貨幣的時間價值 蕭世斌 July 8, 2009

投資就是貨幣的買賣 用「現在」的錢，去買「未來」金錢的承諾 只是，有些人一諾千金，有些人信口雌黃

現在用100萬去買，一年後的105萬 100萬存一年期定存，年利率5%，一年後本利和共105萬。 銀行承諾一年後支付105萬元，銀行的「賣價」是100萬，相當於年利率5%。 現在用100萬去買，一年後的105萬

？ …. 報酬率 = 8% 100萬、36期之分期付款，每月繳款31,336 貸款機構以100萬，買未來36月，每月31,336的現金承諾 2 3 4 5 36 35 34 33 …. 31,336元 ？ 月 報酬率 = 8%

貨幣的時間價值就是探討此議題 「未來的錢到底值多少？」

本利和(Future Value) 利息 = 本金(PV) x 利率(r) 本利和(FV) = 本金(PV) + 利息 FV = PV x (1+r) 例如：本金100，利率2% FV = 100 x (1+0.02) = 102

單利 本利和(FV) FV = PV x (1 + r x t) 利息 = 本金(PV) x 利率(r) x 期間(t) 從期初到期末，計算利息的本金永遠不變 利息 = 本金(PV) x 利率(r) x 期間(t) 本利和(FV) = 本金 + 利息 = 本金 + 本金 x 利率 x 期間 = 本金 x (1+利率x期間) FV = PV x (1 + r x t)

單利呈現線性成長

單利範例一 張三跟朋友借款100萬元，約定利息以年 利率6%『單利』計算，3年後還款。 請問3年後張三必須歸還朋友本金及利息 總共多少錢？ 本金(PV) = 1,000,000 年利率(r) = 6% 年數(t) = 3 期末終值(本利和) = 1000000*(1+6%*3) = 1,180,000

單利範例二 李四跟朋友借款10萬元，約定利息以年利 率10%『單利』計算，借款3個月，請問 期末李四必須償還朋友多少錢？ 本金(PV) = 100,000 年利率(r) = 10% 年數(t) = 3/12 期末終值(本利和) =100000*(1+10%*(3/12)) = 102,500

複利的觀念 FV 利息併入下期本金 PV 單利利息 單利利息 單利利息 單利利息 單利利息 單利利息 單利利息

FV = P0x(1+r)4 未來值(Future Value) P4 P3 P2 P1 P0 P0 x(1+r) x (1+r)

FV = PVx(1+r)n FV = 100*(1+7%)^10 = 196.72 Excel如何計算未來值 PV = 100、r = 7% 、n = 10 FV = 100*(1+7%)^10 = 196.72 Excel練習

未來值範例 Linda於中國信託有美元存款，帳戶裡存款500美元，利率7%，每年複利一次，她在3年後的年底會擁有多少錢？ =500*(1+7%)*(1+7%)*(1+7%) =500*(1+7%)3 Excel表示 =500*1.07^3 =612.52

未來值範例 惠玲以每股300元買了一張聯發科股票，該公司目前配股息8元/股，預計未來5年的股息每年均以60%成長，5年後會配發多少股息？ =8*(1+60%)5 Excel表示 =8*(1+60%)^5 =83.89

未來值(Future Value)

72 法則 72 / 年報酬率 = 資產增加一倍所需年數 這是快速概算約略之數字，但是很準 這代表每五年你的資產增加一倍 例如：年報酬率為15%之股票型基金，資產增加一倍所需年數為 72/15 = 4.8 (年) 所以投資100萬 約5年後會變為200萬 這是快速概算約略之數字，但是很準 例如： 投資100萬 年報酬率15% 100x1.15 = 115萬：第一年 115x1.15 = 132萬：第二年 132x1.15 = 152萬：第三年 152x1.15 = 175萬：第四年 175x1.15 = 201萬：第五年 這代表每五年你的資產增加一倍

富翁與平凡人 只會將錢存銀行的人將來注定不會富有 100萬 張三投資15%商品，5年一倍 800萬 1600萬 3200萬 6400萬 一億2800萬 200萬 400萬 5年 10年 15年 20年 25年 30年 35年 100萬 200萬 李四投資2%定存，35年一倍 只會將錢存銀行的人將來注定不會富有

FV = PV x (1+r)n PV = FV / (1+r)n 現值 FV = PV x (1+r)n PV = FV / (1+r)n 期初本金 利息 FV PV

