1 4.5 高斯求积公式

一般理论 求积公式 含有 个待定参数 当 为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少 为 次. 如果适当选取 有可能使求积公式 具有 次代数精度，这类求积公式称为高斯 (Gauss) 求积公式.

3 为具有一般性，研究带权积分 这里 为权函数， 类似 (1.3) ，求积公式为 （ 5.1 ） 为不依赖于 的求积系数. 使（ 5.1 ）具有 次代数精度. 为求积节点， 可适当选取 定义 4 如果求积公式 (5.1) 具有 次代数精度， 则称其节点 为高斯点，相应公式 (5.1) 称为高斯求 积公式.

4 根据定义要使 (5.1) 具有 次代数精度，只要对 （ 5.2 ） 当给定权函数 ，求出右端积分，则可由 (5.2) 解得 令 (5.1) 精确成立， 即

5 例 5 （ 5.3 ） 解 令公式 (5.3) 对于 准确成立， 试构造下列积分的高斯求积公式： 得 （ 5.4 ）

6 由于 利用 (5.4) 的第 1 式，可将第 2 式化为 同样地，利用第 2 式化第 3 式，利用第 3 式化第 4 式，分别得 从上面三个式子消去 有

7 进一步整理得 由此解出 从而

8 这样，形如 (5.3) 的高斯公式是 由于非线性方程组 (5.2) 较复杂，通常 就很难求解. 故一般不通过解方程 (5.2) 求 ， 而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式.

9 定理 5 是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式 与任何次数不超过 的多项式 带权 正交， （ 5.5 ） 证明 即 插值型求积公式 (5.1) 的节点 必要性. 设 则

10 是高斯点， 因此，如果 精确成立， 因 即有 故 (5.5) 成立. 则求积公式 (5.1) 对于 充分性. 用 除 ， 记商为 ， 余式为 ， 即, 其中. 对于 由 (5.5) 可得 （ 5.6 ）

11 由于求积公式 (5.1) 是插值型的，它对于 是精确的， 即 再注意到 知 从而由 (5.6) 有

12 可见求积公式 (5.1) 对一切次数不超过 的多项式均精 确成立. 因此， 为高斯点. 定理表明在 上带权 的 次正交多项式的 零点就是求积公式 (5.1) 的高斯点. 有了求积节点 ，再利用 对 成立， 的线性方程. 解此方程则得 则得到一组关于求积系数

13 下面讨论高斯求积公式 (5.1) 的余项. 利用 在节点 的埃尔米特插值 于是 也可直接由 的插值多项式求出求积系数 即

14 两端乘 ，并由 到 积分，则得 （ 5.7 ） 其中右端第一项积分对 次多项式精确成立，故 由于 （ 5.8 ） 由积分中值定理得 (5.1) 的余项为 关于高斯求积公式的稳定性与收敛性，有：

15 定理 6 证明 它是 次多项式， 因而 是 次多项式， 注意到 高斯求积公式 (5.1) 的求积系数 全是正的. 考察 故高斯求积 公式 (5.1) 对于它能准确成立，即有 上式右端实际上即等于 从而有

16 由本定理及定理 2 ，则得 推论 定理 7 定理得证. 高斯求积公式 (5.1) 是稳定的. 设 即 则高斯求积公式 (5.1) 收敛，

高斯 - 勒让德求积公式 在高斯求积公式 (5.1) 中， 由于勒让德多项式是区间 上的正交多项式，因此， 勒让德多项式 的零点就是求积公式 (5.9) 的高斯点. 形如 (5.9) 的高斯公式称为高斯 - 勒让德求积公式. 区间为 则得公式 若取权函数 （ 5.9 ）

18 令它对 准确成立，即可定出 这样构造出的一点高斯 - 勒让德求积公式为 是中矩形公式. 若取 的零点 做节点构造求积公式 再取 的两个零点 构造求积公式

19 令它对 都准确成立，有 由此解出 三点高斯 - 勒让德公式的形式是 表 4-7 列出高斯 - 勒让德求积公式 (5.9) 的节点和系数. 从而得到两点高斯 - 勒让德求积公式

20

21 由 (5.8) 式， 这里 是最高项系数为 1 的勒让德多项式. 由第 3 章 (2.6) 及 (2.7) 公式 (5.9) 的余项

22 得 （ 5.10 ） 当 时，有 它比区间 上辛普森公式的余项 还小，且比辛普森公式少算一个函数值. 当积分区间不是 ，而是一般的区间 时， 只要做变换

23 可将 化为, （ 5.10 ） 对等式右端的积分即可使用高斯 - 勒让德求积公式. 这时

24 例 6 用 4 点 ( ) 的高斯 - 勒让德求积公式计算 解 先将区间 化为 ， 根据表 4-7 中 的节点及系数值可求得 由 (5.11) 有

高斯 - 切比雪夫求积公式 若 且取权函数 则所建立的高斯公式为 （ 5.12 ） 称为高斯 - 切比雪夫求积公式.

26 由于区间 上关于权函数 的正交多项式是 切比雪夫多项式， 因此求积公式 (5.12) 的高斯点是 次 切比雪夫多项式的零点，即为 (5.12) 的系数 使用时将 个节点公式改为 个节点， （ 5.13 ） 于是高斯 - 切比雪夫求积公式写成

27 由 (5.9) ，余项 带权的高斯求积公式可用于计算奇异积分. （ 5.14 ）

28 例 7 用 5 点 ( ) 的高斯 - 切比雪夫求积公式计算积分 解 当 时由公式 (5.13) 由 (5.14) 式，误差 这里 可得

数 值 微 分 数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的 导数值.

