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電 路 學 5. 一階電路:RC與RL電路 5-1 一階微分方程式與一階電路之響應 5-7 無源RL電路與自然響應 5-2 電容器的直流穩態

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1 電 路 學 5. 一階電路:RC與RL電路 5-1 一階微分方程式與一階電路之響應 5-7 無源RL電路與自然響應 5-2 電容器的直流穩態
5-9 一階電路響應的快速求法 5-4 有源RC電路之完全響應 5-10 步級函數與步級響應 5-5 有源RC電路之零態響應 5-11 總結 5-6 電感器的直流穩態 本章練習

2 5-1 一階微分方程式與一階電路之響應 (First-order Differential Equation and the Response of First-order Circuits )
RC 及 RL 電路為一階電路,其電路方程式為一階微分方程式, 其形式為: dy t dt ay f ( ) + = 其中 y 為響應或輸出,可為電壓 v(t) 或電流 i(t),a 為常數, f(t) 為輸入函數, f(t) 可為常數或時間函數。 一階微分方程式解法有多種,本節採用積分因子法解之。 e dy t dt ay f at ( ) + = 首先乘以 eat,則 d dt e y t dy ay f at [ ( ) ] = + é ë ê ù û ú 上式兩邊對 t 積分,可得 ò + = Þ c dt t f e y d at ) ( ] [ 其中 c 為積分常數,再以 e-at 乘以上式可得 y t e f dt ce at ( ) = + - ò c 可由初值條件 y(0) 決定之。 5-2

3 5-1 一階微分方程式與一階電路之響應 (First-order Differential Equation and the Response of First-order Circuits )
在微分方程中,     稱為全解,   在電路中則被稱為完全響應 (Complete Response) 。 y t e f dt ce at ( ) = + - ò 為微分方程中所謂的特解 yp (Particular Solution), 在電路中被稱為激勵響應 (Forced Response); 又因此解為一固定值且不隨時間之增加而衰減或消失, 故又稱為穩態響應(Steady State Response)。 完全響應包含兩部分,其中第一部份 e f t dt at - ò ( ) 則為微分方程中所謂之齊次解(Homogeneous Solution), 此解和電路本身特性以及電路之初值有關,而與輸入函數無關,故被稱為自然響應 (Natural Response),又因此解將隨 t 之增加 而衰減至零,故又被稱為暫態響應 (Transient Response)。 另一解為 ce at - 5-3

4 5-1 一階微分方程式與一階電路之響應 (First-order Differential Equation and the Response of First-order Circuits )
其中 c 可由初值條件 y (0) 決定。 若輸入函數為常數 b (或電路上之 b 伏特直流電壓)時, at ce a b bdt e t y ay dt dy - + = Þ ò ) ( 若輸入函數為 f(t) 時,則 ( ) at ce dt t f e y - + = Þ ò ay dy 零輸入情況 此相當於 f (t) = 0 之情況,因此其解為 ( ) at e y ce t - = 此解和 y (0) 及 a 值有關,(a 和電路特性有關 ),故上式被稱為 無源電路之自然響應 (Natural Response)。 又因輸入為零,故稱為零輸入響應。 有源情況 電路含有初值且外接獨立電源情況時,若設 f (t) = b , 則 又 at ce a b t y - + = ) ( 因此 c ( ) - at e a b y t - û ù ê ë é + = ) 故其解為 5-3

5 5-1 一階微分方程式與一階電路之響應 (First-order Differential Equation and the Response of First-order Circuits )
零態情況 此情況相當於式中, f (t) 不為零但 y (0) = 0 之情況, 若同樣設 f (t)=b,則 y t b a ce at ( ) = + - y c ( ) = + b a 所以 c b a = - 故其解為 at e t y - = ) 1 ( b a 此解通常被稱為零態響應 (Zero State Respense), 其中 為穩態響應, 為暫態響應。 at e - b a 完全響應 = 零輸入響應 + 零態響應 5-4

