§1 线性空间的定义与性质 ★线性空间的定义 ★线性空间的性质 ★线性空间的子空间 线性空间是线性代数的高等部分，是代数学

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1 §1 线性空间的定义与性质 ★线性空间的定义 ★线性空间的性质 ★线性空间的子空间 线性空间是线性代数的高等部分，是代数学
§1 线性空间的定义与性质 ★线性空间的定义 ★线性空间的性质 ★线性空间的子空间 线性空间是线性代数的高等部分，是代数学 进一步讨论的基础，什么是线性空间？为什 么称它为线性空间？ 下页 关闭

2 线性空间的定义 定义1 设V是一个非空集合，R为实数域，如果 总有唯一的一个元素 对于任意两个元素 与之对应，称为 总有唯一的一个元素
并且这两 种运算满足以下八条运算规律 上页 下页 返回

3 上页 下页 返回

4 凡满足八条规律的加法及数乘运算，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称为向量空间。
这里向量的概念比起第四章中向量的概念，有了很大的推广： 1. 向量不一定是有序数组； 2. 向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，当然也就不一定是有序数组的加法及数乘运算。 上页 下页 返回

5 对于通常的多项式加法、多项式乘数的乘法构成向量空间。
例1 对于通常的多项式加法、多项式乘数的乘法构成向量空间。 这是因为：通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律。 上页 下页 返回

6 对于通常的多项式加法和数乘运算不构成向量空间。
例2 对于通常的多项式加法和数乘运算不构成向量空间。 上页 下页 返回

7 举例说明例2中的Q [ x ]n 对通常的多项式的加法运算不封闭。
Ex.1 举例说明例2中的Q [ x ]n 对通常的多项式的加法运算不封闭。 解 上页 下页 返回

8 例3 上页 下页 返回

9 注意： 上页 下页 返回

10 例4 证 实际上要验证十条： 上页 下页 返回

11 上页 下页 返回

12 线性空间的性质 1. 零元素是唯一的。 证 证毕。 上页 下页 返回

13 2. 任一元素的负元素是唯一的。 证 证毕。 上页 下页 返回

14 证 上页 下页 返回

15 证 上页 下页 返回

16 线性空间的子空间 定义2 设V 是一个线性空间，L 是 V 的一个非空子集，如果 L 对于 V 中所定义的加法和乘数两种运算也构成线性空间，则称 L为 V 的子空间。 一个非空子集要满足什么条件才能构成子空间？ 上页 下页 返回

17 定理1 线性空间 V 的非空子集 L 构成子空间的充分必要条件是：L 对于 V 中的线性运算封闭。
例5 在 n 维向量空间 R n 中，齐次线性方程组 的全部解向量组成一个子空间V 。 这是因为：若 则由齐次线性方程组 的性质知 即 V 对加法及数乘运算封 闭，从而 V 是 R n 的子空间。 上页 返回