目標導向以及批判式思維數學教學方法 台中女子高級中學 2013. 3. 13

許瑞麟 學經歷: 台北市立建國高級中學 國立清華大學數學系學士 美國北卡羅萊納州立大學博士 美國紐澤西州AT&T貝爾實驗室研究員 國立成功大學數學系暨應用數學研究所教授

許瑞麟 國科會雲嘉南資賦優異高中生培育計畫共同主持人 地方/全國/國際科展評審委員 台南一中科學班計畫協同主持人/大學端導師 大考中心試題評鑑委員 教育部公費留學考試委員 3

演講摘要 傳統數學教學方法是序列式的. 先講數, 再講函數, 然後三角函數, 指數對數, 空間向量等依序進行. 99課綱僅是將一些應用性的題材先教, 基本上還是序列式的. 多年來沒人質疑這些順序的合理性. 也沒有證據指出這些是好的序列. 大家多半就是教(學)習慣了. 4

演講摘要 我在高中端演講多年的觀察發現, 學生縱使因此學到數學的結構與邏輯, 卻對所學到的學問沒有感覺. 縱使學到數學的框架與技巧, 對於駕馭數學的能力還是相當薄弱. 換句話說, 這樣的數學教育, 並沒有在學生心中著根! 5

演講摘要 本演講提出一套以目標導向的數學教學方法, 用一個又一個的明確主題為討論主軸, 比如計算效能, 節能減碳, 核能等等. 讓學生從使用數學去學數學, 將``學’’ 和 ``用’’結合. 跟傳統先學數學, 日後再找機會應用數學的思維, 截然不同. 6

演講摘要 而且, 每一主題, 都一定要講出一個核心價值, 並且以批判性思維加以檢視. 而這是科學的最基本的精神! 我們的目標是一套全新有創見的數學教學教材與教學方法. 我們期望全面提升台灣下一代的數學素養與競爭力. 本計畫特別感謝國立成功大學文教基金會支持贊助. 7

前言 8

國內數學教學, 基本上是以數學結構內涵做序列式串接. 中學如此, 大學也如此! 先講數(依序包含自然數, 整數,有理數, 實數), 然後是各式基本函數(線性函數, 多項式函數, 指對數, 三角函數). 接下去就是空間座標, 向量, 曲線與曲面. 排列組合, 機率統計則主觀隨意安插. 學生在這一系列的學習過程, 高中要學3年, 大學雖引進微積分以及代數與解析等高等工具與觀點, 但是基本上同樣題材還要再學 2 - 3 年.

在這一段漫長的學習過程中, 學生主要學習到的是數學知識, 數學結構, 數學語言, 邏輯推理, 解題技巧. 少數學生或能從中體會數學的美, 獲得抽象的形式訓練. 但是對於數字的感受力(比如感知到百萬分之一到底多小, 或者是10的15次方到底有多大, 要多大的樣本才叫大樣本等等), 對於數學應用端的價值體現(比如在計算機的應用, 內積的應用, GPS以及現代測量上的應用), 卻談得太少太晚.

甚至對於數學內部知識的批判性思維(比如為何負負得正, 比如數學歸納法的形式地位, 數學哲學思維, 各式定義的合理性質疑等等) 都付諸厥如. 更別提數學與人文, 藝術, 歷史, 社會意義相結合這樣的跨界思維更是從來不在台灣數學教育的考量範圍內.

台灣在數學知識與技能的平均水平, 和世界各國相較的確具有相對優勢. 這種優勢的建立, 或有部分是得利於這一套的教學方式. 但是, 不可否認, 學生在升學壓力下的大量練習, 可能才是這種相對優勢的主因. 而且, 純技術式的訓練, 學生的數學視野無疑是狹隘與淺薄的.

序列式的教法, 雖然有邏輯連貫的優勢, 但是單線作業的型態, 知識傳播效率極差, 無法讓學生以全面性的思維來學習. 以今天科技水平的爆發速度, 序列式教法在傳播知識的速度與效能上, 完全無法趕上現今科技的進程. 因此, 與其他各科學領域相較, 數學雖然愈顯重要, 但是卻弔詭地面對日益邊緣化的危機.

