立体几何中的翻折问题.

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1 立体几何中的翻折问题

2 随着自主命题的深入，浙江省数学高考立体几何试题对翻折问题似乎情有独钟，且常考常新． 这类试题背景简单，立意深远，对考生的空间想象能力要求很高，能较好地改善学生对立体几何的思维定势．

3 研究翻折问题应注意折前折后各元素相对位置的变化． 要理清哪些位置关系和度量关系发生了变化，哪些没有改变． 解决翻折问题的关键可以归纳如下:
( 1) 找准“基准图”折叠; ( 2) 画好“2 个图”———折叠前的平面图和折叠后的立体图; ( 3) 寻找“2 个量”———哪些量( 或关系) 发生了变化，哪些量( 或关系) 没有发生变化．

4 1.对比分析, 寻找不变量和不变关系 例1 如图，在正△ABC 中，D，E，F 分别为对应边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE 的中点，将△ABC 沿DE，EF，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为( ) A． 90° B． 60°C． 45° D． 0° 分析:将△ABC 沿DE，EF，DF折成的三棱锥如图3 所示，GH 和IJ 为一对异面直线． 由已知可得DF∥GH， IJ∥AD，∠ADF 即为所求的角，即GH 与IJ所成角的度数为60°． 评注:本题解题的关键是抓住其中一些量的不变性，即IJ∥BD，GH∥DF 在翻折前后不变，∠ADF 在翻折前后都为60°等．

5 1.对比分析, 寻找不变量和不变关系 ①②④ F

6 1.对比分析, 寻找不变量和不变关系

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8 2.展成平面, 逆向探究求最小值 分析:联结A1B，沿BC，将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图 所示，联结A1C，则A1C 的长度就是所求的最小值． 通过计算可得∠A1C1B = 90° 且∠BC1C =45°，于是∠A1C1C = 135°，由余弦定理可求得A1C ． 评注:立体几何问题平面化，是解决立体几何最值问题的重要思想，也是计算某些线段长度的重要方法，平面化过程要注意变化前后的变与不变性．

9 2.展成平面, 逆向探究求最小值 例5（06年江西卷文）

10 3.探寻轨迹, 点动成圆用两性质 ✔

11 3.探寻轨迹, 点动成圆用两性质 ✔

12 3.探寻轨迹, 点动成圆用两性质

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14 3.探寻轨迹, 点动成圆用两性质

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16 3.探寻轨迹, 点动成圆用两性质 例10（2014年杭州4月考） ✔

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