面上,如图所示。已知:AD = BD = 0.5m,CD = 1.5m。若有铅垂载荷P = 1.5kN,作用于车上E点,EF = DG = 0.5m,DF = EG = 0.1m。试求地面作用于A、B、C三轮的反力。 解: 三轮小车ABC ——研究对象 受力: P、FA、FB、FC 构成平行力系。 (1) (2) (3)

32 例4-3 已知: 物重P=10kN,CE=EB=DE; 求:杆受力及绳拉力 解:画受力图如图,列平衡方程 结果:

33 例4-4 各尺寸如图 已知: 求: 及A、B处约束力 解:研究对象, 曲轴 受力: 列平衡方程

34 结果:

35 例4-5 已知: F、P及各尺寸 求: 杆内力 解:研究对象,长方板 受力图如图 列平衡方程

36 例4-6 已知:P=1000N ,各杆重不计。 求:三根杆所受力。 解:各杆均为二力杆,取球铰O,画受力图建坐标系如图。 解得 (压) (拉)

37 物体每一微小部分地球引力 :构成一汇交力系,
§4 -6 重心 · 平行力系中心 一、重心的概念 物体的重量(力): 物体每一微小部分地球引力的合力。 P 物体每一微小部分地球引力 :构成一汇交力系, 汇交点为地球中心。近似为一空间平行力系。 重心: 物体每一微小部分地球引力合力 P 的作用点C 。 空间平行力系的中心——几何点 重心C —— 唯一性 二、重心位置的确定 1. 一般计算公式 设合力P的作用点位置坐标为:xC、yC、zC ,由合力矩定理得:

38 P 重心坐标的一般计算公式,P为物体的总重量。 设: 其中 分别 为微元体的质量和物体的总质量,g 为重力加速度。则有: 物体质心坐标的一般计算公式。 可见:在重力场中,重心与质心为同一几何点。 重心:仅在重力场中存在。 重心与质心的区别 质心:任何地方都存在。

39 2. 均质物体的重心坐标积分计算 设物体内一点容重为: —— 单位体积的重量(N/m3), 则有: ΔV、V 分别为微元体和物体的体积。 均质物体的重心位于物体的几何形心。 上式可表示为: 对平面图形,上式变为: 注:适用于几何形状规则的物体

40 小问题:如何设计不倒翁? 3. 均质组合形状物体的重心计算 (1)对称性法 重心一定在物体的对称轴、对称面、对称中心上。
3. 均质组合形状物体的重心计算 (1)对称性法 重心一定在物体的对称轴、对称面、对称中心上。 (2)组合法(叠加法) 求图示平面图形的重心。 (3)负面积法 小问题:如何设计不倒翁?

41 三、 重心确定的实验方法 适用于非均质、形状不规则等一般物体。 (1)悬挂法 注:适用于小物体。

42 (2) 称重法 整理后,得 若汽车左右不对称,如何测出重心距左(或右)轮的距离?

43 例4-7 已知:均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示。 求:其重心坐标 解:厚度方向重心坐标已确定, 只求重心的x,y坐标即可。 用虚线分割如图, 为三个小矩形, 其面积与坐标分别为

44 例4-8 已知:等厚均质偏心块的 求:其重心坐标。 解:用负面积法, 为三部分组成, 设大半圆面积为A1, 小半圆(半径为r+b)面积为A2 , 小圆(半径为r)面积为A3,为负值。 由对称性,有


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