加減乘除四則運算

這一類的題目, 大部分的學生都曾有計算錯誤的經驗. 會算但是算錯, 是一件相當可惜的事! 但是卻很少學生去正視這個問題. 給定兩個正整數, 比如, a=6838, b=764. 計算 a+b, a-b, axb, a/b. 這一類的題目, 大部分的學生都曾有計算錯誤的經驗. 會算但是算錯, 是一件相當可惜的事! 但是卻很少學生去正視這個問題. 15

我們可以讓學生去查資料, 或上網去 google, 很快就可以發現加減乘除四則運算, 除了國小教過的直式運算外, 從古到今有非常多不同算法. 還不包括中國傳統的珠算. 因此, 可以以計算能力做主題, 教高中生如何以科學的方式去分析各種不同加減乘除計算方法的優缺點. 16

a=838, b=964 的四則運算 這個題目是多位數 (multiple digits)的四則運算, 是靠一系列的單位數 (single digit)計算來完成. 比如, 計算 a+b 主要是執行 8+4, 3+6 和 8+9 三次單位數加法. 會犯錯多半是 8+4 和 8+9 進位後, 另外產生 寫2進1 和 寫7進1 的 隱形的加法, 以心算來執行.

加法運算分析 因此, 如果妳用以下的算式, 就相對不容易犯錯.

  1 2

  1 2 9

  1 2 1 7 9

  1 2 1 7 9 2

  1 1 2 1 7 9 2

  1 1 2 1 7 9 8 2

  1 1 2 1 7 9 1 8 2 以上, 直式加法總共使用3次單位數加法, 以及產生2次進位加法

加法運算量分析 一個 n 位數加上一個 n 位數, 至多需要執行 2n 次的(單位數計算). 其中 n 次是一定要做的加法, 外含最多 n 次的進位加法. 27

直式乘法運算量分析 一個 n 位數乘上一個 n 位數, 例如: 476 * 327, 至多需要執行 次的(單位數計算). 28

  4 2

  4 2 4 9

  4 2 4 9 2 8

  4 2 4 9 2 8

  4 2 4 9 2 8 2

  1 4 2 4 9 2 8 3 2

  1 4 2 1 4 9 2 8 3 3 2

  1 4 2 1 4 9 2 8 3 3 3 2

n位數乘上1位數, 總共使用n次乘法, (n-1)次加法, 並產生(n-1)次進位加法, 共 3n-2 次單位數運算.   1 4 2 1 4 9 2 8 3 3 3 2 n位數乘上1位數, 總共使用n次乘法, (n-1)次加法, 並產生(n-1)次進位加法, 共 3n-2 次單位數運算.

476 * 367 之十位數和百位數之直式乘法分解. 各須要不超過 3n-2 次單位數運算. 統算至此, 已使用(至多) 運算.     3 6 1 8 4 2 2 1 2 4 1 2 2 8 5 6 1 4 2 8 476 * 367 之十位數和百位數之直式乘法分解. 各須要不超過 3n-2 次單位數運算. 統算至此, 已使用(至多) 運算.

  3 3 3 2

  3 3 3 2 2 8 5 6

  3 3 3 2 2 8 5 6

  3 3 3 2 2 8 5 6 3 1 8 9 2 476*7 + 476*60 實際上只有中間位數的 333 和 856 相加. 之前提過, 兩個 n 位數相加, 包含其衍生出來的進位, 總共要 2n 次(最多)運算.

  1 3 3 3 2 2 8 5 6 3 1 8 9 2 1 4 2 8 1 7 4 6 9 2 31892+1428 實際上只執行 318 + 428

直式乘法運算量分析 一個 n 位數乘上一個 n 位數, 分解成 (i) n 位數乘上 1 位數: 每次運算量 3n-2, 共 n 次 至多 (ii) 乘完以後相加: (n-1) 次的 (n 位數+n 位數) 共: (n-1)*(2n) = (i) 及 (ii)合併至多共需要執行 次的(單位數計算). 46

直式加法和直式乘法運算量比較

連加法運算分析 既然加法的運算量(一次式)比上乘法(二次式)少那麼多, 那麼像是 476 * 367 可以用 476+476+476+ …+476 連加 366 次來算會比較快嗎? (我們稱這種方法為 連加法)

連加法運算分析 49

電腦的確非常快. 但是, 計算的效率, 絕大部分 是決定於所使用的方法, 而不在於使用多先進 的科技! 50 數字再稍大一些的話, 妳都可以贏過超級電腦! 電腦的確非常快. 但是, 計算的效率, 絕大部分 是決定於所使用的方法, 而不在於使用多先進 的科技!

