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第 11 章 母體變異數的推論.

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1 第 11 章 母體變異數的推論

2 統計實例 美國會計總局(The U.S. General Accounting Office, GAO)乃聯邦 政府立法部門轄下一獨立運作、 非政治性的稽核機構。 GAO稽查員的主要任務,乃判 定現有及擬定的聯邦計畫之成 效,所以其必須嫻熟於紀錄整 理、立法研究及統計分析技術。 GAO稽核的目的之一為確保各廠所排放的污水符合特定的標準。至於檢查的項目種類繁多,包括污水樣本的含氧量、pH值(酸鹼值)及懸浮粒數量等資料。 他們會審慎地檢視污水的平均pH值。除此之外,他們也會檢視pH值的變異數,並進行以下關於污水母體pH值的變異數假設檢定 在本章中,你將可學到如何進行單一母體及兩母體變異數的統計推論。

3 第11章 母體變異數的推論 11.1 單一母體變異數的推論 11.2 兩母體變異數的推論

4 單一母體變異數的推論 卡方分配 2的區間估計 假設檢定

5 卡方分配 卡方分配是標準化常態分配的變異數之平方,例如 (z1)2+(z2)2+(z3)2 等等。 卡方分配係基於一常態母體之抽樣。
只要一樣本數為 n 的簡單隨機樣本是選取自一常態母體,則 (n - 1)s2/ 2 的抽樣分配乃一自由度為 n - 1的卡方分配。 卡方分配可用來進行單一母體變異數的區間估計與假設 檢定。

6 (n - 1)s2/ 2抽樣分配(卡方分配)的例子
自由度為2 自由度為5 自由度為10

7 2的區間估計 有(1 – a)的機會可抽取到一個c2值,且 用(n-1)s2/σ2取代上式中的 c2,可得 做代數運算後,可得

8 2的區間估計 單一母體變異數的區間估計 其中值是基於自由度為n-1的卡方分配, 且信賴係數為1-α。

9 的區間估計 單一母體變異數的區間估計 母體標準差之信賴區間可藉由計算母體變異數 信賴區間之上下極限平方根值求出。

10 的區間估計(實例) 假定我們想估計前述裝填過程中的母體變異數。我們選取20個容器為一樣本,並計算出裝填量的樣本變異數為s2=0.0025。然而,我們無法預期這20個容器的樣本變異數與已裝填容器的母體恰好相等,因此將注意力轉而放在建立母體變異數的區間估計。

11 的區間估計(實例) 以 代表卡方分配的某個值,在此值的右邊面積或機率為 α。
以 代表卡方分配的某個值,在此值的右邊面積或機率為 α。 圖11.2中,自由度為19的卡方分配其 ,表示有2.5% 的卡方值會落在32.852的右邊;同理, 表示有97.5% 的卡方值在此值的右邊。 對照表11.1中自由度為19的卡方值(第19列),可查得這些數字。附錄B中的表3提供了更詳盡的卡方值。

12 的區間估計(實例)

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15 的區間估計(實例) 由圖11.2可得知有0.95或95% 的卡方值,會落在 與 之間;也就是說,我們有0.95的機會抽取到一個 值,且
由圖11.2可得知有0.95或95% 的卡方值,會落在    與    之間;也就是說,我們有0.95的機會抽取到一個   值,且 由於 (n-1)s2/σ服從卡方分配,所以可用(n-1)s2/σ取代上式中的    而得到公式如下

16 的區間估計(實例) 所有可能的 (n-1)s2/σ值中有0.95或95% 會落在    與   之間。現在,為了建立母體變異數 σ2的區間估計值,

17 的區間估計(實例) 右半邊的不等式做類似的移項,可得到 結果合併得到 即為母體變異數 σ2的95% 信賴區間的估計值。

18 的區間估計(實例) 將值代入式中即可求得母體變異數的區間估計值如下 取這些值的平方根,可得到母體標準差的95% 信賴區間如下

19 母體變異數的假設檢定 左尾檢定 假設檢定 其中 母體變異數的假設值 統計檢定量

20 母體變異數的假設檢定 左尾檢定 (續) 拒絕法則 絕對值法: 拒絕 H0 若 p-值法: 拒絕 H0 若 p-值 ≤ a
其中 值是基於自由度為 n - 1 的卡方分配

