3.2 微分和求导法则 函数的和、差、积、商的微分与求导法则 反函数的微分与求导法则 复合函数的微分与求导法则 基本求导法则与导数公式

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3.2 微分和求导法则 函数的和、差、积、商的微分与求导法则 反函数的微分与求导法则 复合函数的微分与求导法则 基本求导法则与导数公式 小结 思考题 第三章 导数与微分 导数与微分

2 一、和、差、积、商的微分与求导法则 定理1

3 证(1)、(2)略. 证(3)

4

5 推论

6 例 解 例 解

7 例 解 同理可得

8 例 解 同理可得 例 解 同理可得

9 二、反函数的微分与导数 定理2 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

10 证 于是有 可得, 得证.

11 例 解 同理可得

12 三、复合函数的微分与求导法则 定理3 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)

13 证 得证.

14 推广 例 解

15 例 解 例 解

16 例 解 例 解

17 反双曲函数的导数 同理

18 微分形式的不变性 结论： 微分形式的不变性

19 例 解 法一 用复合函数求导公式 法二 用微分形式不变性 在计算中也可以不写中间变量,直接利用微分形式不变性.

20 例 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立. 解

21 四、运算法则与运算公式 1.常数和基本初等函数的导数公式

22 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 ) ( ), x v u = 可导，则 （ 1 ） ¢ , 2 c cu 3 4 . ( 是常数)
uv + 4 - . ( 是常数)

23 3.复合函数的求导法则

24 4.反函数的导数 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全 决. 注意:初等函数的导数仍为初等函数.

25 例 解

26 ( ) 练习 ? . , 3 sin 可导 其中函数 的导数 求 f x y = ) 3 (sin x f ¢ ] ) 3 (sin [ ¢
解 则 注 上式中 是函数 f 对括号中的中间 ) 3 (sin x f 变量求导, ] ) 3 (sin [ = x f ?

27 例 解

28 例 解

29 练习 分析 这是抽象函数与具体函数相结合的导数, 综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及 复合函数求导法则. 解

30 例 解 所以

31 练习 答案 练习 ), ( ) , x a f j - = 处连续 在 若 ). ( a f 求 解

32 五、小结 函数和、差、积、商的微分求导法则; 反函数的微分求导法则（注意成立条件）; 复合函数的微分求导法则
（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）; 已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商. 分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.

33 思考题

34 思考题解答 正确地选择是（3） 例 在 处不可导， 取 在 处可导， 在 处不可导， 取 在 处可导， 在 处可导，

35 作业 习题3.2(62页) 7.(3)(6)(9)(12)(15) (2)(6)(9) 15.(3)(7)

36 练 习 题

37

38 练习题答案