連加法和直式乘法運算量比較

指數函數的圖形 52

e=2.718… 指數函數的成長有多快? 在x軸上距離原點50cm處, 亦即x=50, 其y軸 的對應高度在 冥王星 Pluto (The God of underworld)距離地 球亦僅只有 換言之, 以現今人類的太空科技, 是沒有辦法 畫出指數函數在 x > 50 cm 之後的指數函數 圖形. 53

近百年的氣溫變化（觀測） 54

目前最快的乘法算法 兩個 n 位整數相乘, 目前已知最快的算法需要 的計算量是 . 最慢也要 order n. 55 兩個 n 位整數相乘, 目前已知最快的算法需要 的計算量是 . 最慢也要 order n. 這個要利用到 Fast Fourier Transform 才算得出 來的. 要在高中端教快速傅立葉轉換並非不可能. 我 們可以不教理論, 但是好好挑選例子, 就可以看 出最核心的概念是隸美孚定理和同餘概念.

目標導向式教學法 我把這樣的教學法稱為目標導向式. 目標是讓學生分析四則運算的計算本質, 從根 本去發現計算錯誤的原因. 56 我把這樣的教學法稱為目標導向式. 目標是讓學生分析四則運算的計算本質, 從根 本去發現計算錯誤的原因. 然而, 從專注這個主題會跟著衍生出很多很有 意思的事情, 是傳統序列式教法所達不到的.

目標導向式教學法的特點 第一個特點是可以直接處理切身的例子. 57 第一個特點是可以直接處理切身的例子. 因為每個人都有計算錯誤的經驗, 卻沒料到這 個經驗和學過的數學有如此密切的關連. 目前序列式教學由於缺乏明確對應的應用目標, 所舉的例子相當的偏重數學技巧訓練, 無法讓 學習者引起共鳴.

目標導向式教學法的特點 第二個特點是可以提供``預先使用經驗''. 58 第二個特點是可以提供``預先使用經驗''. 高一剛入學的學生, 就算還沒有在序列式的學習 上, 學到指數與對數等知識. 透過這個切身的例 子, 已經預先體驗到指對數函數的重要用途. 甚 至已經有一些複數的初步概念. 到真正學到時, 已經有了相當明確的使用經驗在 先, 自然會容易上手.

目標導向式教學法的特點 第三個特點是學生可以學到重要的科學概念和 結果. 59 第三個特點是學生可以學到重要的科學概念和 結果. 科學概念: 計算的效率, 絕大部分是決定於所使 用的方法, 而不在於使用多先進的科技. 科學結果: 得知目前最快的乘法計算速度.

目標導向式教學法的特點 第四個特點是知識進程和傳播速度極快! 60 第四個特點是知識進程和傳播速度極快! 計算複雜度分析和快速傅立葉轉換都是資工系 或數學系研究所以上的課程才會教到. 而且多半 是以抽象的計算理論呈現. 學生如果在高中端預先習得這些重要例子, 將使 大學抽象教學得到一定程度的支撐.

斜率與能源 61

日常生活中的斜率概念 選擇題一題5分(t=題, y=分), 時速100公里(t=小時, y=公里), 彈簧彈性係數3(N/m)(t=公尺, y=牛頓), 比熱4200 J/K (t=溫度K, y=焦耳), 液態氫密度 0.068 g/cm^3 (t=體積, y=公克), 年利率 2% (t=本金1元, y=利息2分錢) 等等. 這些都是兩個量比值, 都是每一單位 t 所對應的 y 變化量, 都是斜率的概念.

斜率與能源 液態氫密度 0.068 g/cm^3. 一輛搭載45公升油箱的小汽車共可以(總量) 加入 0.068 * 45000 = 3400 g 的液態氫. 汽油的密度是 0.72 g/cm^3. 因此, 同體積的油箱可以裝入比氫重 10.6倍的汽油.

氫燃料是理想但不切實際的能源 但是, 汽油所含的單位質量熱值只有氫的 40% (這是氫燃料吸引人的地方, 而且氫燃燒只會生成水). 10.6*0.4=4.24 意味著一缸的汽油所含的熱值總量仍然有一缸液態氫的 4.24倍. 一輛搭載45公升油箱, 油耗 15Km/L的小汽車可以台北台南來回跑一趟還綽綽有餘. 但是改加氫, 開不到台中就得補充燃料. 氫燃料的不切實際是源自於氫的超低密度(超小的斜率). 更別提要保存液態氫所需要的超低溫. 氣態氫的密度比起液態氫, 更是小到完全沒有利用價值.

其他的能源 1公斤U-235完全裂解產生 1.9x(10^10) 千卡的熱量. 核能熱值超高! 因此具有極高的經濟效益(或殺傷力) 令人驚奇的是, 食物也含有巨大能量! 1公斤汽油的熱值: 11000 千卡. (1公升約 7920千卡) 1公斤豬排的熱值: 3900 千卡. 1份麥香堡全餐(含薯條飲料): 1320 千卡. 1公斤黃色炸藥(TNT)的熱值: 1000 千卡. 黃色炸藥所含的單位熱值居然比食物少?! (你該不該擔心吃太多東西身體會爆炸了?)

