第四章 一元函数的积分 §4.1 不定积分的概念与性质 §4.2 换元积分法 §4.3 分部积分法 §4.4 有理函数的积分

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1 第四章 一元函数的积分 §4.1 不定积分的概念与性质 §4.2 换元积分法 §4.3 分部积分法 §4.4 有理函数的积分 §4.5 积分表的使用 §4.6 定积分的概念与性质 §4.7 微积分基本公式 §4.8 定积分的换元法和分部积分法 §4.9 反常积分 §4.10 定积分的元素法 §4.12 定积分在物理学上的应用 §4.11 定积分在几何学上的应用

2 §4.1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 原函数： I 如果在区间 内，可导函数 的导函数为 即 都有 或 dF(x)=f(x)dx F(x) f(x) 那么函数 就称为 或 在区间 内原函数. f(x)dx I 不定积分： 在区间 内，函数 的带有任意常数项的原函数 I 称为 在区间 内的不定积分，记为 I

3 注解 ① 积分号 ② 被积函数 任意常数 积分变量 被积表达式

4 原函数存在定理 如果函数 在区间 内连续，那么在区间I内存在可导函数 I F(x) 使 ，都有 注解 ① 连续函数一定有原函数. ② 原函数不唯一 ③ 的全体原函数组成的集合 或

5 例1 求 解： 当 时， ， 是 在 内的一个原函数 即在 内 当 时， ， 是 在 内的一个原函数 即在 内

6 例2 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解： 设曲线方程为 根据题意知 即 是 的一个原函数 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为 注解 ① 函数 的原函数的图形称为 的 积分曲线。 ② 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. ③ 返回

7 二、 基本积分表 积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 是常数);

8

9 例3 求积分 解： 根据积分公式（2） 返回

10 三、 不定积分的性质 性质1 设函数 及 的原函数存在，则 性质2 设函数 的原函数存在， 为非零常数，则 注解 ① 性质1可推广到有限多个函数之和的情况 ② 往往利用性质对被积函数都需要进行恒等变形， 才能使用基本积分表.

11 例4 求 解： 例5 求 解： 例6 求 解：

12 例7 求 解

13 例8 求 解

14 例9 求 解 返回