6 5-1 一階微分方程式與一階電路之響應 (First-order Differential Equation and the Response of First-order Circuits )
(a) f (t) = 0 且 y(0) = 10 (零輸入) (b) f (t) = 5 且 y(0) = 10 (直流輸入) (c) f (t) = 5 且 y(0) = (零態) 例 5-1:試解一階微分方程式          dy t dt y f ( ) + = 5 解: 依 可得如下解: y t e f dt ce at ( ) = + - ò (a) y t ce c e ( ) = \ - 5 10 (b) t e y c ce dt 5 9 1 ) ( 10 - + = \ Þ × ò (c) t e y c ce dt 5 1 ) ( - = \ Þ + × ò 5-5

7 5-2 電容器的直流穩態(DC Steady State of a Capacitor)
在直流穩態時沒有電流流經電容器,此時電容器如同開路一般, 因此在直流穩態時,可直接將電容開路。 (a RC ) 較一般化的 電路 4 W 6 2 7 C = 1 F 150 V + - v t 5 c ( RC 電路之直流穩態,考慮圖 (a) 之電路。 設此電路在 t = 0- 時已在穩態, 即在 t = 0- 以前,開關在閉合狀態已有很長 一段時間,因此在 t = 0- 時, 電容器的電壓已充飽至一固定值, 又此時電容器在直流穩態時可視為開路, 因此可得其等效電路如圖 (b)所示 (b) 時的等效電路 t = 4 W 6 2 7 v c ( ) - 150 V + 5 R th = + [( ) / ] 4 2 6 7 10 W 且電容器左側之戴維寧等效電阻為 (c ) t > 時的等效電路 R th = 10 W 1 F + - v c ( 故可求得電容器在時之初值為 v c ( ) 10 5 × 150 100 - = + æ è ö ø V 若在 t > 0 後將開關打開,則此時電容器將對其左側之電阻放電, 由於 vc(0+) = vc(0-) = 100V,所以 vc 將從 100V 開始放電,直到 vc 降為零, 此時其等效電路如圖 (c) 所示。 5-6

8 5-3 無源RC電路與自然響應 (Source-Free RC Circuits and Its Natural Response )
  此放電電路中所有電壓與電流之響應。 v V c ( ) - = 由 KCL,可得 ic + iR = 0 R i C v t c ( ) + - 因此 ) ( = + R t v dt dv C c ) ( 1 = + t v RC dt dv C 可得 v t ce c RC ( ) = -  已知 vc(0-) = V0,代入上式可得 vc(0-) = c = V0 又由於    (電容器電壓之連續性 ),所以當 t > 0 時, v c ( ) + - = v t V0e c RC ( ) = - R e V i dt dv C 5-7

9 5-3 無源RC電路與自然響應 (Source-Free RC Circuits and Its Natural Response )
  其響應為 f t Ke ( ) = - K t f ( ) (a) 由圖 (a) 可看出當 t → ¥ 時,f(t) → 0 其中 K 及t 為常數,且 t = RC , R 的單位為歐姆 (W),C 之單位為法拉 (F)。 t 等於 ay(t) = 0 中之 ) ( dt t dy a 1 由於 R = 與 C = 之單位分別為 伏特 / (庫倫 / 秒) 及 庫倫 / 伏特, 故 RC 乘積之單位為秒。 i v q V v t c ( ) 368 . 1 = K 2 3 (b) 又因t 與 RC 電路之充放電速率有關, 所以t 被稱為時間常數 (Time Constant); t 愈大,則 v(t) 或 i(t) 下降之速度愈慢,   反之則愈快,如圖 (b) 所示。 5-8

10 5-3 無源RC電路與自然響應 (Source-Free RC Circuits and Its Natural Response )
除電壓與電流響應外,另一個我們所關心的就是 能量。 由公式 W t Cv c ( ) = 1 2 我們知道電容器於 t = 0 時所儲存的能量為 W c ( ) = Cv 1 2 CV 當時間 t → ¥ 時,vc → 0,因此 Wc → 0,但 Wc(0) 能量往那兒去了? 以下我們將證明這些能量被電阻器以熱的形式消耗掉了。 由於電阻器所吸收的功率為 P t Ri R V e RC ( ) = æ è ö ø - 2 所以,由電阻器所吸收的總能量為 W P t dt V R e RC = - ò 2 ( ) / C V CV W c = - 2 1 [ ] ( ) 因此原先電容器所儲存的能量在放電的過程中被電阻器吸收, 且以熱的形式消耗殆盡。 5-11