21 母體變異數的假設檢定 右尾檢定 假設檢定 其中 母體變異數的假設值 統計檢定量

22 母體變異數的假設檢定 右尾檢定 (續) 拒絕法則 絕對值法: 拒絕 H0 若 p-值法: 拒絕 H0 若 p-值 ≤ a
其中 值是基於自由度為 n - 1 的卡方分配

23 母體變異數的假設檢定 雙尾檢定 假設檢定 其中 母體變異數的假設值 統計檢定量

24 母體變異數的假設檢定 雙尾檢定 (續) 拒絕法則 絕對值法: 拒絕 H0 若 p-值法: 拒絕 H0 若 p-值 ≤ a
其中 與 值是基於自由度為 n - 1 的卡方分配

25 母體變異數的假設檢定(實例) 聖路易Metro Bus公司希望藉著鼓勵旗下的駕駛員行車準時,提升該公司可信賴的形象。該公司提出的標準政策為希望各站到達時間有極低的變異性,其訂定的標準為到達時間的變異數必須在4分鐘以內。下面即為協助該公司判斷到達時間的母體變異數是否過大的假設檢定: H0:σ2 < 4 Ha:σ2 > 4 若假設H0為真,則假定到達時間的母體變異數均符合公司規定。

26 母體變異數的假設檢定(實例) 以 α=0.05的顯著水準進行假設檢定。
假定在市區某個十字路口觀察隨機樣本24輛公車的到站時間之樣本變異數為 s2=4.9。如果到站時間的母體為近似常態分配,則檢定統計量計算如下: 自由度為n-1=24-1=23的卡方分配如圖11.3所示。

27 母體變異數的假設檢定(實例)

28 母體變異數的假設檢定(實例) p 值法: 因此為右尾檢定,故位於檢定統計量χ2=28.18 右邊區域的值即為本檢定的p值。

29 母體變異數的假設檢定(實例) 絕對值法: 當α=0.05時, 值即為右尾檢定的臨界值。使用表11.1,查得自由度為23之 =35.172,則到站時間範例的拒絕法則為 若 χ2>35.172,則拒絕H0 因為檢定統計量 χ2=28.18,故我們不能拒絕虛無假設。

30 母體變異數的假設檢定(實例) 以車輛監理站所面臨的情形為例,說明如何以卡方分配進行單一母體變異數的雙尾檢定。根據紀錄,考駕照者的測驗成績之變異數為 σ2=100。監理所目前剛設計出一份新的測驗卷,主管希望考駕照者成績的變異數仍維持既有水準。為評估新測驗卷成績的變異數,而擬出雙尾檢定如下 H0:σ2 = Ha:σ2 = 100 如果H0被拒絕,表示變異數確已改變,因而有必要修改新測驗卷的部分試題,以使新測驗卷成績的變異數與舊測驗卷相同。

31 母體變異數的假設檢定(實例) 使用 α=0.05的顯著水準進行檢定,並抽取30位申請駕照者為樣本,給予新測驗卷作答。
此30份測驗成績的樣本顯示,其樣本變異數為 s2=162,卡方檢定統計量之值為: 計算p值

32 母體變異數的假設檢定(實例) 所以χ2=46.98之檢定統計量代表在卡方分配右尾介於0.025與0.01的區域,加倍這值後顯示出雙尾檢定的p值介於0.05與0.02之間。 若使用Minitab或Excel,可求出正確的p值=0.0374。因為p值 ≤ α=0.05,所以我們拒絕H0,並獲致新測驗分數的母體變異數,與既有的變異數 σ=100間有差異。

33 母體變異數的假設檢定(實例)

34 11.2 兩母體變異數的推論 左尾檢定 假設檢定 較大的樣本變異數為母體 1 統計檢定量

35 兩母體變異數的推論 左尾檢定 (續) 拒絕法則 絕對值法: 拒絕 H0 若 F ≥ F 檢定量具有分子為 n1 - 1 個自由度
且分母為 n2 – 1個自由度的 F 分配 p-值法: 拒絕 H0 若 p-值 ≤ a

