第八章 空间解析几何 与向量代数 一. 内 容 要 点 二. 重 点 难 点 三. 主 要 内 容 四. 例 题与习题.

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1 第八章 空间解析几何 与向量代数 一. 内 容 要 点 二. 重 点 难 点 三. 主 要 内 容 四. 例 题与习题

2 一. 内容要点 1. 空间直角坐标系及向量代数 空间直角坐标系； 向量，向量的坐标； 向量的加减法；向量与数的乘法；
数量积，向量积，混合积。

3 2. 平面与直线，曲面与曲线 曲面及其方程； 空间曲线及其方程； 平面及其方程； 空间直线及其方程； 二次曲面。

4 二、重点 难点 重点： 1. 向量的运算，两个向量垂直、平行的条件； 2. 平面方程和直线方程的建立；

5 3. 以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母 线平行于坐标轴的柱面方程的求法；
4. 利用截痕法讨论曲面的形状。

6 难点： 向量积的定义及其运算规律、几何意义； 二次曲面的方程及其图形。

7 三、主要内容 （一）向量代数 （二）空间解析几何

8 （一）向量代数 向量概念 向量的 线性运算 向量的 表示法 向量的积 数量积 混合积 向量积

9 1、向量的概念 定义:既有大小又有方向的量称为向量. 重要概念: 向量的模、 单位向量、 零向量、 自由向量、 相等向量、 负向量、
平行向量、 向径.

10 2、向量的线性运算 (1) 加法： (2) 减法： (3) 向量与数的乘法：

11 3、向量的表示法 向量的分解式： 在三个坐标轴上的分向量： 向量的坐标表示式： 向量的坐标：

12 向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式

13 向量模长的坐标表示式 向量方向余弦的坐标表示式

14 4、数量积 (点积、内积) 数量积的坐标表达式 两向量夹角余弦的坐标表示式

15 5、向量积 (叉积、外积) 向量积的坐标表达式

16 // 6、混合积

17 （二）空间解析几何 空间直角坐标系 曲线 曲面 直 线 平 面 一般方程 旋转曲面 参数方程 柱 面 一般方程 二次曲面 参数方程
柱 面 直 线 平 面 一般方程 二次曲面 参数方程 对称式方程 点法式方程 一般方程

18 1、空间直角坐标系 竖轴 空间的点 定点 纵轴 有序数组 横轴

19 空间直角坐标系 共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.

20 两点间距离公式: 它们距离为

21 2、曲面 曲面方程的定义：

22 [1] 旋转曲面 研究空间曲面的两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程. （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.
定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之. 这条定直线叫旋转曲面的轴.

23 方程特点:

24 （1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面

25 [2] 柱面 定义： 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称之. 这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.

26 从柱面方程看柱面的特征： (1) 平面

27 (2) 圆柱面 (3) 抛物柱面 (4) 椭圆柱面

28 [3] 二次曲面 定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面. （1）椭球面 （2）椭圆抛物面

29 （3）马鞍面 （4）单叶双曲面 （5）圆锥面

30 3、空间曲线 [1] 空间曲线的一般方程 [2] 空间曲线的参数方程

31 如图空间曲线 一般方程为 参数方程为

32 [3] 空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线的一般方程： 消去变量z后得： 曲线在 面上的投影曲线为 面上的投影曲线 面上的投影曲线

33 如图:投影曲线的研究过程. 空间曲线 投影柱面 投影曲线

34 [4] 空间立体或曲面在坐标面上的投影 空间立体 曲面

35 4、平面 [1] 平面的点法式方程 [2] 平面的一般方程 [3] 平面的截距式方程

36 [4] 平面的夹角 [5] 两平面位置特征： //

37 5、空间直线 [1] 空间直线的一般方程

38 [2] 空间直线的对称式方程 [3] 空间直线的参数方程

39 [4] 两直线的夹角 直线 直线 ^ 两直线的夹角公式

40 [5] 两直线的位置关系： // [6] 直线与平面的夹角

41 直线与平面的夹角公式 [7] 直线与平面的位置关系 //

42 四、典型例题 例1 解 由题设条件得 解得

43 例2 解 过已知直线的平面束方程为

44 由题设知 由此解得 代回平面束方程为

45 例3 解 将两已知直线方程化为参数方程为

46 即有

47

48 例4 解

49 所求投影直线方程为

50 例5 解 由于高度不变,

51 故所求旋转曲面方程为

52 五、例题选讲 例1 如果直线 与平面 平行, 求 例2 空间直线 与平面 的相互位置关系是 （ ）

53 过点 例3 平面 则 与平面 例4 平面 的位置关系是 ( )

54 例5 例6

55 例7 例8

56 六、 练 习 题

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65 练习题答案

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