11 5-3 無源RC電路與自然響應 (Source-Free RC Circuits and Its Natural Response )
例 5-2:下圖之電路在 t = 0- 時已在穩態,在 t = 0 時開關 打開,試求 t > 0 之 vc(t) , v(t) 及 ic(t)。 (a RC ) 較一般化的 電路 4 W 6 2 7 C = 1 F 150 V + - v t 5 c ( 解: 由前一節之說明知 vc(0+) = vc(0-) = 100(V), 又由圖 (c) 之等效電路,可得 t > 0 時 (c ) t > 時的等效電路 R th = 10 W 1 F + - v c ( v t e c ( ) = - 100 10 0. 1 V) 其中 t = RC 秒,又由分壓定律可得 v t e c ( ) [ / )] = + × - 7 6 2 4 10 100 70 0. 1 V i t C dv dt e c ( ) . = - 100 1 10 0. A × 5-11

12 5-3 無源RC電路與自然響應 (Source-Free RC Circuits and Its Natural Response )
例 5-3:下圖之電路已知 v(0) = 4(V),求 t > 0 時之 i。 + - 1 8 F 3 W 2 i V v 6 解: 依 KCL 可得 v i dv dt - + = 2 6 1 8 3 其中 i C dv dt = 1 8 代入上式可得 6 3 8 1 4 = + Þ - v dt dv 故可得 v t e ( ) = - 4 6 V) 因此 t > 0 時 i t C dv dt e ( ) = × - 1 8 4 6 3 (A) 5-12

13 5-4 有源RC電路之完全響應 (Complete Response of RC Circuits )
考慮右圖之電路,設 v(0–)=V0,且在 t = 0 時,關上開關。 則 t > 0 時 v t V e s RC ( ) = + - V s C + - v R i t = 由上式知,v(t) 之響應包含兩部份, 即 Vs 及 (V0–Vs) e ,通常被稱為完全響應。 其響應圖如圖 (b) 所示,茲說明如下: t RC - Vs部份: 為一常數項,其形式與電壓源相同,因此 我們推論這分量是完全由激勵源所造成的, 此分量通常被稱為激勵響應,又被稱為 穩態響應。 ( ) a V s - t e RC 穩態響應 暫態響應 v b = + 完全響應 (V0 – Vs)e 部份: 此部份與無源 RC 電路之自然響應有相同的 形式,但其 K 值 (等於 V0 – Vs ) 與初值及 激勵源有關,而無源 RC 電源之,只和初值 有關,故此部份通常被稱為有源電路之 自然響應,又稱為暫態響應。 t RC - 5-13

14 5-4 有源RC電路之完全響應 (Complete Response of RC Circuits )
穩態響應與暫態響應。 2. 穩態響應為電容器的開路 (或直流穩態) 電壓。 3. 暫態響應=(初值-穩態響應) , 其中τ為時間常數。 - × e  t 5-14

15 5-4 有源RC電路之完全響應 (Complete Response of RC Circuits )
例 5-4:下圖電路之開關在 t = 0 時關上,設 v(0-) = V0, 試求 t > 0 時之 v(t)。 I + - v C i c t = a b R 解: 依 KCL ,於 t > 0 時 Þ C dv dt v R I + = RC 可得 v t e I C dt c RI RC ( ) = + - ò 由於 v(0+) = v(0-) = v0,所以 t = 0+ 時由上式可得 c V RI = - v ( ) + 因此 v(t) 之完全響應為 v t RI V e RC ( ) , = + - > 5-15