36 兩母體變異數的推論 右尾檢定 假設檢定 較大的樣本變異數為母體 1 統計檢定量

37 兩母體變異數的推論 右尾檢定 (續) 拒絕法則 絕對值法 拒絕 H0 若 F ≥ F/2 檢定量具有分子為 n1 - 1 個自由度
右尾檢定 (續) 拒絕法則 絕對值法 拒絕 H0 若 F ≥ F/2 檢定量具有分子為 n1 - 1 個自由度 且分母為 n2 – 1個自由度的 F 分配 p-植法: 拒絕 H0 若 p-值 ≤ a

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40 兩母體變異數的推論(雙尾檢定實例) Dullus County學校正要訂立明年的校車服務契約,且要從Milbank公司及Gulf Park公司兩家公車業者之間擇其一。該校主要是以校車到達或接送時間的變異數,作為校車服務品質的主要指標,變異數愈低表示愈準時且服務品質愈高。如果這兩種服務的到達時間之變異數相等,該校將選擇收費較低的公司;反之,如果兩者到達時間的樣本資料顯示變異數之間確有顯著差異,則該校在選擇時,將對服務較好或變異數較低的公司予以特別考量。

41 兩母體變異數的推論(雙尾檢定實例) 其假設如下 若H0被拒絕,我們將認定這兩種服務的品質不相等。此時,樣本變異數較低的公司將獲得青睞。我們將以 α=0.10的顯著水準來進行假設檢定。

42 兩母體變異數的推論(雙尾檢定實例) 抽樣26個Milbank公司到達時間的樣本之樣本變異數為48,抽樣16個Gulf Park公司到達時間的樣本變異數為20。Milbank的樣本有較大的樣本變異數,故我們視其為母體1。 檢定統計量為 相對之F分配的分子自由度為n1-1=26-1=25,分母自由度則為n2-1=16-1=15。

43 兩母體變異數的推論(雙尾檢定實例) p 值法
因為F=2.40介於2.28與2.69之間,故此分配之右尾面積亦介於0.05與0.025。因為此為雙尾檢定,故我們加倍右尾面積,得p值介於0.10與0.05之間。在此檢定中,因 α=0.10,p值<α=0.10,所以拒絕虛無假設。 這項結論說明此兩家公司在接送時間的變異數確有差異。因此,Dullus County學校的主管應對Gulf Park公司之較佳或較小變異數的服務,予以較高的評價。

44 兩母體變異數的推論(雙尾檢定實例) 臨界值法
在 α=0.10的顯著水準下,運用臨界值法進行雙尾檢定時,我們需令在分配的各個尾部面積為 α/2=0.10/2=0.05。 F0.05 = 2.28,其拒絕法則仍為: 若 F ≥ 2.28,則拒絕H0 因為檢定統計值F=2.4大於2.28,故拒絕H0,而獲致兩家汽車公司在接送服務的變異數上確有不同的結論。

45 兩母體變異數的推論(單尾檢定實例) 以某項民意調查為例,來說明如何以F分配進行兩母體變異數的單尾檢定。
此項調查抽取了31位男士及41位女士為兩樣本,以研究民眾對當前政治議題的看法。研究人員想檢定的是,此樣本資料是否顯示女性對政治議題態度的變異數高於男性。利用前述的單尾假設檢定形式,我們將女性視為母體1,而男性則視為母體2。此假設檢定可表達為 如果H0被拒絕,該研究人員將有充分的統計證據支持女性對政治議題態度的變異數較高的推論。

46 兩母體變異數的推論(單尾檢定實例) 以女性的樣本變異數為分子,男性的樣本變異數為分母,所以F分配的分子自由度為 n1-1=41-1=40,而分母的自由度為 n2-1=31-1=30。我們將用 α=0.05的顯著水準來進行此假設檢定。調查結果顯示女性的樣本變異數為 ,男性的樣本變異數為 ,且檢定統計量為

47 兩母體變異數的推論(單尾檢定實例) 檢定統計量F=1.50小於1.57,右尾面積必定大於0.10,所以我們確信p值大於0.10。
因為p值>α=0.05,故不能拒絕H0。 所以,該樣本結果並不支持女性對政治性議題的態度之變異數高過男性的結論。

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49 End of Chapter 11


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