第2章 质点动力学 Chap.2 Kinetics.

Presentation on theme: "第2章 质点动力学 Chap.2 Kinetics."— Presentation transcript:

1 第2章 质点动力学 Chap.2 Kinetics

2 本章要点 动量、冲量、动量定理与动量守恒定律 质点的角动量、角动量定理与角动量守恒 动能、势能、机械能 动能定理、功能原理与机械能守恒

3 2.1 牛顿运动定律 牛顿运动三定律 基本力简介 牛顿定律的应用 动力学中的两类基本问题

4 牛顿第一定律（Newton's first law）：
1.牛顿运动三定律 牛顿第一定律（Newton's first law）： 任何物体都将保持静止或沿一直线作匀速运动的状态，除非有力加于其上迫使它改变这种状态。 惯性(inertia) 惯性参照系的概念 牛顿 Issac Newton （1642－1727） 力(force)： 物体间相互作用，是改变速度的原因。

5 牛顿第二定律（Newton's second law）：
“运动的改变和所加的动力成正比，并且发生在这力所沿直线的方向上。” “运动的量是用速度和质量一起来度量的”。 动量(momentum)： 理解要点： （1） 质点 惯性系 （2） m 不变时， （3） 瞬时性 矢量性 （4）力为合力，

6 牛顿第三定律（Newton's third law）：
“每一个作用总有一个相等的反作用与它对抗；或者说，两个物体之间的相互作用永远大小相等，方向相反。” （1）作用力和反作用力同时存在。 （2）分别作用于两个物体上，不能抵消。 （3）属于同一种性质的力。

7 2.基本力简介 宏观领域显著； 微观领域强度很弱，仅为电磁力的1/1040 万有引力： 电磁力： 除万有引力外，几乎所有宏观力都是电磁力。
长程力。 强力： 原子核内的短程力，其强度是电磁力的百倍。 力程约为10-15m 弱力： 存在于基本粒子之间，强度只是强力的1/1013 。 力程约为10-17m

8 解 3.牛顿定律的应用 动力学中的两类基本问题 第一类问题：已知质点的运动规律，即已知质点的运动学方程r = r(t)，求作用于质点的力。
对时间求二阶导数（加速度） 作用于质点的力. 例2-1 . 一个质量为m的质点在xy平面上运动，运动方程为： 式中A、B、w为常数，求物体受到的作用力。 解

9 第二类问题：已知作用于质点的力和初始条件，求质点的运动现律。
据受力情况来定： 如果力是恒力，用“隔离体法”直接求解； 如果力是时间、速度的函数，对动力学方程分离变量后积分； 如果力是坐标的函数，则需先作变量变换，再利用分离变量求积分。

10 例2-2 如图所示，质量为m的均匀细绳长度为l，将其一端固定，另一端绕固定端在光滑水平面上以匀角速度w旋转。设绳子不可伸长，试求距固定端半径为r处绳中的张力。
解 w dx O x dx T T+dT

11 例2-3 质量为m的轮船在停靠码头之前停机，这时轮船的速率为v0。设水的阻力与轮船的速率成正比，比例系数为k，求轮船在发动机停机后所能前进的最大距离。
解一 （负号表示力和速度的方向相反 ）

12 解二 （负号表示力和速度的方向相反 ） 变换 ： 设所能前进的最大距离为L：

13 2.2 动量守恒 质点的动量定理 质点系的动量定理 动量守恒定律 质心 质心运动定理

14 1.质点的动量定理 将一个实际问题（对应一个有限过程）分解为无限多个无限小的过程（元过程），通过对其中一个一般的元过程的研究得到结论，并将该结论对整个有限的过程进行叠加（积分），从而得到问题的解，这是物理学研究问题的一般方法。 将牛顿第二定律改写为： 式中乘积Fdt表示力F在dt时间内的积累，称为在dt时间内质点所受合外力F的冲量。上式表明，质点所受合外力在dt时间内的冲量等于同一时间内质点动量的增量，也称为动量定理的微分形式 。 如果整个过程持续的时间为从t0时刻到t时刻，我们将上述结论对整个过程进行叠加得到：

15 令： ，表示力F 在t0 到 t 内的冲量（impulse） 动量定理的积分形式 通常情况下，冲量的方向与动量的方向不相同，而是与动量增量的方向相同。矢量三角形。 p p0 I

