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統計方法與品質管理 壹、統計學概述 貳、敘述統計學 參、機率分配 肆、抽樣分配 伍、估計與假設檢定

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2 統計方法與品質管理 壹、統計學概述 貳、敘述統計學 參、機率分配 肆、抽樣分配 伍、估計與假設檢定
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

3 壹、統計學概述 對資料作蒐集、整理、分析與推論的科學。可將龐大的資料轉換成有用的資訊。
資料的種類可分為文字資料、屬性資料(又稱類別資料)和屬量資料。 蒐集資料前需定義清楚母體。母體是有興趣的個體或對象之所有觀測值所形成的集合。 樣本為母體的一部分。用以描述樣本的特性,如樣本平均數( )和樣本變異數(S2)等稱為統計量。 統計學依發展的內容可分為兩部分,一為敘述統計學,另一為推論統計學。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

4 貳、敘述統計學 一組資料在分析前,必須先加以整理,才可了解這組資料的特性。
除了可利用圖形,來了解資料變化的情形外,一些簡單的統計量也可提供有用的資訊。 平均數 中位數 眾數 變異數 標準差 全距 統計圖表 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

5 平均數 母體平均數(  )的定義為將母體中之所有觀測值加總,再除以母體個數。 樣本平均數( )則是樣本內所有觀測值之平均值 。
樣本平均數(  )則是樣本內所有觀測值之平均值 。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

6 變異數 變異數用以表示資料的離散趨勢 。 母體變異數為 樣本變異數為 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

7 標準差 標準差亦用以表示資料的離散趨勢。 將母體變異數開根號取正值即是母體標準差; 樣本變異數開根號取正值,即是樣本標準差。
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

8 參、機率分配 1/2 用以描述隨機變數的所有可能值之發生機率。 依資料種類是間斷或連續的可分為間斷型機率分配和連續型機率分配。
超幾何分配 二項分配 超幾何分配與二項分配之關係 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

9 機率分配 2/2 卜瓦松分配 二項分配與卜瓦松分配之關係 常態分配 二項分配、卜瓦松分配與常態分配之關係 指數分配 韋伯分配
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

10 間斷型機率分配 圖 3.4 間斷型機率分配 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

11 連續型機率分配 圖 3.5 連續型機率分配 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

12 超幾何分配 1/2 主要是應用於下列三個條件都滿足的情況: 母體內被觀察的單位個數有限。 觀察單位依其特性可分為兩類。 以不放回的方式抽樣。
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

13 超幾何分配 2/2 超幾何分配為間斷型分配,其機率質點函數為 x = 0,1,2,……,min (n,D)
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

14 二項分配 1/2 百努利試驗(bernoulli trial)為一隨機試驗,有兩個可能的結果,研究者有興趣的結果稱為「成功」,另一結果則稱為「失敗」。 重複百努利試驗 n 次,令成功的次數為 X,則隨機變數 X 即為二項分配。 在品管上,二項分配可應用於計算特定不合格品數的發生機率或計數值管制圖中的不合格數管制圖和不合格率管制圖。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

15 二項分配 2/2 二項分配為一間斷型分配,其機率質點函數為 x = 0,1,2,……, n,其中 0<p<1,
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

16 卜瓦松分配 1/2 X 表在特定時間內或特定面積內事件發生的次數,且事件之發生相互獨立,則隨機變數 X 為卜瓦松分配。
在品管上,卜瓦松分配可應用於計算布匹上發生特定缺點數的機率或計數值管制圖中的缺點數管制圖和單位缺點數管制圖。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

17 卜瓦松分配 2/2 卜瓦松分配為間斷型機率分配,其機率質點函數為 P(X = x) = P(x) = 其中 為單位時間內事件發生的平均次數
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

18 常態分配 1/4 ,-∞<x<∞ 常態分配為一鐘型的對稱分配,對稱於平均數 ,反曲點到  的距離為標準差,如圖3.6所示。
常態分配為一連續型分配,其機率密度函數為 ,-∞<x<∞ 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

