第七章 空间解析几何 §3 向量的乘法 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、向量的混合积.

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1 第七章 空间解析几何 §3 向量的乘法 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、向量的混合积

2 一、两向量的数量积 1. 两向量之间的夹角 2. 两向量的数量积定义 引例 设某物体在常力 作用下沿直线从点

3 移至 以 表示位移 则由物理学知道， 力 所作的 功为 其中 由数量积的定义不难得到如下结论:

4 （1） 一般地，我们规定 （2） 两个非零向量 当 为非零向量时， 称 为向量 在 方向 上的投影， 记作 即 此时，两向量的数量积可以表示成 类似地,当 为非零向量时，又有 这表明， 两向量的数量积等于 其中某一向量的模与另一向量在该向量方向上的 投影之积．

5 由数量积的定义不难证明数量积符合下列运算律：
例1 试证三角形的三条高相交于一点． 证 设 的 两边上 的高交于 点。 则有 因为 所以

6 即 又因为 所以 即 由（1）（2）式得 即 或 的第三条边 这说明 即点 在 的高线上， 所以 的三条高交于一点

7 证 因为 所以 且有 同理可得

8 3. 两向量数量积的坐标表示 定理1 设 则 证 由数量积的运算律及例2结论， 得 由此可得两个非零向量夹角的余弦公式：

9 特别地， 两个非零向量 同时有 解 因为 所以

10 解 因为 所以 由此得 解 线段 的中点坐标为

11 作业：P21 1.(3); 2.(1)(2) 由题意知 即 故有 这就是点 的坐标满足的条件．
上述关系式是利用两向量垂直的坐标表示而得到的， 该方法是向量代数在空间解析几何问题里的一个重要 体现。 作业：P21 1.(3); 2.(1)(2)

12 二、两向量的向量积 1. 两向量的向量积定义 引例 设 为一根杠杆 的支点， 有一个力 作 用于这杠杆上 点处, 与 的夹角为 求力 对支点
的力矩. 对支点 的力矩是一个向量 由力学规定， (1) 指向 (2) 的方向垂直于 所在的平面, 与

13 按 的顺序符合右手规则。 这种由两个向量按上面的规则来 确定一个向量的情况， 在其他力学和 物理问题中也会遇到．

14 证 （1） 因为 与 的夹角为 所以 故有 同理有， （2） 因为 与 的夹角为 所以

15 又 且 的指向符合右手规则， 故 与 同向。 综上可得 同理有， （3） 显然， 与 都垂直于 与 但按右手 故 规则， 与 反向， 又 同理有， 注 两个非零向量 由向量积的定义不难证明向量积符合下列运算律：

16 2. 两向量的向量积的坐标表示 则由向量积运算律 设 以及例8的结论可得 此结论可用三阶行列式表示为 注 两个非零向量

17 解 事实上， 解 因为向量 同时垂直于向量 故所求 向量是与 平行的单位向量. 因为

18 故所求的单位向量为

19 解 因为 所以 （1） 由向量积的定义易知 故 （2） 由向量积的定义可知 的面积

20 (3) 由 得 注 称垂直于某平面的非零向量为该平面的法线向量， 简称为法向量, 同一平面的不同法向量总是平行的． 解 因为 所以力 关于点 的力矩为

21 三、向量的混合积 1．混合积的定义 证 由于向量 不共面， 所以把它们归结到 共同的起始点 可构成以 为棱的平行六面体,

22 它的底面是以 为邻边的平行 四边形， 故底面面积为 设平行六面体的高为 则其体积 根据数量积的定义， 的夹角. 其中 是 与 当 构成右手系时， 因而可得 当 构成左手系时， 因而可得

23 证 若三向量 共面， 则因为 垂直于 所在的平面， 所以 也垂直于与 共面的向量 故 即 反过来， 如果 即 则有 另一方面， 由外积定义知 所以 共面。

24 2．混合积的坐标表达式 设 则有 注 向量 共面的充要条件是

25 由立体几何知道四面体的体积为以向量 解 为棱的平行六面体的体积的六分之一． 而 , 所以四面体 的体积为

26 作业：P ; 5; 7

27 第二、三周作业解析 P253 习题5－4 1. 判定下列各反常积分的收敛性,如果收敛,计算反 常积分的值: （5）

28 （9） 发散, 发散.