课题学习能力在中考中的体现形式 及教学策略 何承全 安庆市教研室

前言 “课题学习”是“综合实践活动”在义务教育阶段7-9年级段的具体体现形式，[1]在本学段中，学生将探讨一些具有挑战性的研究课题，发展应用数学知识解决问题的意识和能力；同时，进一步加深对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系。 在前两个学段的基础上，教学时应引导学生结合生活经验提出课题、积极地思考所面临的课题、清楚地表达自己的观点并能够解决一些问题。

经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的基本过程 体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识 课题学习的目标 经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的基本过程 体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识 获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识 通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心 3

有更多的知识内涵或更为丰富的方法性、思考策略性的价值 试题特点 与学生的生活现实或数学学习现实紧密联系 有一定的挑战性 有更多的知识内涵或更为丰富的方法性、思考策略性的价值 新课标对于“综合与实践”的诠释： “综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题。 4

进行课题学习活动所需要的核心能力 建模 探究 学习能力 发现 创造 学习策略 5

以实际问题为背景考查建模 以实际问题为背景的试题的主要特征表现为：真正帖近学生的生活现实，以“非常规”体现出适度的“挑战性”，以及所用知识围绕着初中数学的核心内容。之所以说具有挑战性，是因为建模具有一定的难度，要能准确地从实际问题中提练出数学问题，并解决数学问题。 6

例1：[2011年江西中考题] 7

例2：[2010年浙江绍兴中考试题] 8

正确处理有关章前导例，逐步培养学生建模能力，不放过课本上任何一个实际问题。 如：沪科版第18章“一元二次方程”的章前导例为：某地为增加农民收入，需要调整农作物种植结构，计划2007年无公害蔬菜的产量比2005年翻一番，要实现这一目标，2006年和2007年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？ 上面的问题你在教学中是怎样处理的？大概有如以下的几类不当情况：①照本宣科（这也是正文18.1节）的问题1；②简化的照本宣科，省略课本上的逐级增长图例；③如果不是正文18.1节的问题1，就干脆忽略不问；…… 9

让学生读题，直到学生能用自已平实的语言完整重述题意； 正确的作法至少有以下几个环节： 让学生读题，直到学生能用自已平实的语言完整重述题意； 找出题中的关键量：2005年产量、2007年产量（翻一番的含义）、年平均增长率、增长次数2次； 增长率问题的铺垫：如：①05年产量为1000吨,年增长率为10%，则06年为多少？07年为多少？② 05年产量为1000吨,两年增长20%，07年为多少？ ③05年产量为1000吨，到07年翻了一番，增长了多少？若每年的增长率一样，则每年的增长率为多少？④ 05年产量为a吨,年增长率为10%，则06年为多少？07年为多少？ ⑤ 05年产量为a吨,两年增长20%，07年为多少？ ⑥ 05年产量为a吨，到07年翻了一番，增长了多少？若每年的增长率一样，则每年的增长率为多少？ 10

以数学问题为对象考查探究 以数学问题为对象考察探究的试题，其主要特点表现为：问题本身从知识角度有较为深刻的意义，或从思想方法角度有较为普遍的作用；研究问题解决的思考过程有适度的“挑战性”。一般情况下，所探究的问题都具有更高层次的背景，作为铺垫的基础问题往往比较容易，对于铺垫性问题要知其然更要知其所以然，才能够在思维上有进一步的提升，从而解决探究性问题。 11

例3：[2011年成都中考题] 12

例4：[2010年连云港中考题] 13

例5：[2011年安徽中考题] 14

探究活动贯穿教学过程始终，不放过任何一个可让学生探究的机会，从而养成学生好思考的习惯。 例如：你是怎样“教”三角形全等判定定理的？ 课本八（上）92-93页给了很好的示范？但我认为还不够开放。 15

可以尝试以下的做法：已知△ABC，用尺规作图的方法作△DEF，使得两个三角形有若干个元素相等， △DEF是唯一的吗？ 这样做至少有以下几个方面的好处：①培养动手画图，②渗透分类，③渗透组合，④有可能发现两边及其中一边所对角相等时的多种可能及唯一性存在条件 会合理分类是探究的前提 16

又例如：沪科版九上第41页第7题的再探究 原题：如图，已知一个正方形ABCD的边长为a，现在从它的四个顶点A、B、C、D分别向点B、C、D、A的方向截取相等的线段AP、BQ、 CR、DS,得到正方形PQRS。要使这个正方形的面积最小，所截取的四条线段每条应多长？ 很明显，当P、Q、R、S分别是边的中点时所得正方形的面积最小 17

