第 2 章 数据表示及逻辑基础

Overview  数制  数、码  编码与文本  多媒体数据  逻辑基础

概述  计算就需要数 计算机中的数的表示是一个基础性的问题 表示各种现实世界对象的 “ 数据 ” ， So 数的表示也延伸到了数据的表示  不同应用需要的数据类型有不同 计算 表示实体对象  统一的数据表示方法 基本形态是二进制

2.2 数制  Number System “ 计数（或记数）体制 ” 多位数中每一位的构成方法以及实现从低位 到高位的进位规则，也叫做进制  数学家们研究数制的规则和规律  计算机科学中 将数制规则和规律通过电路实现  常用进制 二、十、八、十六

数制 常用进制  R 进制 R 个数码，数码从 0 到 R-1 数：每位数码和该位的权系数的乘积 权系数也叫做幂次或叫做权重（ Power Weight ）  逢 R 进 1 计数规则  十进制 Decimal System 0 ～ 9 ，逢十进一

二进制  Binary System 位 ( 比特， bit ）是计算机处理的最小单位 0 和 1 两个数码，被组合成各种序列以适应计算机的运算 和处理的数据类型 选择二进制的一个最简单也是最实际的理由是它容易被 物理器件实现  二进制起源于中国 —— 八卦  多项式表示一个二进制数： = 1×2 7 +0×2 6 +1×2 5 +0×2 4 +1×2 3 +1×2 2 +0×2 1 +1×2 0

八进制 and 十六进制  Octal System 八个数码： 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 8 = 2 3 一位八进制对应于三位二进制  Hexadecimal System 16 个数码： 0  9 ， A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 字节（ Byte ， 8 个二进制位） = 两位十六进制 16 = 2 4 ： 4 位二进制和 1 位十六进制对应

二进制的基本运算  二进制加法 = = = = 10Here Carry  二进制乘法 0  0 = 0 0  1 = 0 1  0 = 0 1  1 = 1

二进制和十进制转换  1 ．二进制转换为十进制 被转换的二进制数按幂次展开，然后相加 = 1       2 -2 = =  2. 十进制转换为二进制 整数 小数

十进制整数转换为二进制数 =

十进制小数转换为二进制

二进制与八进制转换  二进制与八进制存在对应的幂次关系  Binary  Octol  =

二进制、十六进数转换  16=2 4  =0B  See Table 2-1

2.4 计算机中的数  正负：符号位， 0 表示正数， 1 表示负数 真值 机器数  运算的数定义： 原码（ Original Code ） 反码（ One’s Complement ） 补码（ Two’s Complement ） 不同的运算使用不同的码和不同的运算方法 设计运算器

原码  原码即上述的机器数 —— n 位二进制数，最高位被设置为符号位，其后 的 n-1 位表示真值。  原码的特点 简单 直观  用原码可以比较方便地进行乘法运算： 尾数相乘 符号位简单相加法就可以得到乘积

反码  反码的定义是：一个正数的反码就是它的 机器数，负数的反码其最高位（符号位） 为 1 ，其余各位按位求反 例如， 反码为 反码为  反码和原数相加：结果为所有位都是 1 对 1 互补 专业术语： One’s Complement

补码  补码的定义是：正数的补码等于它的原码， 负数的补码等于它的反码加 1 （最低位加 1 ，进位不改变符号位） 例如， 的补码为 的补码为  补码一个有意思的特性是：补码的补码将 还原为原码  专业术语：对 2 求补 (Two’s Complement)  补码用于减法运算

定点数和浮点数  数的表示 —— 两种格式：定点数和浮点数  计算机中保存数 二进制 固定长度 定点数： 16 位或 32 位 小数点固定在某一个位置 定点纯小数、定点纯整数  浮点数 —— 小数点位置是浮动的

