第 1 章 波函数与Schröinger方程 §1.1 波函数的统计诠释 §1.2 Schrödinger 方程 §1.3 量子态叠加原理

§1.1 波函数的统计诠释 1.1.1 实物粒子的波动性 根据Planck-Einstein 光量子论，光具有波动粒子二重性，以及Bohr量子论，启发了de. Broglie，他 （1）仔细分析了光的微粒说与波动说的发展史； （2）注意到了几何光学与经典力学的相似性，提出了实物粒子 （静质量 m ≠ 0 的粒子）也具有波动性。也就是说，粒子 和光一样也具有波动-粒子二重性，二方面必有类似的关系 相联系。 假定：与一定能量 E 和动量 p 的实物粒子相联系的波（称之为“物质波”）的频率和波长分别为： 这就称为de. Broglie关系。

举例 (1) 气体分子的热运动 气体分子的热运动的动能为 相应的物质波的波长为 如对氧分子，室温下可得λ~0.026nm，远小于分子的自由程， 因此分子的热运动可作经典力学处理。 (2)原子中电子的运动 电子的动能约为10eV，其波长λ~0.39nm，与原子半径的量级 相同，需要用量子力学处理 (3)原子中原子核的运动，核子的动能约为E~20MeV

(4) 宏观粒子的德布罗意波长 如电子m =9.110-31Kg，速度v =5.0107m/s, 对应的德布罗意波长为： 如速度v = 5.0102m/s飞行的子弹，质量为m=10-2Kg，对应的德布罗意波长为： 如电子m =9.110-31Kg，速度v =5.0107m/s, 对应的德布罗意波长为： 太小测不到！ X射线波段

实验验证 (1) 汤姆逊实验 1927年，Davison and Germer在实验中，让电子束通过薄金属膜后射到照相底片上，结果发现，与X射线通过金箔时一样，也产生了清晰的电子衍射图样。 (2) 电子通过狭缝的衍射实验： 1961年，约恩孙 (Jonsson)制成长为50mm，宽为0.3mm ， 缝间距为1.0mm的多缝。用50V的加速电压加速电子，使电 子束分别通过单缝、双缝等，均得到衍射图样。

(3) 最大的实物粒子的波动性实验：C60的双缝干涉实验 60个碳原子所组成 外型象英式足球 对称性最高的球状分子 迄今为止实验上观测到其波动性的质量 最重、结构最复杂的粒子 C60的双缝干涉实验示意图 x P1 P2 P12 1 2

(4) 量子围栏 1993年，Crommie等人用扫描隧道显微镜技术，把蒸发到铜（111）表面上的铁原子排列成半径为7.13nm的圆环形量子围栏，用实验观测到了在围栏内形成的同心圆状的驻波(“量子围栏”)，直观地证实了电子的波动性。

R. P. Feynman: “---a phenomenon which is impossible, absolutely impossible, to explain in any classical way, and which has in the heart of quantum mechanics, ----we can not make the mystery go away by explaining how it works. We will just tell you how it works.” 一个处于量子力学核心的、不可能、绝对不可能用任何 经典方法解释的现象。我们解释不了它的神秘之处，只 能描述它是如何形成的。

实物粒子波动性的理解 经典粒子与经典波的双缝实验 ρ子弹的密度分布 O 1 2 子弹 O 1 2 经典波

对于子弹 子弹经过缝1(2)的运动轨道与缝2(1)的存在与否没有关系 对经典波 分别打开缝1和缝2时的声波 两缝齐打开时的声波 声波的强度 由于存在干涉项，经典波的强度分布与经典粒子的密度分布大不相同 用电子代替声波会得到相似的结果，如何理解?