16 冲量和动量都是矢量，可以将动量定理在直角坐标系中进行分解，得到的分量式为：
F 冲力（impulsive force） t 平均冲力常用来估算碰撞、冲击过程中的作用力。 t0 t

17 设你的小腿骨能承受的平均冲击力约为你重量的n倍，你落下后和地面的接触时间为Dt秒，问，你从多高跳下是安全的？
思考题： 设你的小腿骨能承受的平均冲击力约为你重量的n倍，你落下后和地面的接触时间为Dt秒，问，你从多高跳下是安全的？ 设你从高度h处落下，落地瞬间，你的速度v为 令：Favg = nmg

18 2.质点系的动量定理 由相互作用的若干个质点组成的系统称为质点系。 将牛顿第二定律应用在由两个质点组成的质点系上： m2 m1

19 系统所受外力的矢量和等于系统总动量对时间的变化率。
推广到N个质点所组成的质点系的情况 ： 质点系动量定理的微分形式 系统所受外力的矢量和等于系统总动量对时间的变化率。 外力可以改变系统的总动量，而内力不会影响系统的总动量，但是内力可以使系统内部各质点之间进行动量交换。

20 当一个质点系所受外力的矢量和为零时，该质点系的动量就保持不变-------动量守恒定律。
3.动量守恒定律 如果质点系所受外力的矢量和为零 ，即： 则： 当一个质点系所受外力的矢量和为零时，该质点系的动量就保持不变 动量守恒定律。

21 由于力和动量都是矢量，因此动量守恒定律在直角坐标系中可以表示为：
合外力等于零全过程都要满足 适用于宏观与微观，低速与高速 近似条件：内力远大于外力时 在某一个方向的合外力等于零时，这个方向的动量也守恒

22 例2-4 质量为m的匀质柔软链条，全长为L，手持一端，使下端离地面的高度为h，然后由静止释放，让其自由下落到地面。求链条落在地面上的长度为L/3时，地面所受链条的作用力大小 。
解 L 链条落到地上l 后，其速度大小为v，考虑此时的一元过程：在dt时间内，落下一小段dl，其速度大小由v变为0。设此时地面对链条冲力的大小为 f，向下的方向为正方向，由动量定理得： L-l h +

23 地面受到链条的作用力为 f 的反作用力和重力的和，设为F：
其大小为： 当链条落在地面上的长度为L/3时：

24 + 解 例2-5 不考虑空气的阻力并将重力看作恒力，分析火箭上升过程中速度大小的变化。
例2-5 不考虑空气的阻力并将重力看作恒力，分析火箭上升过程中速度大小的变化。 + 解 考虑某一时刻，火箭和燃料的总质量及速度分别为：m，v，考察此时的一个元过程：经dt时间后，火箭以对地喷射速度u喷射|dm|的燃料，同时火箭速度为v＋dv，对该元过程应用动量定理得： 令： 表示燃料相对火箭的喷射速度，又称喷气速度 ，由火箭的发动机决定，方向向下。

25 令竖直向上方向为正方向， 则： 设发射的一瞬间，火箭和燃料的总质量为M0，燃料喷射完后，火箭的质量为Mf ，速度大小为v，经历的时间为tf

26 4.质心 质心运动定理 质心的定义 考察有N个质点组成的质点系，找到一个与质点系关联的点C，使质点系的总质量与这个点的速度之积等于质点系的总动量，则该点称为质点系的质心

27

28 质心运动定理 质心的运动等同于一个质点的运动，这个质点具有质点系的总质量M，它受到的外力为质点系所受的所有外力的矢量和-----质心运动定理。

29 2.3 角动量守恒 质点的角动量 质点的角动量守恒定律

30 1.质点的角动量（Angular Momentum）
质点的角动量（也称为动量矩）定义： o r d a

31 力矩： 质点的角动量定理 ——质点对任一固定点的角动量的时间变化率，等于质点所受的合外力对该固定点的力矩。 微分形式： 积分形式：

32 2.质点的角动量守恒定律 当 ，即L是个常矢量. 质点的角动量守恒定律——若质点所受的合外力矩对某固定点的力矩为零，则质点对该固定点的角动量守恒。 在有心力场中运动的质点，其角动量是守恒的。如在万有引力作用下，地球绕太阳的公转运动等。