16 5-4 有源RC電路之完全響應 (Complete Response of RC Circuits )
例 5-6:圖 (a) 之電路中 v(0-) = 15(V),求 t > 0 時之 v(t) 。 24 W 1 3 F + - v 40 V 8 i a b ( ) 解: A. 電容器開路電壓為 40 × = 30(V) (參考圖(b)), 故穩態響應為 30(V),此電壓亦等於 ab 端以左, 戴維寧等效電路之開路電壓 V0c。 24 8 + 1 3 F 30 V 6 W a b ( ) c 24 40 8 R th = B. 由圖 (c) 之戴維寧等效電路可求得 Rth = = 6Ω, 故 t = Rth × C = 6 × = 2 sec, 因此暫態響應為 (15 – 30)e = 15e 8 × 24 8 + 24 1 3 - 0.5e t 2 C. 所以 t > 0 時,v(t) = 30 – 15e (V) - 0.5e 5-16

17 5-5 有源RC電路之零態響應 (Zero State Response of RC Circuits )
考慮右圖之電路,即設 v(0) = 0,因此 t > 0 後,可知 v t V e s RC ( ) / = - 1 V s C + - v R i t = 所以零態響應亦由穩態項與暫態項組成。 結論: 有源 RC 電路之完全響應,不論是否含有初值,通常包含 穩態響應及暫態響應。 但若電源為類似 e  等形式之暫態函數時,則完全響應將 無穩態項,而僅剩暫態項。 a t - | 以電容器電壓之響應為例: v t V e c R C th ( ) / = - 1 其中 Voc = 電容器端戴維寧等效電壓 ( 開路電壓 )。 Rth = 自電容器端看入之等效電阻。 5-17

18 5-5 有源RC電路之零態響應 (Zero State Response of RC Circuits )
例 5-7:下圖之電路,若 v(0) = 0 ,求 t > 0 之 v(t) 及 i(t)。 + - 36 V 12 W v t ( ) 6 1 8 F a i 解: 電容器兩端之戴維寧等效電路如圖 (b) 所示。 V R C v t e i c th 2 36 × 12 6 24 4 1 8 36 = + × \ - ( / / 12 sec ) [ )] V) (A) W + - V c 24 = a b v t ( ) R th 4 W 1 8 F 5-18

19 5-6 電感器的直流穩態 (DC Steady State of Inductors)
在直流穩態時,電感器上會有一固定之電流。 例如: I0 (常數) 安培之直流電流,由於 di / dt = 0, 因此 vL = Ldi / dt = 0,即電感器兩端之電壓為零, 換句話說,電感器在直流穩態時,形同短路, 此時電感器中之電流即為其初值電流。 結論: 不含初值的 RL 電路在接上電源的瞬間,其電流為零, 故此時電感器形同開路。 RL 電路達穩態時,電感器中有一穩定電流, 且此時電感器形同短路。 5-19

20 5-7 無源RL電路與自然響應 (Source-free RL Circuits and Its Natural Response )
如右圖所示之無源 RL 電路,其初值電流為 i (0-) = I0 , 現欲求解 t > 0 時,此電路中所有電壓與電流的響應可求得 ) ( = + Þ t i L R dt di Ri + - v t ( ) L R i 可得上式之解為 i t c e R L ( ) = - 已知 i(0-) = I0,代入上式可得 I c i - = ) ( 由於 ,所以當 t > 0 時 i I ( ) + - = v t L di dt I R ( ) = - iR e i RL 電路之響應為 f(t) = Ke 之形式,只是時間常數τ變為 L /R, 且τ愈大 ( 相當於 L 愈大 ),則電感器電流降至零之速度愈慢, 反之愈快。 t - 5-20

21 5-7 無源RL電路與自然響應 (Source-free RL Circuits and Its Natural Response )
W t Li L ( ) = 1 2 若在 t = 0 時電感器所儲存的能量為 = W Li L ( ) 1 2 LI 由於 t → ∞ 時,i → 0,因此 WL → 0,則原先儲存在電感器上之 能量 WL(0) 何去了呢? WL(0) 係被電阻器所消耗。 右圖中 RL 電路之電阻所吸收之功率為 P t Ri R I e L ( ) = - 2 2R + - v t ( ) L R i 當 t → ∞ 時,電阻器吸收之能量為 W P t dt RI e LI R ( ) = \ ò 2 1 2R L - 上式說明「電感器最初所儲存的能量,最後是被電阻器所消耗」。 5-21

