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第二章 一元微分学及其应用 第一节 导数的概念
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导数研究的问题 变化率问题 研究某个变量相对于另一个变量变化 的快慢程度．
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引例一[变速直线运动的瞬时速度] 如：汽车记速器显示的速度是瞬时速度，它能更准确地 反映汽车每时刻的快慢程度．那么，如何计算汽车行驶
的瞬时速度呢?
![引例一[变速直线运动的瞬时速度] 如：汽车记速器显示的速度是瞬时速度，它能更准确地 反映汽车每时刻的快慢程度．那么，如何计算汽车行驶](http://slidesplayer.com/slide/11516939/62/images/3/%E5%BC%95%E4%BE%8B%E4%B8%80%5B%E5%8F%98%E9%80%9F%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E8%BF%90%E5%8A%A8%E7%9A%84%E7%9E%AC%E6%97%B6%E9%80%9F%E5%BA%A6%5D+%E5%A6%82%EF%BC%9A%E6%B1%BD%E8%BD%A6%E8%AE%B0%E9%80%9F%E5%99%A8%E6%98%BE%E7%A4%BA%E7%9A%84%E9%80%9F%E5%BA%A6%E6%98%AF%E7%9E%AC%E6%97%B6%E9%80%9F%E5%BA%A6%EF%BC%8C%E5%AE%83%E8%83%BD%E6%9B%B4%E5%87%86%E7%A1%AE%E5%9C%B0+%E5%8F%8D%E6%98%A0%E6%B1%BD%E8%BD%A6%E6%AF%8F%E6%97%B6%E5%88%BB%E7%9A%84%E5%BF%AB%E6%85%A2%E7%A8%8B%E5%BA%A6%EF%BC%8E%E9%82%A3%E4%B9%88%EF%BC%8C%E5%A6%82%E4%BD%95%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%B1%BD%E8%BD%A6%E8%A1%8C%E9%A9%B6.jpg "的瞬时速度呢")
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设S是某一物体从某一选定时刻到时刻 t 所走过的
路程， 则S是 的一个函数 ， 现要求任一 时刻 的瞬时速度。
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基本思想： 很小时， 以匀速代替变速， 那么， 内的平均速度为
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越小， 平均速度 就越接近于时刻 的瞬时速度 令 ， 取极限，得到瞬时速度。 局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过 取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
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研究 一小球做自由落体运动， 其运动方程为 考察小球在 秒时的 瞬时速度 .
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… 从表上可以看出，不同时间段上的平均速度不相等，当时间段 其变化情况见下表 ： 2 19.6 很小时， 平均速度
[1.5,2] [1.99,2] [1.9999,2] 0.5 0.01 0.0001 17.150 19.551 19.600 2 19.6 [2,2.001] 0.001 19.605 [2,2.01] 19.649 22.050 [2,2.5] 从表上可以看出，不同时间段上的平均速度不相等，当时间段 很小时， 平均速度 很接近某一确定的值19.6 (m/s)， 即 小球在 秒时的 瞬时速度为
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引例二 [切线斜率] 求曲线 在点 处的切线的斜率. 对于曲线 割线 上点 沿曲线 无限接近 点， 割线 的极限位置 就是曲线在 点的切线．
![引例二 [切线斜率] 求曲线 在点 处的切线的斜率. 对于曲线 割线 上点 沿曲线 无限接近 点， 割线 的极限位置 就是曲线在 点的切线．](http://slidesplayer.com/slide/11516939/62/images/9/%E5%BC%95%E4%BE%8B%E4%BA%8C+%5B%E5%88%87%E7%BA%BF%E6%96%9C%E7%8E%87%5D+%E6%B1%82%E6%9B%B2%E7%BA%BF+%E5%9C%A8%E7%82%B9+%E5%A4%84%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%E7%9A%84%E6%96%9C%E7%8E%87.+%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E6%9B%B2%E7%BA%BF+%E5%89%B2%E7%BA%BF+%E4%B8%8A%E7%82%B9+%E6%B2%BF%E6%9B%B2%E7%BA%BF+%E6%97%A0%E9%99%90%E6%8E%A5%E8%BF%91+%E7%82%B9%EF%BC%8C+%E5%89%B2%E7%BA%BF+%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90%E4%BD%8D%E7%BD%AE+%E5%B0%B1%E6%98%AF%E6%9B%B2%E7%BA%BF%E5%9C%A8+%E7%82%B9%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%EF%BC%8E.jpg "引例二 [切线斜率] 求曲线 在点 处的切线的斜率. 对于曲线 割线 上点 沿曲线 无限接近 点， 割线 的极限位置 就是曲线在 点的切线．")