19 常態分配 2/4 將X標準化即可獲得標準化常態分配,即 ~ N(0, 1)
在常態分配中 <x< + 或1<z<1的範圍可包含約68.26%(查附錄4的Z值表)之群體, 2<x<+2 或2<z<2的範圍可包含約95.46%之群體,而  3<x<  +3 或 3<z<3 的範圍可包含約99.73%之群體。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

20 常態分配 3/4 自母體中隨機抽出一樣本組,母體的平均數為  , 變異數為 2,若母體的分配未知或不為常態分配,但樣本大小夠大(一般要求 n 30),則利用中央極限定理可知樣本平均數( )的抽樣分配為平均數是,變異數是 2/n之常態分配即 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

21 常態分配 4/4 圖 3.6 常態分配 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

22 指數分配 令隨機變數 X 代表實行卜瓦松實驗並觀察至某事件發生為止的等待時間,則 X 為一連續隨機變數,其機率密度函數(圖3.8)為:
則稱 X 為指數分配,即 X~exp ( )。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

23 韋伯分配 1/2 在產品壽命試驗的可靠度評估中,韋伯分配是除指數分配外應用最廣的機率分配。
令 X 是韋伯分配的隨機變數,則其機率密度函數為: 當三個參數中的任何參數變動時,分配的型式就有不同的變化(如圖3.9) 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

24 韋伯分配 2/2 圖 3.9 韋伯分配的機率密度函數 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

25 肆、抽樣分配 1/2 研究者常因時間和成本的限制,無法獲得母體的資料,而對母體的特性無所了解。
解決的方法是,以有限的時間和成本由母體中隨機抽取一組樣本,再以統計量(即隨機樣本的函數且不含未知參數)的機率分配(稱為抽樣分配)對母體的特性(如母體平均數或母體變異數等)做統計推論,即可以了解母體的特性。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

26 抽樣分配 2/2 來自常態母體的抽樣分配 來自二項母體的抽樣分配 來自卜瓦松母體的抽樣分配 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

27 來自常態母體的抽樣分配 1/2 卡方分配 若連續隨機變數X,其機率密度函數
x > 0,其中 r 1,為一正整數值的固定參數,則稱 X 為具有自由度為 r 的卡方分配隨機變數,可以表示為 X~ 。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

28 來自常態母體的抽樣分配 2/2 圖 3.10 卡方分配圖 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

29 t分配 1/2 若連續變數 x 之機率密度函數為 f(x) = ,-∞<x<∞
其中 r 1,為一正整數值的固定參數,則稱 X 為具有自由度是 r 的Student’s t 分配,記為X~t (r)。其分配形狀如圖3.11所示。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

30 t分配 2/2 圖 3.11 t 分配圖 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

31 F分配 1/2 若連續變數 X 之機率密度函數為 x >0,其中 r1和 r2為兩個固定正整數,則稱為X具有自由度為(r1, r2)之 F分配;即 X~F(r1, r2 ) 。 F分配圖形如圖3.12所示。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

32 F分配 2/2 圖 3.12 F分配圖 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

33 來自二項母體的抽樣分配 1/3 樣本比例分配 設X 為來自二項母體的隨機變數,即X~B(n, p)。若 p未知,為了推論未知的母體比例 p,我們以樣本比 例 = 對 p 做統計推論。若X 近似常態分配,則 也近似標準常態分配。 在品管應用上,只要知道樣本比例( )的抽樣分 配,即可建立不合格率管制圖(p管制圖)或不 合格品數管制圖(np 管制圖)。另外,也可用 以推論產品的不合格率(p)。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

34 來自二項母體的抽樣分配 2/3 兩個樣本比例差的分配 設 X1和 X2分別為來自兩個相互獨立的二項母體若X1和 X2分別近似常態,則
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

35 來自二項母體的抽樣分配 3/3 也近似常態分配,即 Z= ~N(0, 1)。
在品管應用上,此分配可以用以推論哪家廠商的產品不合格率較低,以做為材料或產品採購的 對象。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