22 5-7 無源RL電路與自然響應 (Source-free RL Circuits and Its Natural Response )
範例:考慮右圖之電路,設此電路在位置 1 時為直流穩態( 即電路在 位置 1 已有很久一段時間 ),若在 t = 0 時開關移至位置 2, 則 t > 0 時 v(t) 及 i(t) 為何? 2 W t = + - 30 V v ( ) 3 a b i 1 H 解: 1. 在位置 1 時,電路為直流穩態,故電感器形同短路, 因此 i I = + 30 2 3 5 6 ( ) A i 1 H 15 8 W a b 2. 在位置 2 時,a-b 端之戴維寧等效電路如右圖所示, 其中 R th = + 2 3 15 8 ( ) W 且電感器中初值電流為 6A,所以 t > 0 時 其中 i t e ( ) = - 6 15 8 L R th sec 3. 因為 ,由分壓定理得 v L di dt e ab t = - 45 4 15 8 ( ) × + 2 3 5 9 V 5-22

23 5-7 無源RL電路與自然響應 (Source-free RL Circuits and Its Natural Response )
範例:若電路中含有相依電源,則須注意此時電路之時間常數 將不再是單純的 L / R,茲以下圖為例說明,其中 i(0) = 2A。 3. v 6 A a b 2 W 3 H 4 i + - 解: 在此電路中 其中 v di dt i ab = - 6 + × æ è ö ø 4 2 L 3 所以           或 6 i - æ è ç ö ø di dt + = × 4 2 3 i e t = - 2 6 A 其中 ,於此種情況不能再用一般 之方式求出。 t = 1 6 L R 5-23

24 5-8 有源RL電路之完全響應 (Complete Response of RL Circuits )
首先考慮右圖之電路,設 i(0-) = I0,且在 t = 0 時,將開關關上。 則依 KVL,於 t > 0 時 L V i R dt di Ri s = + Þ t = i L + - v R V s 可得 i t e V L dt c R s ( ) = + - ò 因為 i I ( ) + - = 所以 t = 0+ 時,可得 R V I c i s - = Þ + ) ( 因此 t > 0 時 i t V R I e s ( ) = + - æ è ö ø L 若令 ,上式可改寫成 i t I e s ( ) = + - V R L 5-24

25 5-8 有源RL電路之完全響應 (Complete Response of RL Circuits )
由上式可知,i(t) 之響應包含兩部份,即 Vs / R 及 此解為電路之完全響應,說明如下: I V R e s L t - æ è ö ø 部份:此部份為一常數項,其形式與激勵源 Vs 相同,此分量常被稱為 激勵響應。又因  此項會隨時間之增加而逐漸衰減 至零,使 i(t) 最後只剩 Vs 分量,故此分量又被稱為穩態響應。 V R s I e L t - æ è ö ø 當電路在穩態時,電感器形同短路,直流穩態電流當然為 。      部份:此部份為電路之暫態響應,會隨時間之增加 而衰減至零。 I V R e s L t - æ è ö ø 由上述討論,有源 RL 電路的結論如下: 1. 有源 RL 電路中電感電流之完全響應包含 穩態響應 與 暫態響應 。 2. 穩態響應部份為電感視同短路情況下,所求得之穩態電流。 3. 暫態響應為(初值 – 穩態響應)× e ,τ為時間常數。 t τ 5-25

26 5-8 有源RL電路之完全響應 (Complete Response of RL Circuits )
例 5-10:在右圖電路中, 已知 i(0-) = 2A,求 t > 0 之 i(t)。 + - 3 W 6 2 H b a i t = 36 V 解: A. t > 0 時,a-b 端戴維寧等效電路如右圖示 其中 V v R c ab th 36× 3 6 2 = + æ è ö ø ( [( / ) ] V) W 由等效電路可得穩態電流為( 令電感器短路 ), 因此 i t e - A L 1 + - 6 V 2 W a H b i t ( ) B. 由原電路直接求出電感器之穩態電流,令電感器短路後可得其 穩態電流為 36 6 3 + = ( / ) A × 且自電感器 a-b 端看進去之等效電阻為 2 [( ] W 因此 i t e - 5-25

