第四节 重积分的应用 一、平面区域的面积 二、立体体积 三、曲面的面积 四、物体的质量 五、物体的质心 六、物体的转动惯量 七、物体的引力

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1 第四节 重积分的应用 一、平面区域的面积 二、立体体积 三、曲面的面积 四、物体的质量 五、物体的质心 六、物体的转动惯量 七、物体的引力
第十章 重积分的应用 一、平面区域的面积 二、立体体积 三、曲面的面积 四、物体的质量 五、物体的质心 六、物体的转动惯量 七、物体的引力 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2 1. 能用重积分解决的实际问题的特点 分布在有界闭域上的整体量 所求量是 对区域具有可加性 2. 用重积分解决问题的方法
用微元分析法 (元素法) 从重积分定义出发 建立积分式 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3 一、平面区域的面积 设 D 是 xy 平面上的有界区域，则其面积 对直角坐标，若D是 x 型区域：y1(x) ≤y≤ y2(x) ,
a ≤ x ≤ b , 则有 若在极坐标下D表示为：

4 二、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 占有空间有界域  的立体的体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

5 例1. 求曲面 任一点的切平面与曲面 所围立体的体积 V . 解: 曲面 在点 的切平面方程为 它与曲面 的交线在 xoy 面上的投影为
(记所围域为D ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

6 例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的 内接锥面所围成的立体的体积. 解: 在球坐标系下空间立体所占区域为 则立体体积为
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7 三、曲面的面积 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d , 则
(称为面积元素) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

8 故有曲面面积公式 即 若光滑曲面方程为 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

9 若光滑曲面方程为 则有 若光滑曲面方程为隐式 且 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

10 例3. 计算双曲抛物面 被柱面 所截 出的面积 A . 解: 曲面在 xoy 面上投影为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

11 例4. 计算半径为 a 的球的表面积. （P137—例4） 解: 方法1 利用球坐标方程. 设球面方程为 球面面积元素为
方法1 利用球坐标方程. 设球面方程为 球面面积元素为 方法2 利用直角坐标方程. (见书 P138) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

12 四、物体的质量 的平面薄板的总质量 M 为 具有面密度 类似地，若一立体 V 的密度为 则其总质量 M 可表示为

13 例5. 设 V 是曲面 所围 区域， V 中任一点的密度等于该点到 z 轴的距离， 求其质量 M 。 （ P 139—例6 ） 解: 由题设知密度函数为 在柱面坐标下，V的边界曲面为 z = r 与 z = 6 – r2 , r = 6 – r2 解出r = 2 ，于是有

14 五、物体的质心 设空间有n个质点, 分别位于 其质量分别 为 由力学知, 该质点系的质心坐标 为 设物体占有空间域  , 有连续密度函数
则 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 公式 , 即: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

15 将  分成 n 小块, 在第 k 块上任取一点 将第 k 块看作质量集中于点 的质点, 此质点 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.
例如, 令各小区域的最大直径 即得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

16 同理可得 则得形心坐标： 机动 目录 上页 下页 返回 结束

17 若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片, 其面密度 则它的质心坐标为 — 对 x 轴的 静矩 — 对 y 轴的 静矩
(A 为 D 的面积) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

18 例6. 求位于两圆 和 之间均匀薄片 的质心. 解: 利用对称性可知 而 机动 目录 上页 下页 返回 结束

19 例7. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线 的方程为 若炉 内储有高为 h 的均质钢液, 不计炉体的 自重, 求它的质心.
解: 利用对称性可知质心在 z 轴上， 故 其坐标为 采用柱坐标, 则炉壁方程为 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束

20 机动 目录 上页 下页 返回 结束

21 四、物体的转动惯量 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算.
设物体占有空间区域  , 有连续分布的密度函数 该物体位于(x , y , z) 处的微元 对 z 轴的转动惯量为 因此物体 对 z 轴 的转动惯量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

22 类似可得: 对 x 轴的转动惯量 对 y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

23 如果物体是平面薄片, 面密度为 则转动惯量的表达式是二重积分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

24 例8.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径 的转动惯量. 解: 建立坐标系如图, 半圆薄片的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

25 例9.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.
解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 设球 所占域为 则 (用球坐标) 球体的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

26 五、物体的引力 设物体占有空间区域 , 其密度函数 物体对位于原点的单位质量质点的引力 利用元素法, 引力元素在三坐标轴上的投影分别为
G 为引力常数 在上积分即得各引力分量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

27 对 xoy 面上的平面薄片D , 它对原点处的单位质量质点 的引力分量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

28 更一般地，设立体的密度 一质量为m 的质点位于点 P0( x0 , y0 , z0 ), 则立体对质点的引力为

29 例10. 设面密度为μ ,半径为R的圆形薄片 求它对位于点 。 处的单位质量质点的引力. 解: 由对称性知引力
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30 例11. 求半径 R 的均匀球 对位于 点 的单位质量质点的引力. 解: 利用对称性知引力分量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

31 为球的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

32 备用题 设有一高度为 ( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其 侧面满足方程 设长度单位为厘米, 时间单位为小时,
已知体积减少的速率与侧面积成正比 (比例系数 0.9 ), 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时? (2001考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

33 提示: 记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则 (用极坐标) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

34 因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100
由题意知 令 得 (小时) 因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100 小时. 机动 目录 上页 下页 返回 结束