一、问题的提出 1. 计算圆的面积 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积.

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2 一、问题的提出 1. 计算圆的面积 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积

3 二、级数的概念 1. 级数的定义: 一般项 (常数项)无穷级数 级数的部分和 部分和数列

4 2. 级数的收敛与发散:

5 余项 无穷级数收敛性举例：Koch雪花. 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．

6 观察雪花分形过程 第一次分叉： 播放 依次类推

7 第 次分叉： 周长为 面积为

8 于是有 雪花的面积存在极限（收敛）． 结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．

9 解

10 收敛 发散 发散 发散 综上

11 解

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13 三、基本性质 结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.

14 证明 类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.

15 证明

16 注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 收敛 发散

17 四、收敛的必要条件 级数收敛的必要条件: 证明

18 注意 1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 发散 2.必要条件不充分.

19 讨论

20 4项 2项 8项 2项 项 由性质4推论,调和级数发散.

21 五、小结 常数项级数的基本概念 基本审敛法

22 思考题

23 思考题解答 能．由柯西审敛原理即知．

24 练习题

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26 练习题答案

27 观察雪花分形过程 第一次分叉： 依次类推

28 观察雪花分形过程 第一次分叉： 依次类推

29 观察雪花分形过程 第一次分叉： 依次类推

30 观察雪花分形过程 第一次分叉： 依次类推

31 观察雪花分形过程 第一次分叉： 依次类推

32 观察雪花分形过程 第一次分叉： 依次类推