定点数  定点纯小数格式  定点纯整数格式

浮点数  思想来源于科学计数法（指数） 容许的数值范围大，处理硬件复杂  浮点数分阶码和尾数 阶码：小数点位置 —— 带符号的整数 —— 类 似于数学中数的指数部分 尾数表示数的有效数值：纯整数或纯小数

2.5 编码和文本  数还有另外一种功用：码（ Code ）  编码的目的是为了便于标记特定的对象  设计编码时需要按照一定的规则 ——“ 码 制（ Code System ） ”  重要概念 位模式 常用编码： ASCII 、汉字编码、多媒体数据

位模式  用于计算的数：用二进制位的多位组合表示定 点数、浮点数  更多的数据类型，就需要有更多的二进制位的 组合规则 —— 位模式  bit pattern 用 0 和 1 组成的二进制位序列及其规则 是一种数据表示方法 要由计算机程序去理解它们  位模式要求： 用户、程序设计者按某种规则形成、存储和处理数据 位模式的二进制位序列长度取决于被编码对象的数量

文本和文档  文本（ Text ） —— 编码来表示 文本中的每一个符号包括字母、标点，都以 一个唯一的二进制位序列表示 在计算机中，文本就是位模式的二进制数据 长串  基础的文本编码就是 ASCII American Standard Code for Information Interchange 基于 English  文本编码是计算机进行数据交换的基础

ASCII 码  ANSI 制定，后为 ISO 646 适用于英文，两种形式： 7 位码和 8 位码  7 位二进制 ASCII 码 单字节字符编码方案，基本的文本数据  8 位码是扩展 ASCII 码， See Appendix A

Unicode 编码  通用多文种字符集 表示几乎世界上所有书写语言的字符编码 标准 —— 统一码、单一码、万国码 可支持超过百万个字符的编码  Unicode 编码 国际标准 ISO ISO 采用的是 32 位模式 用于世界范围各种语言文字的文本形式的字 符集，也收集了汉字

汉字编码  汉字编码的目的是为了计算机能够处理、显示、 打印、交换汉字字符  国家汉字编码标准 GB 简化汉字 6763 个， 7445 个字符 港澳台地区使用繁体汉字 BIG5 码  1995 年的 GBK 扩展汉字编码标准 GB 的扩展 收录了 2.1 万多个汉字 GBK 支持 ISO 中的全部中、日、韩汉字  2001 年 GB18030——GBK 的升级 160 万码位，目前汉字约为 2.6 万个

2.6 多媒体数据  多媒体 文本， 图形、音频、视频等 多种数据表现形式，并使之在逻辑上建立联系  今天 计算机和网络都支持多媒体数据处理 相比文本 ……

图形和图像  图形（ Graphics ） —— 几何线条、几何符 号等形式表示物体的轮廓  在数据表达上 图形和图像也被认为是同类 例如， Windows 的 “ 画笔 ” 程序，既可以画几何 图形，也可以对图形着色使之成为图像 （ Picture ， Image ） 两种技术：位图和矢量图

位图技术  微软公司提出的 又称光栅图（ Raster Graphics ） 使用像素（ Pixel ）阵列，每一个像素是一个点 （ Dot ），点数据的大小取决于分辨率 位模式有 1 、 4 、 8 、 16 、 24 及 32 位等  灰度图像 —— 每一个像素需要更多的二进制位  彩色图形、图像 ——RGB

矢量图技术  任何图像、图形 可以分解为曲线和直线的组合 直线和曲线度都可以使用数学公式表示 直线、曲线公式的组合作为图形数据存储起 来，  需要显示或者打印图形图像数据时 画图的公式被重新执行 并根据给定的大小画出（重现）图形图像 矢量图看上去更加平滑，不会产生纹波误差

音频  音频（ Audio ）包含了 声音（ Voice ）和 音乐（ Music ）  计算机音频就是研究在计算机中表示和处 理声音与音乐数据，目前没有 “ 数字音频 标准 ”

