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常用逻辑用语复习
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知识网络 常用逻辑用语 命题及其关系 简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 四种命题 充分条件与必要条件 量词 全称量词 存在量词
含有一个量词的否定 或 且 非或 并集 交集 补集 运算
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1.1.1命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题． 其中判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题．
命题的形式：“若P, 则q” 也可写成 “如果P,那么q” 的形式 也可写成 “只要P,就有q” 的形式 通常,我们把这种形式的命题中的P叫做命题的条件,q叫做结论. 记做:
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原命题： 若p 则q 逆命题： 若q 则p 否命题： 若 p 则 q 逆否命题： 若 q 则 p 二、 四 种 命 题
一个符号 二、 四 种 命 题 条件Ｐ的否定，记作“Ｐ”。读作“非Ｐ”。 原命题： 若p 则q 逆命题： 若q 则p 否命题： 若 p 则 q 逆否命题： 若 q 则 p
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结论1：要写出一个命题的另外三个命题关键是分清命题的题设和结论（即把原命题写成“若P则Q”的形式）
注意：三种命题中最难写 的是否命题。 结论2：（1）“或”的否定为“且”， （2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。
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三、四种命题之间的 关系 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 互为 逆否 若p则q 若q则p 互逆 互否 互否 若﹁p则﹁q 若﹁q则﹁p
互为 逆否 否命题 若﹁p则﹁q 逆否命题 若﹁q则﹁p 互逆
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四、命题真假性判断 结论： (1)原命题与逆否命题同真假。 (2)原命题的逆命题与否命题同真假。
（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。 （2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。 结论： (1)原命题与逆否命题同真假。 (2)原命题的逆命题与否命题同真假。
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反证法 反证法的一般步骤： 假设命题的结论不成立,即假 设结论的反面成立； 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
反设 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； 归谬 (3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。 结论
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充要条件
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如果命题“若p则q”为真，则记作p q（或q p）。
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从集合角度理解： p q，相当于P q ， 即 P q 或 P、q
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判别充要条件问题的 6 判别步骤： 7 判别技巧： ① 认清条件和结论。 ② 考察p q和q p的真假。 ① 可先简化命题。
② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
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显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件
充要条件定义: 称:p是q的充分必要条件,简称充要条件 显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件 p与q互为充要条件 (也可以说成”p与q等价”)
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各种条件的可能情况 1、充分且必要条件 2、充分非必要条件 3、必要非充分条件 4、既不充分也不必要条件
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1）A B且B A，则A是B的 2）若A B且B A，则A是B的 4）A B且B A，则A是B的
2、从逻辑推理关系看充分条件、必要条件: 1）A B且B A，则A是B的 充分非必要条件 2）若A B且B A，则A是B的 必要非充分条件 3）若A B且B A，则A是B的 既不充分也不必要条件 4）A B且B A，则A是B的 充分且必要条件
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1）若A B且B A，则甲是乙的 2) 若A B且B A，则甲是乙的
3、从集合与集合的关系看充分条件、必要条件 一般情况下若条件甲为ｘ∈Ａ，条件乙为ｘ∈Ｂ 1）若A B且B A，则甲是乙的 充分非必要条件 2) 若A B且B A，则甲是乙的 必要非充分条件 3）若A B且B A，则甲是乙的 既不充分也不必要条件 4）若A=B ，则甲是乙的充分且必要条件。
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注意点 1.在判断条件时，要特别注意的是它们能否互相推出，切不可不加判断以单向推出代替双向推出. 2.搞清
①A是B的充分条件与A是B的充分非必要条件之间的区别与联系； ②A是B的必要条件与A是B的必要非充分条件之间的区别与联系 ３、注意几种方法的灵活使用： 定义法、集合法、逆否命题法
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2：填写“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要。 1）sinA>sinB是A>B的___________条件。
2）在ΔABC中，sinA>sinB是 A>B的 ________条件。 既不充分又不必要 充要条件 注、定义法（图形分析）
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3、a＞b成立的充分不必要的条件是（ ） A. ac＞bc B. a/c＞b/c C. a+c＞b+c D. ac2＞bc2 D 4.关于x的不等式：｜x｜+｜x-1｜＞m的 解集为R的充要条件是( ) (A)m＜ (B)m≤0 (C)m＜ (D)m≤1 C
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练习2、 B 注、集合法 A 1、设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么”x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的
A.充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要 D不充分不必要 B 注、集合法 2、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是 A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0<a<2 A
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那么┐p是┐q的_______________.
练习3、 1.已知p是q的必要而不充分条件， 那么┐p是┐q的_______________. 充分不必要条件 注、等价法（转化为逆否命题） 2：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充 要条件,则A为C的（ ）条件 A.充要 B必要不充分 C充分不必要 D不充分不必要 Ａ
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练习4、 A A 集合法与转化法 1.已知P：｜2x-3｜＞1；q：1/(x2+x-6)＞0， 则┐p是┐q的( ) (A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 A 2、已知p：|x+1|＞2，q：x2＜5x－6, 则非p是非q的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 A 集合法与转化法
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我们再来看几个复杂的命题: (1)10可以被2或5整除. (2)菱形的对角线互相垂直且平分. (3)0.5非整数. “或”,“且”, “非”称为逻辑联结词.含有逻辑联结词的命题称为复合命题,不含逻辑联结词的命题称为简单命题. 复合命题有以下三种形式: (1)P且q. (2)P或q. (3)非p.
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逻辑联结词 或、且、非
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一般地,用逻辑联结词”且”把命题p和命题q联结起来.就得到一个新命题,记作
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规定:当p,q都是真命题时, 是真命题;当p,q两个命题中有一个命题是假命题时, 是假命题.
全真为真,有假即假. p q
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一般地,用逻辑联结词”或”把命题p和命题q联结起来.就得到一个新命题,记作
假命题时, 是假命题.
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当p,q两个命题中有一个是真命题时, 是真命题;当p,q两个命题都是假命题时, 是假命题.
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一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作
读作”非p”或”p的否定” 若p是真命题,则 必是假命题;若p是假命题,则 必是真命题.
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“非”命题对常见的几个正面词语的否定. 正面 = > 是 都是 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 否定 ≠ ≤ 不是 不都是
至少有两个 没有一个 某个 某些
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全称量词与 存在量词
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短语”对所有的””对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 “ ”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题,
短语”对所有的””对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 “ ”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题. 常见的全称量词还有: “对所有的”,”对任意一个”,”对一切”,”对每一个”,”任给”,”所有的”等.
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符号 全称命题”对M中任意一个x有p(x)成立”可用符号简记为 读作”对任意x属于M,有p(x)成立”.
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1.4.2 存在量词
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短语”存在一个””至少有一个”在逻辑上通常叫做存在量词,并用符号” ”表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题.
常见的存在量词还有”有些””有一个””有的””对某个”等.
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特称命题”存在M中的一个x,使p(x)成 立”可用符号简记为 读做”存在一个x,使p(x)成立”.
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1.4.3 含有一个量词 的命题的否定
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从命题形式上看,这三个全称命题的否定都变成了特称命题.
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论: 全称命题p: 全称命题的否定是特称命题.
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特称命题的否定是全称命题. 从命题形式上看,这三个特称命题的否定都变成了全称命题. 一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:
它的否定 特称命题的否定是全称命题.
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