27 5-8 有源RL電路之完全響應 (Complete Response of RL Circuits )
例 5-11:在右圖電路中,若在 t = 0- 時為直流穩態,試求 t > 0 時之 i(t) 。     + - 10 W V t = 1 H 5 i A 解: A. 在 t = 0- 時,電感器形同短路, 故 i = I0 = 10 ×   = 5(A) + 5 B. t ≥ 0 時,原電路另外加了 10V 之電壓源,因此可利用重疊定理,分別考慮10V 電壓源, 初值 I0 及 10A 電流源單獨作用時所產生之電流,此三個電流之和即為 i 。 C. 僅考慮 10V 電壓源之作用時,10A 電流源被開路且令初值為零, 故其產生之電流為 i t e 1 5 ( ) = - A 其中穩態電流為 (令電感器短路),且電感器兩端之等效電阻為 10 // (5 + 5) = 5 Ω 10 D. 由初值所產生之電流為 ( 此時 10V 電壓源為短路,10A 電流源為開路 ) 其中 i t I e R L 2 5 ( ) = - A th W , E. 由 10A 電流源所產生之電流為 其中穩態電流為 (令電感器短路),且 i t e 3 5 1 ( ) = - A 10 × + R th 10 / W F. 由以上結果可得 i t e ( ) = + - 1 2 3 5 6 A 5-26

28 5-9 一階電路響應的快速求法 (Fast Solution of First order Circuits )
總結: 一階電路的完全響應可以表示成如下的形式 y t f n ( ) = + A Be - 其中 yf = A 為激勵響應或穩態響應,而 yn = Be 為自然響應。 t - 因 yf 為所欲求解元件上之穩態電壓或穩態電流, 因此可直接從電路上直接觀察得出 yf, 又比較上述公式可知 A y B - = Þ + ) ( 因此自然響應 yn 可直接利用初值 y(0) 求出。 5-27

29 5-9 一階電路響應的快速求法 (Fast Solution of First order Circuits )
例 5-12:以本節的方法求解下圖 (例 5-6) 電路之 v(t) 。 24 W 1 3 F + - v 40 V 8 i a b ( ) 解: A. 由例 5-6 已知 A = vf = 30V , t = 2 B. 由 及 v(0) = 15 可得 v(0) = 30 + B = 15 v t A Be ( ) = + - 30 因此 B = 即 v t A Be 15e ( ) = + - 30 2 (V) 5-27

30 5-9 一階電路響應的快速求法 (Fast Solution of First order Circuits )
請以本節之方法解 t > 0 時之 i(t)。 + - 10 W V t = 1 H 5 i A 解: 在 t = 0- 時,電感器形同短路,故 i = I0 = 10 ×   = 5(A) + 5 當開關關上後,其電感器之穩態電流為 if = = 6 (A) 其中 1A 為 10V 電壓源所提供,5A 為 10A 電流源所提供。 又此電路之初值為         i ( ) , 5 1 = A t 由於 i t Be B ( ) , = + - 6 5 1 因此 i t e ( ) = - 6 A 5 5-28

31 5-10 步級函數與步級響應 (The Step Function and The Step Response )
步級函數的數學式 u t K ( ) = < > 1 u t ( ) (a) 其中 K 為常數。 若 K = 1 ,則 u (t) 稱為單位步級函數 (Unit Step Function),一般以 us(t) 表示。 其圖形如圖 (a) 所示, 此函數在 t = 0 時立即由 0 變為 1。 假設我們用 t – t0 來取代步級函數中的 t u t ( ) - 1 (b) 則得到 u t R ( ) , - = < > 其中 R 為常數;此函數的圖形如圖 (b)。 u(t – t0) 為時間向右移位 t0 的 單位步級函數,也可說它延遲了 t0 秒。 5-29