功率 (單位時間輸出的能量) 炸藥的熱值小歸小, 卻可以在一瞬間釋出所有的熱, 並產生高壓的氣體. 食物的熱量雖大, 卻需要數小時慢慢消化釋出. 換言之, 豬肉的熱量比等重的炸藥多 4倍, 但是炸藥的輸出功率遠遠高於豬肉. 黃色炸藥瞬間可以輸出 6700萬匹馬力的功率. (1馬力=641 Kcal/hr) 功率是一種效率的指標. 就是數學上的斜率. 八八風災下 1800公厘的雨量(總量)並不是重點. 真正造成傷害的是 兩天 1800公厘(斜率大, 功率高). 如果是1年1800公厘反而是好事. (斜率小).

移動的耗能 一般 1600 c.c. 的小汽車引擎燃燒汽油可以產生約 120匹馬力的時間效率(功率). 事實上, 要推動車子並不需要太多的能量, 靠人也可以推得動, 只是推的太慢, 時間效率太低(物理上的講法是功率太低, 數學上的講法就是斜率太小). 120 匹馬力的能耐不是用來開動車子, 而是讓車跑的快. 真正耗能的, 不是讓車子走 100公里(y=100), 而是在 1小時內走完 100公里 =100 ! 但是, 我們真的需要120匹馬力產生的時間效率來移動嗎?

在移動上, 我們使用太過奢侈的功率 洗衣機只需0.5匹馬力就可以在短時間把衣服洗得乾乾淨淨(古早婦女在溪邊用手洗要花掉大半天). 冷氣在家電中算耗能的, 但是只用3匹馬力就可以讓房間迅速冷卻舒服. (電扇也可以降溫, 但是效率差) 如果我們有一個好的開車環境, 而且妳膽子夠大的話, 120匹馬力夠我們輕易開上時速 160Km. 但是如果妳只想用時速 100Km 開車, 就像大部分的人一樣, 那麼 50匹馬力就綽綽有餘. 我怎麼知道50匹馬力就夠?

效用函數 – 效果增加 但 效益遞減

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你怎麼知道這個數學模式是合理? 現在市場上, 已經找不到 50 hp 的汽車了! 我當然也不可能找到一家汽車廠願意幫我做實驗. 但是, 我可以去找找古董車的資料. 72

1914 Chevrolet H-4, 4-cylinder, 2 1914 Chevrolet H-4, 4-cylinder, 2.8L, 24hp, 3-speed manual, 1000Kg, 5 passengers, max speed= 80 km/hr

1966 Volkswagen Beetle, 1.3L, 50hp, 4-speed manual, 965 Kg, 5 passengers, max speed= 119 kM/hr, Fuel Efficiency=15 Km/L 74

原來, 1914年到今天汽車工藝的進步, 絕大多數是被我們浪費掉了! 一次世界大戰時的車子, 只用 24 hp 就可以以時速 80Km 來移動. 47年前, 金龜車50 hp 就可以跑時速 119Km, 會不會令人很驚訝? 今天, 我們大部分人的車子都至少 100 hp 起跳. 大家擁有一具相當 powerful, 也相當耗油的引擎, 卻只使用 40%不到的效能, 但浪費其他 60% 熱能, 同時貢獻大量溫室氣體. 原來, 1914年到今天汽車工藝的進步, 絕大多數是被我們浪費掉了! 75

歐巴馬的競選政見能源政策, 主要還是在提高汽車的燃油效率 (gas efficiency). 我們都同意燃油效率從每公升汽油跑 15Km 提高到 20Km 是一種節能的方式. 但是, 我們同時也誤認, 1.6L 引擎, 在引進所謂 VVTL 等高科技後, 馬力從 100 hp 提升到 120 hp 的性能提升, 也是一種節能的概念. 同時, 大部分的人也欣然同意為這項性能提升付費買單! 76

極大功率 v.s. 最適功率 今天的科技, 絕大多數是用來追求極大化! 如果, 我們從追求極大功率(120hp) 變成講求最適功率(50hp), 去掉那極少用到的 70hp, 我們並沒有犧牲掉太多移動的效率(難道妳覺得現在的生活步調還不夠快?), 但是對環境, 不管是空氣和安全, 都會友善很多. 更棒的是, 去掉那 70hp, 我們會變得比較不貪婪, 人跟人之間的相處, 也會平和許多! 節能, 或許可以不需要太多的高科技. 有時, 高科技只是在於撩撥我們無窮的慾望! 77