问题1：每个电子是如何通过小孔的？说：一个电子不是通过孔1 就是通过孔2 是否正确？ 结论： 电子作为粒子总是以完整的颗粒形式到达屏，电子到达屏 上某处的概率分布就像波的强度分布。正是从这个意义上 说，电子的行为有时像粒子，有时像波。 问题2： 能够设计出一种仪器来确定电子时经过哪个小孔，同时 又不使电子受到足以破坏其干涉图样？

1.1.2 波粒二象性分析 两种错误观点 1. 电子是波包 把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。 什么是波包？ 波包是各种波数（长）平面波的迭加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的， 与实验事实相矛盾。 在电子衍射实验中，电子波碰到晶体后发生衍射，衍射波沿不同 方向传播出去。如果将电子看成是三维波包，则在空间不同方向 观测到的只能是“电子的一部分”。但实验上测得的总是一个个 的电子，各具有一定的质量和电荷。

电子时三维空间中连续分布的某种物质波包 在非相对论情况下，自由粒子的能量为 利用de Broglie关系可得电子的园频率为 波包的群速度(波包中心的运动速度)为 但 即自由粒子的物质波包必然要扩散。 结论： 物质波包的观点夸大了波动性的一面，而抹杀了粒子性的 一面

2.波由粒子组成的疏密波 电子源 感光屏 P O Q 如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。 事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。

电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1 Å 。 以现代的实验精度极限，已经证实，在量级为10-8m 的尺度下，未观测到电子有尺度效应。 “ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说， “ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。

1.1.3 概率波、多粒子体系的波函数 电子单缝实验的再分析 O 1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍 射图样; 电子源 感光屏 Q O P 1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍 射图样; 2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样. 在底片上r点附近干涉花样的强度： ∝在r附近感光点的数目 ∝在r 附近出现的电子数目 ∝电子出现在r附近的概率。

衍射波波幅用 Ψ(r) 描述，与光学相似，衍射花纹的强度则用 |Ψ(r)|2 描述，但意义与经典波不同。 确切的说，|Ψ(r)|2 ΔxΔyΔz 表示在 r 点处，在体积元ΔxΔyΔz中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）与在这点找到粒子的几率成比例， 概率波（Born, 1926)：量子力学中波函数所描述的，并不像经典 波那样代表实际物理量的波动，只不过时刻画粒子在空间的概率 分布的概率波(probability wave)而已。 它把微观粒子的原子性（颗粒性）与波的相干性统一起来了。

按照波函数的统计诠释，自然要求粒子在空间各点出现的概率 之和为1，即波函数应满足下面的归一化条件 据此，描写粒子的波可以认为是几率波，这种几率波反映了微观客体运动的一种统计规律性，波函数Ψ(r)有时也称为几率幅。这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它是量子力学的基本原理（基本假定）。 按照波函数的统计诠释，自然要求粒子在空间各点出现的概率 之和为1，即波函数应满足下面的归一化条件 在空间各点的相对概率分布 显然，Ψ与CΨ所描述的相对概率分布式相同的，这点与经典波不同。 波函数的归一化：

波函数标准条件：波函数应单值、有限、连续。 则 波函数的相位不确定性 根据Born统计解释 (r, t) = *(r, t) (r, t)是粒子在t时刻出 现在 r点的几率密度，这是一个确定的数，所以要求(r, t)应 是 r, t的单值函数且有限； 又因为Schrödinger 方程是微分方 程，所以要求(r, t)应连续。这样就得到了 波函数标准条件：波函数应单值、有限、连续。

多粒子体系的波函数 两粒子体系的波函数 物理意义： 表示测得粒子1在空间体元(r1,r1+dr1)中，同时粒子2在空间体元 (r2,r2+dr2)中的概率。 N个粒子体系的波函数 物理意义： 表示 测得粒子1在空间体元(r1,r1+dr1)中， 同时粒子2在空间体元(r2,r2+dr2)中， … 同时粒子N在空间体元(rN,rN+drN)中的概率。

归一化条件 引进符号 代表对体系的全部坐标空间进行积分，如 对一维粒子， 对二维粒子， 对三维粒子，

对N个粒子组成的体系， 归一化条件

练习 1 设 α为常数，求归一化常数A 练习 2 设 求粒子位置的概率分布。此波函数能否归一化？ 练习 3 设 求粒子位置的概率分布。此波函数能否归一化？ 练习 4 设粒子的波函数是 求在(x, x+dx)范围内找到粒子的概率。 练习 5 设用球坐标表示，粒子的波函数是 求： (1) 粒子在球壳(r, r+dr)范围内被测到的概率。 (2) 在（θ，φ）方向的立体角dΩ=sin θd θd φ中找到粒子 的概率