33 解 例2-7 试证明太阳系中某行星绕太阳公转时，该行星和太阳的连线单位时间扫过的面积是相等的（开普勒第二定律）。
例2-7 试证明太阳系中某行星绕太阳公转时，该行星和太阳的连线单位时间扫过的面积是相等的（开普勒第二定律）。 解 dt 时间内矢径 r 扫过的有向面积为： r 用行星的质量m乘等式两边： 行星在有心力作用下，角动量守恒，故：

34 2.4 机械能守恒 功 功率 质点的动能定理 几种常见力的功 保守力 势能 质点系的动能定理和功能原理 机械能守恒 能量守恒定律 碰撞

35 1.功（Work） 功率（Power） 我们再从力对质点作用的空间过程考虑问题。
考察其中一个元过程，由于在此元过程中，位移趋于0，因而此元过程经历的时间也必然趋于0。  因此，可以认为该元过程的位移为一直线，此元过程中的力也可以看做恒力。 元功——任一元过程中力的功:

36 任意一个有限的过程都可以看作无限多的元过程的和，因此任意一个有限过程的功就是元功的和，这个和就是元功的积分：
直角坐标系中: 合力 的功： 功率——功对时间的变化率，表示做功的快慢，单位为瓦特（W）

37 2.质点的动能定理 用dr点乘牛顿第二定律得： 将上式两边对一个有限过程积分得： 状态量--------质点的动能：
质点的动能定理——作用在一个质点上的合力在一个过程中所做的功（过程量）等于质点始末状态动能（状态量）的增量。

38 3.几种常见力的功 （1）万有引力的功 ： 万有引力做功的特点：当质量m和M一定时，万有引力做功只与质点的始、末位置有关，而与质点运动的具体路径无关 ！ 状态量：

39 y a b x （2）重力的功 ： m ha hb o 重力做功的特点：重力做功只与路径的始、末位置有关，与具体路径无关。
 b hb 重力做功的特点：重力做功只与路径的始、末位置有关，与具体路径无关。 状态量：mgh+C

40 （3）弹簧弹力的功 ： m x m x o a b xa xb 弹簧的弹性力做功的特点：弹性力做功与具体路径无关。 状态量：

41 质量为m的质点在粗糙的水平面内运动，所受的滑动摩擦力为 f ，当质点沿着任意路径s从a点到b点时，摩擦力做的功：
（4）摩擦力的功 ： 质量为m的质点在粗糙的水平面内运动，所受的滑动摩擦力为 f ，当质点沿着任意路径s从a点到b点时，摩擦力做的功： sab为从a点到b点的路径长度。 摩擦力做功的特点：不但与路径的起点、终点有关，而且与质点运动的具体路径也有关。 b a

42 保守力做功与路径无关： 4.保守力 力做功与具体路径无关------保守力（万有引力、重力、弹性力、静电场力 ）；
力做功与具体路径有关------非保守力（摩擦力）。 b 保守力做功与路径无关： c d a

43 5.势能（Potential Energy） 功是能量变化的量度，由保守力做功的特点可知，在保守力场中，质点在不同的位置具有不同的能量状态。因此，保守力场中储藏着一种能量，这种能量是位置的函数。我们将与位置有关的能量称为势能或位能，用Ep表示。 任意假定保守力场中某点，如r = r0，为势能零点，则任意一点r处的势能为： 即保守力从某点出发，沿任意路径积分到势能为零的位置，就是该点的势能。

44 我们将前述的状态量定义为势能，则： 万有引力势能： ，r＝∞处取为势能零点 重力势能： ，h＝0处取为势能零点 弹簧弹性力势能： ，弹簧自然伸长处（x＝0）处取 为势能零点 保守力的功与势能变化的关系为：

45 关于势能的几个问题： 1.势能与保守力做功紧密相连，保守力做正功，势能减少，动能增加；保守力做负功，势能增加，动能减少。 2.势能的数值是相对的，势能的大小与势能零点的选取有关，零点选取不同，势能的多少也不同。从它们的函数形式看，万有引力势能、重力势能和弹性势零点能都有天然的坐标与其对应。 虽然势能的零点是可以随意取的，但是度量势能零点的坐标改变时，可能导致势能的函数形式改变。 3.势能是属于系统的，而不属于系统中个别质点。 4.系统的势能与参考系无关。保守力场中某点的势能实际就是该点与零势能点之间的差值。而势能只与这两点的位置有关，这两点的位置与参考系的选取是无关的。