中点方法与误差分析 按导数定义可以简单地用差商近似导数，这样立即得 到几种数值微分公式 其中 为一增量，称为步长. （ 6.1 ）

31 后一种数值微分方法称为中点方法，它其实是前两种 方法的算术平均. 但它的误差阶却由 提高到 较为常用的是中点公式. 为利用中点公式 计算导数的近似值，首先必须选取合适的步长，为此需要 进行误差分析. 分别将 在 处做泰勒展开有

32 代入中点公式得 从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确. 其中 且 （ 6.2 ）

33 再考察舍入误差. 按中点公式，当 很小时，因 与 很接 近，直接相减会造成有效数字的严重损失. 因此，从舍入误差的角度来看，步长是不宜太小的. 例如，用中点公式求 在 处的一阶导数 取 4 位数字计算. 结果见表 4-8( 导数的准确值 ).

34 从表 4-8 中看到 的逼近效果最好，如果进一步 缩小步长，则逼近效果反而越差. 则计算 的舍入误差上界为 这是因为当 及 分别有差入误差 及 若令

35 它表明 越小，舍入误差 越大，故它是病态的. 用中点公式 (6.1) 计算 的误差上界为 要使误差 最小，步长 不宜太大，也不宜太小. 其最优步长应为

插值型的求导公式 对于列表函数 运用插值原理，可以建立插值多项式 作为它的近似. 由于多项式的求导比较容易，我们取 的值作为 的近似值，这样建立的数值公式 （ 6.3 ） 统称插值型的求导公式.

37 即使 与 的值相差不多， 与导数的真值 仍然可能差别很大. 导数的近似值 因而在使用求导公式 (6.3) 时应特别注意误差的分析. 依据插值余项定理，求导公式 (6.3) 的余项为 式中

38 但如果限定求某个节点 上的导数值，那么第二项中 由于 是 的未知函数，所以对随意给出的点 ， 误差是无法预估的. 因式 变为零，这时余项公式为 （ 6.4 ） 下面仅考察节点处的导数值并假定所给节点是等距的.

39 1. 两点公式 设已给出两个节点 上的函数值 对上式两端求导，记 ，有 做线性插值 于是有下列求导公式：

40 利用余项公式 (6.4) 知，带余项的两点公式是

41 2. 三点公式 设已给出三个节点 上的函数值， 做二次插值 令 上式可表示为

42 两端对 求导，有 （ 6.5 ） 式中撇号（ ′ ）表示对变量 求导数.

43 分别取 得到三种三点公式： 带余项的三点求导公式为 （ 6.6 ）

44 其中的公式 (6.6) 是中点公式. 它比其余两个三点公式少用 了一个函数值. 用插值多项式 作为 的近似函数，还可以建立 高阶数值微分公式： 例如，将式 (6.5) 再对 求导一次，有

45 于是有 而带余项的二阶三点公式如下： （ 6.7 ）

利用数值积分求导 微分是积分的逆运算，因此可利用数值积分的方法来 计算数值微分. 设 是一个充分光滑的函数， （ 6.8 ） 对上式右边积分采用不同的求积公式就可得到不同的数值 微分公式. 则有

47 例如，用中矩形公式 (1.2) ，则得 从而得到中点微分公式 若对 (6.8) 右端积分用辛普森求积公式，则有

48 略去上式余项，并记 的近似值为 则得到 辛普森数值微分公式 这是关于 的 个方程组， 已知， （ 6.9 ） 若 则可得

49 这是关于 的三对角方程组，且系数矩阵为严格 对角占优的，可用追赶法求解 ( 见第 5 章 5.4 节 ). 如果端点导数值不知道，那么对 (6.9) 中第 1 个和第 个方程可分别用 及 的中点微分公式近似， 然后求 即为 的近似值. 即取

50 例 8 给定 的一张数据表 ( 表 4-9 左部 ) ， 并给定 及 的值 ( 见表 4-9). 解 解之得 利用辛普森数值微分公式求 在 上的一阶导数. 结果见表 4-9. 根据 (6.9) 有

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三次样条求导 三次样条函数 与 ，不但函数值很接近，而且 导数值也很接近，并有 （ 6.10 ） 因此利用三次样条函数 接得到 根据第 2 章 (7.8) ， (7.9) 可求得

53 这里 为一阶均差. 其误差由 (6.10) 可得

数值微分的外推算法 利用中点公式计算导数值时 对 在点 做泰勒级数展开有 其中 与 无关. 利用理查森外推对 逐次分半， 则有 若记

55 （ 6.11 ） 公式 (6.11) 的计算过程见表 4-10 ，表中数字为外推步数.

56 根据理查森外推方法， (6.11) 的误差为 由此看出当 较大时，计算是很精确的. 例 9 解 当 时，由外推法表 4-10 可算得 考虑到舍入误差，一般 不能取太大. 用外推法计算 在 的导数. 令

57 的精确值为 可见当 时用中点 微分公式只有 3 位有效数字，外推一次达到 5 位有效数字， 外推两次达到 9 位有效数字.