36 來自卜瓦松母體的抽樣分配 在品管應用上,此抽樣分配不僅可用以對產品的母體平均缺點數或單位平均缺點數做統計推論。
也可用以建立缺點數管制圖或單位缺點數管 制圖 。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

37 伍、估計與假設檢定 1/3 對母體未知參數做統計推論的方法有兩種,為: 估計 點估計:以樣本統計量的值做為母體未知參數的估計值。
區間估計:以樣本統計量的值加上所允許的最大誤差值當為母體未知參數的區間估計值。 假設檢定: 對母體的未知參數作一假設值,再以檢定統計量的值決定假設是否被拒絕。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

38 估計與假設檢定 2/3 單一母體平均數的估計 單一母體變異數的估計 單一母體平均數的假設檢定 單一母體變異數的假設檢定
兩獨立母體平均數差的估計 兩獨立母體平均數差的假設檢定 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

39 估計與假設檢定 3/3 兩獨立母體變異數比的估計 兩獨立母體變異數的比較 單一母體比例的區間估計 單一母體比例的假設檢定
兩獨立母體比例差的區間估計 兩獨立母體比例差的假設檢定 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

40 單一母體平均數的估計  的點估計值 樣本平均數 ,此值即 的點估計值。  的區間估計
樣本平均數 ,此值即 的點估計值。  的區間估計 使用點估計的缺點是忽略了未知母體參數和點估計值之間的誤差,誤差=| |。 通常,為了提高估計未知參數的準確度,我們會控制誤差的上限( EU )及其發生的機率(1)或信賴係數[100(1)%] 。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

41 母體是常態且變異數已知 可推導得 的100(1)%信賴區間為 (3-3) 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

42 母體非常態且變異數已知 由中央極限定理得知,在樣本大小 n 30下,  的 100 (1)%信賴區間為
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

43 母體是常態且變異數未知 可推導得  的100 (1)%信賴區間為 (3-5) 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

44 單一母體變異數的估計 1/3 當母體是常態且母體變異數( 2)未知時,其最佳的估計量是樣本變異數S 2 。
 2作估計,而是利用 的分配對 2做估計。 由前節機率分配的介紹,我們知道 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

45 單一母體變異數的估計 2/3 因此利用自由度是(n 1)的卡方分配,和查 2分配附表,可以找到  2 統計量在卡方分配的左右尾機率都是 下對應的臨界值( ),即 (3-7) 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

46 單一母體變異數的估計 3/3 可以推導得 2在信賴係數100(1)%下的信賴區間為
可進一步推導得母體標準差( )在100(1)%下的信賴區間為 (3-8) (3-9) 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

47 單一母體平均數的假設檢定 1/7 假設檢定的步驟 假設檢定的步驟可歸納如下: 設立虛無假設H0和對立假設H1。 決定使用的檢定統計量。
決定顯著水準。 在H0為真下,決定檢定統計量分配的拒絕區在雙尾或單尾和尾巴區域的大小。 以樣本數據計算檢定統計量的值。 若檢定統計量的值落在拒絕區則拒絕H0;否則不拒絕H0 。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

48 單一母體平均數的假設檢定 2/7 不拒絕H0 拒絕H0 檢定結果 事實 H0為真 型Π誤差 正確 H1為真 型Ι誤差 表3.7 檢定結果表
表3.7 檢定結果表 不拒絕H0 拒絕H0      檢定結果 事實 H0為真 型Π誤差 正確 H1為真 型Ι誤差 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

49 單一母體平均數的假設檢定 3/7  的雙尾假設檢定 母體是常態且變異數已知 若欲檢定  是否為特定值 0,則假設為
檢定的統計量與估計母體平均值的統計量是一樣的。因此,在H0為真下,檢定統計量 ~N(0,1) 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

50 單一母體平均數的假設檢定 4/7 由於在 H1下,  可大於 0,也可以小於  0,故 Z 分配的拒絕區在雙尾且尾巴的機率各是 。
因此,拒絕區的臨界值分別是 最後,將樣本數據計算得的 值和其他已知值代入檢定統計量中,可計算得統計量值 Z0 。若 | Z0 |> 則拒絕 H0 ;否則不拒絕H0。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