1.1.4 动量分布概率 问题：按波函数的统计诠释，波函数模的平方代表在空间r点 找到粒子的概率密度？如果测量其它力学量，其概率分布如何？ 波函数的Fourier展开 其中 粒子的动量为p的概率正比于 可证明：

证明： 电子的动量分布如何测量 ---------电子衍射实验分析 设电子（动量p）沿垂直方向入射到单 θ a θ 入射波 衍射谱 电子的动量分布如何测量 ---------电子衍射实验分析 设电子（动量p）沿垂直方向入射到单 晶表面，即入射波是具有一定波长的平 面波，则衍射波将按照一定的角度衍射， 衍射角由Bragg公式确定

如果入射波是一个波包，它的每一个Fourier分波将按各自的角 分布出射，衍射波将分解成一个波谱。沿θ角衍射的波的幅度 f(θ)正比于入射波包中相应的Fourier分波的幅度。 衍射过程中，波长未变，即粒子的动量大小未变，只有方向改变， 因此衍射波谱的分布反映了衍射前粒子的动量分布。

1.1.5 不确定度关系 波函数的统计诠释：保留了经典波的相干叠加性，摒弃了实在物 理量在三维空间中的波动性；保留了经典粒子的原子性或颗粒性， 摒弃了经典粒子运动的概念。 经典粒子的概念究竟在多大程度上用微观世界？ 1927， W. Heisenberg 不确定性关系 例题1 设一维粒子具有确定的动量p0，即动量的不确定度为Δp=0， 相应的波函数为 则 即粒子在空间各点的概率相同，粒子位置完全不确定

例题2 一维粒子具有确定的位置x0，即位置不确定度为Δx=0，相应 的波函数为 其Fourier展开为 则 即粒子动量取各种值的概率相同，动量完全不确定， Δp=∞

例题3 Gauss波包 则 即 粒子主要局限在 Ψ(x)的Fourier展开是 则 所以 则对Gauss波包，有 利用德布罗意关系得 1/α -1/α 1/α 则 粒子主要局限在 即 Ψ(x)的Fourier展开是 则 所以 则对Gauss波包，有 利用德布罗意关系得

不确定性关系 微观粒子的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值，这是 波粒二象性的反映。 或者表述为：假如对任一客体进行测量，以不确定量Δp测定其 动量的x分量时，就不可能同时测定其位置比Δx=h/Δp更准确。

问题1 不确定性关系与我们的日常生活有无矛盾? 如一粒尘埃，直径~1μm, 质量m~10-12g，速度v~0.1cm/s， 则其 动量p=mv~10-13g cm/s.设其位置精度Δx~1埃，由不确定性关系 可得Δp~10-19g cm/s,则Δp/p~10-6 ，而对这种粒子的任何实际测 量的相对精度都没达到10-6，因此即使像尘埃那样的粒子经典力学 的概念仍然适用。 问题2 原子核的组成问题 考虑β衰变(原子核自发地放出高速电子)。原子核的半径<10-12m, 若电子时原子核的组成粒子，则其位置不确定度Δx≤10-12m, 由不确定性关系得Δp≈10-15gcm/s. 从数量级上考虑p~ Δp 因此电子的能量 而所有原子核在β衰变中放出电子的能量 结论：在β衰变中放出的电子并不是原子核的一个组成粒子，而是 在衰变过程中产生的。

问题3 估计物质结构的不同层次的特征能量 不确定性关系 在非相对论情况下 对于原子，Δx~10-8cm，用电子质量代入可得 对中等质量的原子核，Δx~6×10-13cm，用中子质量代入可得 在相对论情况下 粒子的大小Δx≤10-13cm，则其能量为E~0.2GeV

1.1.6 力学量的平均值与算符的引进 若波函数已经归一化，则位置的平均值为 势能的平均值为 因空间中某一点的动量没有意义，则动量的平均值 如何求动量的平均值？ 给定波函数Ψ( r ), 测得粒子的动量在(p,p+dp)中的概率为 ，其中