Excel如何計算現值 FV = 196.72、r = 7% 、n = 10 PV = 196.72/(1+7%)^10 = 100

現值的應用 若通貨膨脹率為1.5%，20年後的100元相當於現在多少錢？ =100/(1+1.5%)^20 = 74.3

現值的應用 5年後想買一台車子60萬元，若利率為5%，現在得存多少錢？ =600000/(1+5%)^5 = 470,116

現值的應用 一個20年期、年利率4%之貸款，每月本息繳2萬元。第120月的2萬元，請問還了本金多少錢？ (總貸款金額： =PV(4%/12, 240, -20000) = 3,300,437) =20000/(1+4%/12)^120 = 13,415

每年多次複利 年利率 = 名目利率 / 1 半年利率 = 名目利率 / 2 季利率 = 名目利率 / 4 月利率 = 名目利率 / 12 日利率 = 名目利率 / 365 名目利率 = 10% 月利率 = 10%/12 = 0.833% 季利率 = 10%/4 = 2.5%

複利次數 年初 年底 年初 年底 每季複利一次 每半年複利一次 單利 (季利率) 單利 (季利率) 單利 (季利率) 單利 (季利率) 複利點 複利點 複利點 複利點 每半年複利一次 年初 年底 單利 (半年利率) 單利 (半年利率) 複利點 複利點

實質利率(Re) = (1 + R/m)m -1 名目利率與實質利率 名目利率(Nominal Interest Rate) 銀行的牌告利率 一年複利一次之年利率 實質利率(Effective Interest Rate) 複利次數 名目年利率為R，每年複利次數為m 實質利率(Re) = (1 + R/m)m -1 每期利率

信用卡循環利息之實質利率 信用卡循環利息20% 實質利率(每月複利一次) 銀行只公佈名目利率 Re = (1+20%/12)^12 – 1 = 21.9% 年初借100元，月複利，年底本利和121.9元 這還不包括其他額外費用

年複利與季利率

實質利率與複利次數

年金(Annuity) PMT PMT PMT PMT 1 2 3 4 期數 期初 期末 每期都有現金流量發生

年金應用範例 投資理財 年金保險 分期付款之貸款 退休規劃 零存整付之定期存款 定時定額投資基金 儲蓄險 標會 商業年金保險 勞工老年年金 國民年金 分期付款之貸款 房貸、信用貸款 退休規劃 退休金之規劃

年金未來值算法 1 2 3 4 100 期初 期末 普通年金 100.0 100*(1+5%)^1 100*(1+5%)^2 100*(1+5%)^3 105.0 110.3 115.8 431.0

年金現值算法 100 100 100 100 1 2 3 4 期初 期末 95.2 100/(1+5%)^1 90.7 100/(1+5%)^2 86.4 100/(1+5%)^3 82.3 100/(1+5%)^4 354.6

普通年金公式 (1+r)n-1 1- (1+r)-n FV = 100*((1+5%)^4-1)/5% = 431.0 PMT = 每期付款、r = 利率 、n = 期數 r (1+r)n-1 FV = PMT x 1- (1+r)-n PV = PMT x r EXCEL 範例 PMT = 100、r = 5% 、n = 4 FV = 100*((1+5%)^4-1)/5% = 431.0 PV = 100*(1-(1+5%)^-4)/5% = 354.6

期初给付年金(Annuity Due) 100 100 1 2 3 4 期初 期末

期初年金與普通年金之關係 期初給付年金公式 期初年金之未來值= 普通年金未來值 x (1+r)

變額年金 120 110 100 90 1 2 3 4 期數 期初 期末

遞延年金 100 100 100 100 100 1 2 3 4 5 6 7 8 期初 期末 Excel檔案

永續年金 永續年金現值 = PMT 利率(r) PMT PMT PMT PMT PMT PMT 一直到永遠 1 2 3 ∞ 期初

製作一個實用的年金試算表 年金試算表

範例一 Michelle現年25歲，預計50歲退休，於每年底將存款30萬元，投資於5%的報酬率的商品，請問退休時可以擁有多少退休金？

範例二 Michelle現年25歲，預計50歲退休，今年底可以有存款30萬元，而且年底存款以每年3%往上升，所有存款投資於5%報酬率的商品，請問退休時擁有多少退休金？

範例三 James有一貸款，年利率3.5%，知道尚有52期未繳，每期繳款21,000元，請問James貸款餘額還剩多少？

範例四 某一公司機器設備，使用年限10年，第一年的維修費用是1萬元，且每年以3%遞增，若該公司資金成本為8%，求該機器所有維修費之現值？

範例五 Michelle現年25歲，預計50歲退休，今年底可以有存款30萬元，而且年底存款以每年3%往上升，所有存款投資於5%報酬率的商品。 若Michelle退休時希望有退休金3,000萬元，那麼第一年該存多少錢？

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