1 有限与无限的问题

2 高等数学与初等数学的区别？

3 学生的回答： 关于 “ 高等数学与初等数学的区别？ ”  更加全面；  更加深刻；  更加细微；  更加本质；  更加理论化；  更加系统化；  …………

4 高等数学与初等数学的区别？  从 研究 “ 常量 ” 发展到研究 “ 变量 ”  从 研究 “ 有限 ” 发展到研究 “ 无限 ”

5 数学家关于 “ 无限 ” 的论述  外尔（ H.Weyl, ）： “ 数学是关于无限的科学。 ”  康托（ G.Cantor, ）： “ 实数集合是不可数的。 ”

6 一、芝诺悖论 芝诺（前 490 ？ — 前 430 ？）是（南意大利的） 爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明 该学派的学说： “ 多 ” 和 “ 变 ” 是虚幻的，不可分的 “ 一 ” 及 “ 静止的存在 ” 才是唯一真实的；运动只是假 象。于是他设计了四个例证，人称 “ 芝诺悖论 ” 。 这些悖论是从哲学角度提出的。我们从数学角度 看其中的一个悖论。

7 什么是悖论 悖论：从 “ 正确 ” 的前提出发，经过 “ 正确 ” 的逻辑推理，得出荒谬的结论。

8 例如： “ 甲 是 乙 ” 与 “ 甲 不是 乙 ” 这两个命题中总有一个是错的； 但 “ 本句话 是 七个字 ” 与 “ 本句话 不是 七个字 ” 又均是对的，这就是悖论。

9 再如： “ 万物皆数 ” 学说认为 “ 任何数都可 表为整数的比 ” ；但以 1 为边的正方形的对 角线之长却不能表为整数的比，这也是悖 论。

10 1. 四个芝诺悖论之一： 阿基里斯追不上乌龟。

11 2. 症结： 无限段长度的和，可能是有限的； 无限段时间的和，也可能是有限的。 3. 芝诺悖论的意义： 1 ）促进了严格、求证数学的发展 2 ）较早的 “ 反证法 ” 及 “ 无限 ” 的思想 3 ）尖锐地提出离散与连续的矛盾： 空间和时间有没有最小的单位？

12 芝诺的前两个悖论是反对 “ 空间和时间是连续 的 ” ，后两个悖论则是反对 “ 空间和时间是离散的 ” 。 在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所以， “ 运动 只是假象，不动不变才是真实 ” 。 芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐 地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引 起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不 说是巨大的贡献。

13 二、 “ 有无限个房间 ” 的旅馆 1. “ 客满 ” 后又来 1 位客人 （ “ 客满 ” ） ┅ k ┅ ↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ ┅ ┅ k+1 ┅ 空出了 1 号房间

14 2. 客满后又来了一个旅游团，旅游团 中有无穷个客人 ┅ k ┅ ↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ ┅ ┅ 2k ┅ 空下了奇数号房间

15 3. 客满后又来了一万个旅游团，每个团 中都有无穷个客人 ┅ k ┅ ↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ ┅ ┅ 10001×k ┅ 给出了一万个、又一万个的空房间

16 全面、深刻地揭示本质的回答 是容易推广的。

17 2. 客满后又来了一个旅游团，旅游团 中有无穷个客人 ┅ k ┅ ↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ ┅ ┅ 2k ┅ 空下了奇数号房间

18 3. 客满后又来了一万个旅游团，每个团 中都有无穷个客人 ┅ k ┅ ↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ ┅ ┅ 10001×k ┅ 给出了一万个、又一万个的空房间

19 全面、深刻地揭示本质的回答 是容易推广的。  该旅馆客满后又来了 985 个旅游团，每个团中 都有无穷个客人，如何安排？  该旅馆客满后又来了 10 亿个旅游团，每个团 中都有无穷个客人，如何安排？