51 單一母體平均數的假設檢定 5/7 圖 3.17 Z分配的臨界值 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

52 單一母體平均數的假設檢定 6/7 母體是常態,但變異數未知 若 未知,則以樣本標準差 s 代替。於是,在H0為真下,檢定統計量變成是
~t (n 1) t 分配的拒絕區在雙尾的臨界值分別是 將樣本平均數代入 t 統計量計算得 t 檢定統計量 的值t0。若 | t0|> 則拒絕H0,否則不拒絕H0。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

53 單一母體平均數的假設檢定 7/7 圖 3.18 t 分配的臨界值 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

54 單一母體變異數的假設檢定 在母體是常態分配下,已知 ~ 欲檢定H0: vs H1: 時,在H0為真下, 檢定統計量 ~ 。
在母體是常態分配下,已知       ~ 欲檢定H0: vs H1: 時,在H0為真下, 檢定統計量 ~ 。 在顯著水準為  下,2分配的拒絕區在雙尾,即拒絕區臨界值為 和 。 因此,若檢定統計量的值 > 或 > 則拒絕H0;否則不拒絕H0。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

55 兩獨立母體平均數差的估計 母體平均數差 1 2的估計量為 ,其抽樣分配可分別就 母體常態且變異數已知。
母體平均數差 1 2的估計量為 ,其抽樣分配可分別就 母體常態且變異數已知。 母體非常態,變異數已知且樣本大小30。 母體常態,兩變異數相等但未知。 母體常態,兩變異數不等且未知。 等四種情形分別討論。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

56 兩獨立母體平均數差的假設檢定 母體為常態且變異數已知。 兩獨立母體為非常態,變異數已知且樣本大小  30。
兩獨立母體為常態,變異數未知但相等。 兩獨立母體為常態,變異數未知且不等。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

57 兩獨立母體變異數比的估計 欲估計兩母體變異數比 ,則需利用F統計量。 ~F (n2 1, n1 1) 。
品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

58 兩獨立母體變異數的比較 統計假設 檢定統計量 拒絕區(α) 雙尾 H0: H1: F > F < 右尾 左尾
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59 單一母體比例的區間估計 1/2 當從事品質管制時,我們常需探討母體比例(p)或兩母體比例差(p1p2)的估計和檢定問題。
假設重複 n 次百努利實驗,其實驗出現成功之機率為 p。 令 X 表示 n 次的成功次數,則 X 為參數是(n, p)的二項分配,即 X ~B(n, p)。依最大概似法推知樣本比 例 是母體比例 P 的最佳估計量。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

60 單一母體比例的區間估計 2/2 二項分配逼近常態分配時,可用常態分配估計 p 的信賴區間。p之100 (1)%的信賴區間為 ,
其中標準常態分配的臨界值 可查附表。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

61 單一母體比例的假設檢定 當我們做意見調查、市場調查或品質管制時,常需用到母體比例 p 的檢定。
本節僅討論大樣本時,母體比例 p 的檢定。由中央極限定理可知,當 n 很大時, 的抽樣分配逼近常態分配,  為顯著水準。在H0為真下,檢定統計量為 ~ N (0,1)。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

62 兩獨立母體比例差的區間估計 設X11, X12 ,…, X1n1與X21, X22 ,…, X2n2 ,分別由相互獨立的百努利分配 Ber( p1)與 Ber( p2)所抽出的隨機樣本,在考慮大樣本的情況下,可知二個樣本比例差是常態分配。 可推得 p1p2的100 (1)%信賴區間為 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理

63 兩獨立母體比例差的假設檢定 當比較兩種廠牌的相同產品的市場占有率,比較兩家公司所生產相同產品的不良率,或比較兩地區民眾對某一議題的支持度,我們常用到統計推論方法之兩母體比例差 p1p2的假設檢定。 p1p2的統計量為二個樣本比例差 。根據中央極限定理得知當樣本數(n1, n2)很大時, 的抽樣分配為常態分配。 品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理


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