食物的功率與成本 普通人一天(24小時)消耗 2 千大卡 的熱量, 大概夠讓 3 匹馬力的家用冷氣開1小時, 用電量 2.3度. 以目前一度 電不會超過 3.5元(夏日用電500度以上之電費), 2.3度 約共花費 8元. 600cc 的瓶裝水賣 20元. 但是在油價高漲的今天, 600cc 的汽油也只要 21元. (名牌的礦泉水甚至是等容積汽油 的2倍貴) 我們一天吃下去食物, 只需要電費8元就可以產生同樣 的熱量. 我們喝的水幾乎和汽油一樣貴! 食物和水比油 電貴那麼多, 會不會也讓妳覺得很驚訝?

事實上, 2 千大卡的熱量可以由 400g 白米來提供. 而 每公斤米的批發價不到 35元. 35(元/公斤)*0.4(公斤)=14元. 一個人只吃米飯一天不 到15元就可以過活. 而1度水 1000公升, 只需要 10元左右(視地區及用水 量而異). 這價格是同體積瓶裝水的 萬分之三! 真正昂貴的都是那些花俏的食物, 比如炸雞排, 珍珠奶 茶, 可口的精緻糕點, 當然還包括大家不曾嫌貴的瓶裝 水!

快短缺的石油, 會賣得那麼便宜嗎? 你質疑過, 全世界石油真會在一兩百年內消耗殆盡? 全球石油公司, 軍方, 科學家已將全世界石油儲存位 置和存量完全探勘掌握清楚? 還是指, 我們雖然並不確知地球上所有油田. 但是, 這 句話意味石油公司已探明的油田即將開採殆盡? 還是指, 已探明的石油, 我們並沒有能力完全開採, 但 是我們即將使用完現今科技能夠開採出的石油? 還是指, 石油一定得用開採的, 無法使用化學反應來 合成? 還是, 石油短缺根本只是一種預測, 甚至是臆測? 80

批判式思維數學教學 以能源議題(目標導向) 帶出斜率的應用. 學習 Utility function. 81 以能源議題(目標導向) 帶出斜率的應用. 學習 Utility function. 學習建立數學模式(數學建模)去描述一項觀察 或猜想. 剖析「數學建模」的科學地位, 科學程序和科 學價值. 使用清楚淺顯的數學例子, 問出深刻批判性的 問題, 讓學生清楚體現科學素養的本質.

找到面對數學的感覺 身為一個數學教授，最常被問起的事，就是數 學有什麼用？或者是更為直接的提問：數學有 用嗎? 82 身為一個數學教授，最常被問起的事，就是數 學有什麼用？或者是更為直接的提問：數學有 用嗎? 先不管數學有沒有用，面對數學沒有感覺之前， 這個問題不會先有答案。 目標導向以及批判式思維，比較符合科學發展 的過程。序列式的教材, 是學科發展成熟後以 邏輯連貫性為基礎將學問重組而得. 學問發展 的過往經驗, 因而無法重現, 進而引起共鳴.

批判式思維數學教學成效預估 學生將從目標導向式並融合批判性思維的教學方法裏, 學到累積經驗的要訣, 以及處理問題的態度和習慣. 83 學生將從目標導向式並融合批判性思維的教學方法裏, 學到累積經驗的要訣, 以及處理問題的態度和習慣. 當高中學生學習數學的興趣被激發後, 面對數學的眼 界已然提升, 大學端的數學教育就很容易順勢加深加 廣. 當數學的抽象, 從無理轉而合理時, 思維的角度和觀點 自然跟著不同. 當學生有辦法從抽象思維看出具體形象, 數學, 會在他 們的未來人生成長歷程, 不斷的發酵回饋. 我覺得, 那才是數學教育所應追求的目標.

學生需要被啟發 學習的動機是需要慢慢蘊釀以及引導的. 看東西的角度是需要一再調整的. 事情的面向是一層一層撥開. 很多事情的答案是經驗的累積. 多元的經驗, 來自失敗, 嘗試, 與跨界的理解! 這些經驗, 來自先人巨量的時間和智慧, 其過程, 應該是故事性的. 其結果, 應該是動人而肅然的. 我認為這些經驗, 必須要有系統的編進各級數學教材, 而且要與時俱進. 而這些態度和習慣, 才是我們真正處理問題所依靠的

Thank you!!