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阿基米德 费尔马 牛 顿 Newton 1642—1727 英国物理学家和数学家．他在物理学上最主要的成就是发现了万有引力定律.数学上，他与德国莱布尼兹创建了“微积分学” Archimedes 前287—前212 古希腊数学家和物理学家．在数学上，他利用穷竭法解决了许多复杂的曲线或曲面围成的平面图形或立方体的求积问题． Pierre de Fermat 1601—1665 法国数学家．律师．业余研究数学．解析几何的创始人．有著名的“费尔马大定理” ．1638年发现求极值的方法，是微积分学的先驱．
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割线 的斜率 为 曲线在 点处的切线的斜率就是割线 的斜率 当 时的极限
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先以割线代替切线，算出割线的斜率，然后通过取极限，
从割线过渡到切线，求得切线的斜率。
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此二例中，均匀变化与非均匀变化，局部以均匀代替非均匀
平均变化率 瞬时变化率 一般地, (1) (2) (3)
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导数 二、 概念和公式的引出 当自变量 在 设函数 在 的某一邻域内有定义. 取得增量 (点 仍在该邻域 内)时, 因变量 也取得增量 如果
与 之比当 时的极限存在， 则称函数 在点 处可导， 并称这个极限值为 在点 处的导数， 记作 即 也可记作
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说明一： 可导与不可导 处可导 如果 存在， 则称 在 处不可导 如果 不存在， 则称 在 处导数为无穷大 如果 则称 在
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说明二： 导函数 如果函数 在区间 内每一点都有导数， 函数 在区间 内有一 导函数，即 也可记作 ， ，
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区别： 联系： 导数与导函数的区别与联系 注：通常，导函数也简称为导数． 是一常数。 是一函数。 函数 在点 处的导数 就是导函数 在
处的值， 即 注：通常，导函数也简称为导数．
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说明三： 导数的几何意义 函数 在点 处的导数 就是函数所表示的 曲线在点 处切线 的斜率．
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平行于x轴的切线 垂直于x轴的切线 切线 x轴
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说明四： 速度、加速度的表示法 ， 则物体在时刻 若物体的运动方程为 的瞬时速度 为路程关于时间的变化率，即
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加速度是速度v(t)关于 时间的变化率，物体在时刻 的加速度为
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三、案例 案例1 [温度曲线] 图中所显示的是某地某年中 每天最高温度的函数曲线， 指出大概什么时候温度的变 化率为零。 天 天
![三、案例 案例1 [温度曲线] 图中所显示的是某地某年中 每天最高温度的函数曲线， 指出大概什么时候温度的变 化率为零。 天 天](http://slidesplayer.com/slide/11516939/62/images/22/%E4%B8%89%E3%80%81%E6%A1%88%E4%BE%8B+%E6%A1%88%E4%BE%8B1+%5B%E6%B8%A9%E5%BA%A6%E6%9B%B2%E7%BA%BF%5D+%E5%9B%BE%E4%B8%AD%E6%89%80%E6%98%BE%E7%A4%BA%E7%9A%84%E6%98%AF%E6%9F%90%E5%9C%B0%E6%9F%90%E5%B9%B4%E4%B8%AD+%E6%AF%8F%E5%A4%A9%E6%9C%80%E9%AB%98%E6%B8%A9%E5%BA%A6%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%9B%B2%E7%BA%BF%EF%BC%8C+%E6%8C%87%E5%87%BA%E5%A4%A7%E6%A6%82%E4%BB%80%E4%B9%88%E6%97%B6%E5%80%99%E6%B8%A9%E5%BA%A6%E7%9A%84%E5%8F%98+%E5%8C%96%E7%8E%87%E4%B8%BA%E9%9B%B6%E3%80%82+%E5%A4%A9+%E5%A4%A9.jpg "三、案例 案例1 [温度曲线] 图中所显示的是某地某年中 每天最高温度的函数曲线， 指出大概什么时候温度的变 化率为零。 天 天")
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案例2 [电流强度] 设有非稳恒电流通过导线． 从某一时刻开始到时刻 通过该导线横截面的电量为 则 为 的函数 求时刻 的电流强度
![案例2 [电流强度] 设有非稳恒电流通过导线． 从某一时刻开始到时刻 通过该导线横截面的电量为 则 为 的函数 求时刻 的电流强度](http://slidesplayer.com/slide/11516939/62/images/23/%E6%A1%88%E4%BE%8B2+%5B%E7%94%B5%E6%B5%81%E5%BC%BA%E5%BA%A6%5D+%E8%AE%BE%E6%9C%89%E9%9D%9E%E7%A8%B3%E6%81%92%E7%94%B5%E6%B5%81%E9%80%9A%E8%BF%87%E5%AF%BC%E7%BA%BF%EF%BC%8E+%E4%BB%8E%E6%9F%90%E4%B8%80%E6%97%B6%E5%88%BB%E5%BC%80%E5%A7%8B%E5%88%B0%E6%97%B6%E5%88%BB+%E9%80%9A%E8%BF%87%E8%AF%A5%E5%AF%BC%E7%BA%BF%E6%A8%AA%E6%88%AA%E9%9D%A2%E7%9A%84%E7%94%B5%E9%87%8F%E4%B8%BA+%E5%88%99+%E4%B8%BA+%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0+%E6%B1%82%E6%97%B6%E5%88%BB+%E7%9A%84%E7%94%B5%E6%B5%81%E5%BC%BA%E5%BA%A6.jpg "案例2 [电流强度] 设有非稳恒电流通过导线． 从某一时刻开始到时刻 通过该导线横截面的电量为 则 为 的函数 求时刻 的电流强度")