20 是否有人想提什么问题？

21 4. [ 思 ] 该旅馆客满后又来了无穷个 旅游团，每个团中都有无穷个客人， 还能否安排？

22 三、无限与有限的区别和联系 1. 区别 1 ） 在无限集中， “ 部分可以等于全体 ” （这是无限的本质），而在有限的情况下， 部分总是小于全体。

23 当初的伽利略悖论，就是因为没有看到 “ 无限 ” 的这一个特点而产生的。 … n … ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ … n 2 … [ 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的 元素个数相等；但由 “ 部分小于全体 ” ，又推出 两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。 ]

24  伽利略（ Galileo Galilei ， ），意大利物 理学家、天文学家和 哲学家，近代实验科 学的先驱者。

25 [ 思 ] ：构造一个 “ 部分到整体的一一 对应 ” ：从 [0 ， 1 ） →[0 ， +∞ ）。

26 2. ） “ 有限 ” 时成立的许多命题，对 “ 无限 ” 不 再成立 （ 1 ）实数加法的结合律 在 “ 有限 ” 的情况下，加法结合律 成立 : (a+b)+c = a+(b+c) ， a ， b ， c

27 在 “ 无限 ” 的情况下，加法结合律不再 成立。如

28 有限半群若满足消去律则一定是群。 √ 无限半群若满足消去律则一定是群。 ×

29 （ 2 ）有限级数一定有 “ 和 ” 。 √ 是个确定的数 无穷级数一定有 “ 和 ” 。 × 则不是个确定的数。称为该 级数 “ 发散 ” 。反之称为 “ 收敛 ” 。

30 2. 联系 在 “ 有限 ” 与 “ 无限 ” 间建立联系的手段，往往很重 要。 1 ）数学归纳法 通过有限的步骤，证明了命 题对无限个自然数均成立。 2 ）极限 通过有限的方法，描写无限的过程。 如： ； 自然数 N ，都 ，使 时， 。

31 3 ）无穷级数 通过有限的步骤，求出无限次运算的 结果，如 4 ）递推公式, a 1 = * 5 ）因子链条件 （ “ 抽象代数 ” 中的术语）

32 3. 数学中的无限在生活中的反映 1 ）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的 （整体看又是圆的） 2 ）锉刀锉一个光滑零件： 每一锉锉下去都是直的 （许多刀合在一起的效果又是光滑的）

33 3 ） 不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的 面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。 规则图形的面积 → 不规则图形的面积？ 法Ⅰ. 用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面积 越准

34 法Ⅱ. 首先转化成求曲边梯形的面积，（不规 则图形 → 若干个曲边梯形），再设法求曲边梯形 的面积：划分，求和， 矩形面积之和 近似等于 曲边梯形面积； 越小，就越精确；再取极 限 ，就得到 曲边梯形的面积。

35 四、 潜无限与实无限 1 ．潜无限与实无限简史 潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程， 认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的一 种方式，不是一个实体。

36 从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数学 家都持这种潜无限的观点。他们认为 “ 正整数集是 无限的 ” 来自我们不能穷举所有正整数。例如，可 以想象一个个正整数写在一张张小纸条上，从 1 ， 2 ， 3 ， … 写起，每写一张，就把该纸条装进一个 大袋子里，那么，这一过程将永无终止。 因此，把全体正整数的袋子看作一个实体是不 可能的，它只能存在于人们的思维里。

37 但康托不同意这一观点，他很愿意把这个 装有所有正整数的袋子看作一个完整的实体。 这就是实无限的观点。 康托的工作是划时代的，对现代数学产生了 巨大的影响，但当时，康托的老师克罗内克尔， 却激烈反对康托的观点。所以康托当时的处境 和待遇都不太好。

38  康托 Georg Ferdinand Philip Cantor (1845 ～ 1918) 德国数学家，集合论的创 始者。 1845 年 3 月 3 日生于圣彼得堡（今 苏联列宁格勒）， 1918 年 1 月 6 日病逝于 哈雷。 1862 年 17 岁时入瑞士苏黎世大学, 翌年转入柏林大学, 主修数学，从学于 E.E. 库默尔、 K. （ T.W. ）外尔斯特拉斯和 L. 克 罗内克。 1866 年曾去格丁根学习一学期。 1867 年在库默尔指导下以数论方面的论 文获博士学位。 1869 年在哈雷大学通过 讲师资格考试，后即在该大学任讲师， 1872 年任副教授， 1879 年任教授。