32 5-10 步級函數與步級響應 (The Step Function and The Step Response )
例 5-15:求下圖電路的步級響應 i(t)。 + - 6 u t ( ) V 2 W 1 H i 解: 由 KCL 可得 A. t < 0 時 因此 由於 i(0) = 0,因此 A = 0,即 i(t) = 0。 di dt i + = 2 t Ae ( ) - B. t > 0 時 因此 i t Ae f n ( ) = + - 3 2 di dt 6 由於 i(0) = 0 = 3 + A = 0 , A = -3 因此 i t e ( ) = - 3 1 2 A C. 對所有的 t , i(t) = , t < 0 = 3 – 3e-2t , t > 0 i t e u ( ) = - 3 1 2 A 5-31

33 5-10 步級函數與步級響應 (The Step Function and The Step Response )
例 5-16:求右圖電路之電流響應 i(t)。 + - [ ( ) )] u t 2 V W i 1 H v 解: (利用重疊原理求響應) 假設由電源 u(t) 單獨作用時所造成的電流以 i1(t) 代表,而單獨由電源 –u(t – 2) 作用所造成的電流 以 i2(t) 代表; 則 i(t) = i1(t) + i2(t) + - u t ( ) 2 W i 1 H (b) A. 當 u(t) 單獨作用時,如圖 (b)。 在 t<0 時 因此 di dt i + = 2 t Ae ( ) - 用於 i1(0) = 0,因此 A = 0,即  i1(t) = 0 在 t>0 時 因此 i1 t Ae f n ( ) = + - 0.5 2 di1 dt 用於 i1(0) = A = A = - 0.5 Þ 因此 0.5 (1 – e-2t) (A) , t > 0 i1 t ( ) = + - u t ( ) 2 V W i 1 H (c) B. 當 –u(t – 2) 單獨作用時,如圖 (c)。 因為只有電源的極性及使用的時間不同,所以不需決定自然響應 及激勵響應,於是 i2(t) 之解為 i2 t ( ) = – 0.5 [1 – e-2(t – 2)] , t > 2 重疊原理 i1 t ( ) = 0.5 (1 – e-2t)(A) , 0 < t < 2 i ) + i2 – 0.5 [1 – e-2(t – 2)] (A) , t > 2 0.5 (1 – e-2t) 5-32

34 5-11 總結 本章重要公式及觀念摘錄: 5-33 1. 含有一個儲能元件的電路,例如:RC 電路及 RL 電路,其電路方程式為如下形式
之一階微分方程式, 其中 y(t) 為電感器之電流或電容器之電壓。 欲解上式,須先得知初值 y(0) 之值,即一階微分方程式,須具備一個邊界條件 y(0)。 dy t dt ay f ( ) + = 2. 上式中之 為電路響應之時間常數 τ。 1 a 3. 上式中之解為形式 或   其中 yf 為激勵響應,yn 為自然響應。 y t e f at n ( ) [ ] = + - A Be B 4. 3 式之 yf 為電容器 (電感器) 之穩態電壓 (電流),因此可先觀察電路得知 yf 。  若已知 yf ,則 yn 可直接由 y(0) 求出,因為比較 3 中之二式         知 B = y(0) – A = y(0) – yf  因此可立即求出 B 或 yn = Be –at。 5. 我們所討論的一階電路為線性非時變電路,因此可直接利用重疊定理及時間位移 定理。例 5-11 為應用重疊定理的例子。若此例開關於 t = t0 ( 而非 t = 0) 閉合, 則由時間位移定理其響應為 i(t) = 6 – e–5(t – t0) (A) , t > t0 例如: 若 t0 = 2 秒,則 i(t) = 6 – e–5(t – t0) (A) , t > 2 5-33

35 本章練習 5-10 右圖電路在 t = 0- 時為穩態,求 t > 0 之 v(t)。 答:20e –t V
W . F + - v t ( ) 4 12 20 V = 答:20e –t V 5-14 右圖電路在 t = 0- 時為穩態,求 t > 0 時之 i(t)。 12 W 2 H 8 i t ( ) 64 V = 答:4e –3t A 5-36


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