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案例3 [冷却速度] 当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就会不断冷却。 若物体的温度 与时间 的函数关系为 请表示出物 体在时刻 的冷却速度？
![案例3 [冷却速度] 当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就会不断冷却。 若物体的温度 与时间 的函数关系为 请表示出物 体在时刻 的冷却速度？](http://slidesplayer.com/slide/11516939/62/images/24/%E6%A1%88%E4%BE%8B3+%5B%E5%86%B7%E5%8D%B4%E9%80%9F%E5%BA%A6%5D+%E5%BD%93%E7%89%A9%E4%BD%93%E7%9A%84%E6%B8%A9%E5%BA%A6%E9%AB%98%E4%BA%8E%E5%91%A8%E5%9B%B4%E4%BB%8B%E8%B4%A8%E7%9A%84%E6%B8%A9%E5%BA%A6%E6%97%B6%EF%BC%8C%E7%89%A9%E4%BD%93%E5%B0%B1%E4%BC%9A%E4%B8%8D%E6%96%AD%E5%86%B7%E5%8D%B4%E3%80%82+%E8%8B%A5%E7%89%A9%E4%BD%93%E7%9A%84%E6%B8%A9%E5%BA%A6+%E4%B8%8E%E6%97%B6%E9%97%B4+%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%85%B3%E7%B3%BB%E4%B8%BA+%E8%AF%B7%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E5%87%BA%E7%89%A9+%E4%BD%93%E5%9C%A8%E6%97%B6%E5%88%BB+%E7%9A%84%E5%86%B7%E5%8D%B4%E9%80%9F%E5%BA%A6%EF%BC%9F.jpg "案例3 [冷却速度] 当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就会不断冷却。 若物体的温度 与时间 的函数关系为 请表示出物 体在时刻 的冷却速度？")
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案例4 [非均匀杆的线密度] 设有一细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为 对于 于是分布在区间 上的质量m是x的函数 均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度。如 果细棒是不均匀的，如何确定细棒在点 线密度
![案例4 [非均匀杆的线密度] 设有一细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为. 对于. 于是分布在区间. 上的质量m是x的函数. 均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度。如.](http://slidesplayer.com/slide/11516939/62/images/25/%E6%A1%88%E4%BE%8B4+%5B%E9%9D%9E%E5%9D%87%E5%8C%80%E6%9D%86%E7%9A%84%E7%BA%BF%E5%AF%86%E5%BA%A6%5D+%E8%AE%BE%E6%9C%89%E4%B8%80%E7%BB%86%E6%A3%92%EF%BC%8C%E5%8F%96%E6%A3%92%E7%9A%84%E4%B8%80%E7%AB%AF%E4%BD%9C%E4%B8%BA%E5%8E%9F%E7%82%B9%EF%BC%8C%E6%A3%92%E4%B8%8A%E4%BB%BB%E6%84%8F%E7%82%B9%E7%9A%84%E5%9D%90%E6%A0%87%E4%B8%BA.+%E5%AF%B9%E4%BA%8E.+%E4%BA%8E%E6%98%AF%E5%88%86%E5%B8%83%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4.+%E4%B8%8A%E7%9A%84%E8%B4%A8%E9%87%8Fm%E6%98%AFx%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0.+%E5%9D%87%E5%8C%80%E7%BB%86%E6%A3%92%E6%9D%A5%E8%AF%B4%EF%BC%8C%E5%8D%95%E4%BD%8D%E9%95%BF%E5%BA%A6%E7%BB%86%E6%A3%92%E7%9A%84%E8%B4%A8%E9%87%8F%E5%8F%AB%E5%81%9A%E8%BF%99%E7%BB%86%E6%A3%92%E7%9A%84%E7%BA%BF%E5%AF%86%E5%BA%A6%E3%80%82%E5%A6%82..jpg "果细棒是不均匀的，如何确定细棒在点. 线密度.")
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总 结 1、导数的概念 2、导数的几何意义 函数 在点 处的导数 就是函数所表示的 曲线在点 处切线斜率 电流强度 、 冷却速度等
3、导数的概念的应用
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