39 2 ．无限集合也有 “ 大小 ” —— 从 “ 一一对应 ” 说起 实无限的观点让我们知道，同样是无限集合，也可能 有不同的 “ 大小 ” 。 正整数集合是最 “ 小 ” 的无限集合。 实数集合比正整数集 “ 大 ” 。实数集合上全体连续函数 的集合又比实数集合更大。 不存在最 “ 大 ” 的无限集合（即对于任何无限集合，都 能找到更 “ 大 ” 的无限集合）。

40 这需要 “ 一一对应 ” 的观点。 1 ） “ 一一对应 ”—— 双射（单射 + 满射） 2 ）集合的势 |A|—— 集合中元素的多少 3 ） |N| = 可数无穷势 a ， |Q|= a 4 ） |R| = 不可数无穷（称连续统势 c ）, ：无理数比有理数多得多。

41 5 ）无穷集合可能有不同的势，其中最小的势 是 a ；不存在最大的势。 6 ） “ 连续统假设 ” 长期未彻底解决 “ 连续统假设 ” ：可数无穷 a 是无限集中最小的势， 连续统势 c 是（否？）次小的势。 ？

42 康托 1882 年曾认为他证明了这一假 设，后来发现证明有错。 直到现在，这一问题仍吸引着一些数学家 的兴趣。

43 五．哲学中的无限 1 ．哲学对 “ 无限 ” 的兴趣 哲学是研究整个世界的科学。自从提出 “ 无限 ” 的概念，就引起了哲学家广泛的关注和研究。现 在我们知道哲学中有下边一些命题：

44 物质是无限的；时间与空间是无限的； 物质的运动形式是无限的。 一个人的生命是有限的；一个人对 客观世界的认识是有限的。

45 2 ．数学对 “ 无限 ” 的兴趣 数学则更严密地研究有限与无限的关系，大大提高 了人类认识无限的能力。在有限环境中生存的有限的人 类，获得把握无限的能力和技巧，那是人类的智慧；在 获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，那是人类 的情感；对无限的认识成果，则是人类智慧与热情的共 同结晶。一个人，若把自己的智慧与热情融入数学学习 和数学研究之中，就会产生一种特别的感受。如果这样， 数学的学习不仅不是难事，而且会充满乐趣。

46 思考题解答

47 [ 思 ] 有无穷个房间的旅馆，客满后 又来了无穷个旅游团，每个团中都有 无穷个客人，还能否安排？

48 答 ：能。 法 I. 将所有旅游团的客人统一编号排成下表，按箭头进 入 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， … 各号房间顺序入住，则所有人都 有房间住。 一团： 1.1 → …… ↙ ↙ ↙ 二团： …… ↙ 三团： …… ……………………………………

49  [ 思 ] ： 构造一个 “ 全体有理数集合 ” 与 “ 全体自然数集合 ” 的 一一对应。

50 法 II. 让每个旅游团占据某固定素数的方幂 由于素数有无穷多个，正整数又 “ 唯一析因 ” ， 知，能安排住下，且还有空房， 一团 … … 二团 … … 三团 … … … … … … … … … … … … 附：证明 “ 素数有无穷多个 ” （反证法）

51 [ 抢答题 ] 构造一个无穷多个运动员百 米赛跑，但结果没有第一名的例子。（要 求表达出每一个运动员的百米成绩，且要 求接近实际：不能跑进 9 秒）

52 解答 运动员 1234… 百米成绩 10 秒 9.9 秒 9.89 秒 秒 … 另解 …

53 [ 思 ] ：构造一个 “ 部分到整体的一一 对应 ” ：从 [0 ， 1 ） →[0 ， +∞ ）。

54 答 ： 即

55 的图像

56 本节结束 谢谢！