视频  视频（ Video ）是图像的动态过程 一幅幅（ Frame ）图像数据连续播放，就 成为了动态图像 也是一种位模式数据 压缩处理后存储，播放时需要解压  MPEG 制定的一系列视频编码和压缩标准 音频 / 视频的 MPEG-1 到 MPEG-4 MPEG 是 ISO 指定的标准研究组织，它的最新 工作是 MPEG-21

2.7 逻辑运算和门电路  用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科 数理逻辑，也叫做符号逻辑 英国数学家布尔 —— 建立了布尔代数 ( 逻辑代数 )—— 计 算机重要的科学基础  逻辑关系可以被解释为因果关系 “ 因 ” 是条件 条件之间的关系用逻辑连接词进行组合 根据不同的条件得到 “ 结果 ”  逻辑运算对应的实现电路，叫做门电路  基本逻辑 ( 运算 ) 关系 与（ AND ），或（ OR ），非（ NOT ）

逻辑关系 与  只有决定结果的条件全 部满足，结果才成立， 这种逻辑关系叫做逻辑 与  表示 A AND B A ● B AB  把变量和逻辑关系的取 值列表，就得出了真值 表（ True Table ） ABAB

逻辑或  决定结果的条件中只 要任何一个满足，结 果就成立。这种逻辑 关系叫做逻辑或  表示 A OR B A+B  表 2-3 逻辑或真值表 ABA+B

逻辑非  。最简单的描述 就是结果对条件 的 “ 否定 ”  表示 Not A  逻辑非的真值表 10 01A A

逻辑代数  通过代数学的方法研究逻辑关系，通过变换、 简化或组合等方法进行逻辑设计  逻辑表达式 A + A·B A + AB  逻辑函数 F = f （ A ， B ， C ， … ）  AB=A+B 反演定律  A+BC ＝ (A+B)(A+C) 分配律  A+AB=A+B 吸收律

门电路  实现基本逻辑关系的电 路是逻辑电路中的单元 电路 ——Gate  基本的门电路有： 与门 或门 非门 异或门  门电路的基本特点

基本门电路  用基本门电路可以组合成多种复合门电路 （ a ）与门 F=AB （ b ）或门 F = A+B （ c ）非门 F =

与非门ABF

ABF 或非门

异或门

2.8 逻辑设计基础  逻辑设计 —— 根据问题，由真值表得到逻辑表达式 根据逻辑定律进行必要的化简、变换，设计 出最优的逻辑表达式 用逻辑电路实现  逻辑分析 与设计相反 由电路得到功能

设计加法器  用逻辑电路实现加 法运算的电路叫做 加法器（ Adder ） 设 A 、 B 分别为一位 二进制数 S 为 A 与 B 之和， C 为 A 加 B 产生的进位  加法的真值表  表达式 AB S C

半加器 / 全加器  半加器 只考虑加数和被加数之间的加法运算，并产生了 向高位的进位 —— 没有考虑可能来自低位的进位， 所以它并没有完成一位二进制的全部运算，半加 器的意思是它只完成了一半的加法运算  全加器 不但要考虑本位产生的进位，还要考虑来自 低位的进位

全加器全加器 输入输出 C i-1 AiAiAiAi BiBiBiBi SiSiSiSi CiCiCiCi

全加器电路

四位加法器电路逻辑示意图

存储单元电路 图 2-14 门电路组成存储单元原理示意图

集成电路 IC  IC 按电路内门电路的数目来划分其规模 小规模 IC （ SSIC ， Small Scale IC ）大约有 10 个门 电路。 超过 100 个门电路 —— 中规模集成电路（ MSIC ， Middle Scale IC ） 大规模 IC （ LSIC ， Large Scale IC ）集成的门电路 要超过 1000 个以上 超大规模 IC （ VLSIC ， Very Large Scale IC ）  超大规模集成电路的集成度已经超过了千万