46 解 x 例2-8 对于重力场中的竖直弹簧振子，当取振子的平衡位置为弹性势能和重力势能的共同零点时，则振子在任意位置的势能和是多少？
例2-8 对于重力场中的竖直弹簧振子，当取振子的平衡位置为弹性势能和重力势能的共同零点时，则振子在任意位置的势能和是多少？ 解 x 振子的势能包括弹簧的弹性势能和重力势能。振子平衡时，弹簧伸长为a。 a>0 o 该结论可简化对竖直弹簧振子能量问题的讨论

47 6.质点系的动能定理和功能原理 N个质点组成的质点系，将质点的动能定理应用于第i个质点：
质点系的动能定理——系统的外力功和内力功的和等于系统总动能的增量。

48 系统内力的功： 内力总是成对出现的，且大小相等，方向相反。设一对内力 fij 和 fji 分别作用于质点 i 和质点 j 上，位移为dri 和 drj ，这对内力的功： 由于一对内力的作用点的位移一般并不相等，作用力和反作用力的功并不能相互抵消，成对的内力对系统的动能贡献一般不为零。 系统的内力可分为保守内力和非保守内力，则内力的功：

49 质点系的功能原理： 系统的机械能 质点系的功能原理——外力的功和系统内非保守内力的功的和等于系统机械能的增量。

50 7.机械能守恒 如果： 那么： 机械能守恒定律——若作用于系统的外力的功与非保守内力功的和为零，则系统的机械能是个常数。

51 8.能量守恒定律 对一个孤立系统来说，在系统内部能量相互转换过程中，一种形式能量的减少，必有另一种形式的能量等量地增加，反之亦然。系统内的各种形式能量总和是一守恒量，不论系统内发生何种变化，能量既不会消失，也不会创造，它只能从一种形式转变为另一种形式----能量转换和守恒定律。

52 解 L x x s L 本题中，物体受到的摩擦力是变力，摩擦力做负功，使得物体的速度变小，最后停止。分析物体所受摩擦力的变化，可分为两段：
例2-9 传送机将长为L、质量为m的柔软均质物体以初速度vo通过滑道向右送上水平台面，物体前端在台面上滑动s距离后停下来。设滑道的摩擦可不计，物体与台面间的摩擦系数为m，而且s>L。试计算物体的初速度vo. L x x s L 解 本题中，物体受到的摩擦力是变力，摩擦力做负功，使得物体的速度变小，最后停止。分析物体所受摩擦力的变化，可分为两段：

53 L x x s L 在物体停止运动前，摩擦力做功为：

54 9.碰撞 碰撞（collision） 当两个质点或两个物体相互接近时，在较短的时间内通过相互作用，它们的运动状态发生了显著的变化的现象。在微观领域内，这种现象称之为散射（scatterring）。 两球在碰撞前的速度在两球球心的连线上，那么，碰撞后的速度也都在这一连线上，这种碰撞称为对心碰撞或正碰(direct impact)

55 碰撞定律 完全非弹性碰撞（perfect inelastic collision）：e＝0
完全弹性碰撞（perfect elastic collision）： e＝1 非弹性碰撞（inelastic collision）： 0 < e < 1

56 完全弹性碰撞 （1） （2）

57 完全非弹性碰撞 e＝0，DE 最大。故完全非弹性碰撞，动能损失最大 e＝1，DE ＝ 0。故完全弹性碰撞，动能守恒

58 斜碰（oblique inpact）

59 例2-10 一质量为m的中子与一质量为M的静止原子核在一平面内作完全弹性碰撞，如果中子的初始动能为E0，证明在碰撞过程中对心碰撞时中子动能的损失最大，并求出中子损失的最大动能。
解 (1) (2) (3)

60 (1)式移项平方得： (2)式平方得： 上两式相加得： (3)式移项乘2m得： 上两式相减整理得：

61 显然： ，即 时 此时：j ＝ 0（m > M） j ＝ p（m < M）