探究:把原题中的正方形依次改为以下的图形，DS:DA=AP:AB=BQ:BC=CR:CD=k,k为何值时四边形PQRS的面积最小？ 18

以信息迁移为手段考查学习能力 试题先引入一个新概念或新规则，紧接着要求学生用它来解决新问题。这类试题的挑战 性决定于新概念或新规则的“新”的程度，以及新问题与新概念或新规则关联的“显性”程度。这类试题集阅读、理解、应用于一体，它不仅考查学生的阅读能力，更重要的是考查对数学知识的理解水平、对数学方法的运用水平及分析推理能力、信息处理能力、文字概括能力、书面表达能力、随机应变能力和知识的迁移能力等，因此这类试题可以较好地考查学生的数学学习能力。 19

例6：[2011年安徽中考试题] 20

例7：[2011年北京中考试题] 21

例8：[2011年佛山中考试题] 22

教学过程本身就是培养学生学习能力的过程，学习能力的培养渗透在教学过程之中，我们不要刻意去做某事，应采用润物细无声的方法。 对于函数的研究一般都按照以下的顺序进行： ①从实际问题中抽象出函数模型 ②定义函数 ③研究函数中自变量的取值范围 ④通过列表、描点连线的方法探究函数的图象 ⑤结合函数的图象研究函数的性质 ⑥应用函数的性质解决问题 23

在我们的教材中类似的问题很多，如平行四边形、矩形、菱形、正方形的研究，其研究的方法都是相同的，我们要抓住机会，完成学习方法上的正迁移。 一次函数是初中生接触到的第一个具体函数，所以在学习一次函数时，老师的教学过程要按以上的顺序一步一步进行，每一步都要扎实到位，这样在研究后面的二次函数和反比例函数时，就可以指导学生自学。 在我们的教材中类似的问题很多，如平行四边形、矩形、菱形、正方形的研究，其研究的方法都是相同的，我们要抓住机会，完成学习方法上的正迁移。 24

通过“类比”考查创造 “类比”既是一种思考方法，又是一种知识拓展的策略。以“类比”为主旨来构制中考试题，不仅是对知识的一种考查方法，更是对创造意识和创造能力一种有效的考法，对于引导和促进“课题学习”具有积极意义。 25

例9：[2011年湖南邵阳中考试题] 26

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例10：[2011江苏苏州中考试题] 28

类比是为了更好的创造，没有创造的类比是浅层次的。 29

类比用尺规作图法作线段的中垂线，创造过已知点作已知直线的垂线 30

通过“归纳猜想”考查发现 “归纳”是最常用的一种合情推理及思考方式，它的发现功能是众所周知的。构制“归纳”类型的试题以及考查发现的能力，在中考试卷中已较为普遍。这类试题一般都是从比较容易的问题入手，通过不断增加运算或思维的次数发现一般性的结论，如果再向纵深发展就需要学生要有论证能力，因此这类问题的考查层次可浅可深。 31

例11：[2011年广东中考试题] 32

例12：[2011年江西中考题] 33

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归纳出来的结论要进行理性的思考 观察图象归纳二次函数的平移规律并说明 35

沪科版九（上）第65页第9题 归纳： 36

通过“借助特殊解决一般”考查学习策略 “借助特殊解决一般”是充分运用“特殊与一般”关系的一种思考策略，这种策略具有相当的普遍作用，为了解决“一般”去主动寻找与构造“特殊”并从中受到启发，很多结论探究性问题，都是由“特殊”得到结论，再用“一般”形式去验证结论。构制这种类型的试题，有助于考查学生的学习及解决问题的思考策略和能力。 37

例13：[2011年南京中考试题] 38

例14：[2011年浙江绍兴中考试题] 39

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例15：[2011年北京中考试题] 41

从特例中发现结论，从变化中寻找思路 正方体EHGF与正方体ABCD边长都为1，现将E点放在正方形ABCD的中心如图（1），求两正方形重叠部分的面积。我们可以回归到图（2）的特殊情况，易发现重叠面积是正方形面积的四分之一，并从图（2）向图（1）的转化中不难发现重叠面积的变化由△CEN和△BEM造成，从而发现证两三角形全等是问题的关键所在。 （1） （2） 42