则粒子动量的平均值为 令 动量算符 则

动能的平均值 角动量的平均值 角动量的三个分量算符

一般地 若波函数没有归一化，则 思考题 如果给定波函数Φ(p),则粒子坐标的平均值为 试证明之。

1.1.7 统计诠释对波函数提出的要求 根据波函数的统计诠释，其概率密度在空间有限区域内的积分 应该为有限值。 如果取波函数的孤立奇点r0=0，当r→0时，上式的积分应该趋于0， 即要求 若当 ，则要求 (b) 一个真实的波函数应该满足归一化条件 (c) 按统计诠释的要求，波函数模的平方应为单值

(d) 波函数及其各阶微商的连续性 一般要求： 单值、连续、有限

例题1 电子显微镜的分辨率。要观测一个大小为2.5Å的物体可用 光子的最小能量是多少？若把光子改为电子呢？ 解： 为发生散射光波的波长必须与所观察物体的大小同数量级， 或者更小，所以在该问题中所采用光波的最大波长λ=2.5Å。 相应的光子的最小能量为 若把光子改为电子，则电子的最大波长λ=2.5Å 按照非相对论计算， 则 则最小能量是

对于给定的能量，电子比光子具有更高的分辨率。 例题2 一维运动的粒子处于状态 其中λ>0, A是待求的归一化常数，求： (1)粒子坐标的概率密度； (2)粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值； (3) 粒子动量的概率分布函数和概率密度； (4)粒子动量的平均值和动量平方的平均值。 解： 首先对波函数归一化，由波函数的归一化条件

得 计算得 则 (1)粒子的概率密度为 (2) 粒子坐标的平均值 坐标平方的平均值

则粒子动量的概率分布函数是 (4)粒子动量的平均值为 粒子动量平方的平均值

练习1 设在t=0时，粒子的状态为 求粒子动量的平均值。 练习2 已知粒子的波函数为 ，其中b是大于零的已知常数 求归一化常数A ,并计算平均值

§1.2 薛定谔方程（量子力学基本假设） 1.2.1 薛定谔方程的引进 自由粒子 其频率和波矢为 §1.2 薛定谔方程（量子力学基本假设） 1.2.1 薛定谔方程的引进 自由粒子 其频率和波矢为 与具有一定能量E和动量p的粒子相联系的是平面单色波 由此可见 由(1)得

即 自由粒子的波包 式中 则可证 即波包仍满足方程(4)

一次量子化 若粒子在势场V(r)中运动，则经典粒子的能量关系为 则相应的薛定谔方程是 在势场V(r)中运动的粒子所满足的方程------Schrödinger方程

1.2.2 薛定谔方程的讨论 1. 定域概率守恒 在低能情况下，实物粒子没有产生和湮灭现象，在随时间演化过程 中粒子数保持不变。对一个粒子来说，在全空间中找到它的概率之 和应不随时间改变。即 dS S τ 证明： 对薛定谔方程(8)两边取复共轭得 得

在空间闭区域τ内积分，并由Gauss定理化为面积分 概率密度 令 概率流密度 则式(12)可化为 物理意义：在闭区域中找到粒子的总概率（或粒子数）在单位时间 内的增量，等于单位时间内通过的封闭表面S而流入内的概率 (粒子数)-------定域概率守恒的积分形式

式(11)可化为 ---------概率守恒的微分形式 在式(12)中令τ→∞，对平方可积的波函数应有Ψ→0，因此 即归一化不随时间变化。在物理上表示粒子既未产生也未湮灭

2. 初值问题，传播子 如自由粒子t时刻的波函数为 初始时刻的波函数为 其傅里叶逆变换为 (19)代入(5’)式，则t 时刻的波函数可写成

更一般的情况，取初始时刻为t',则 其中 称为传播子(propagator) 可以证明 传播子的物理意义：设初始时刻t’粒子处在空间r0’点

按照(21)式有 传播子就是t时刻在r点找到粒子的概率波幅。一般可以说，如在 t´时刻粒子位于r´点，则t时刻在空间r点找到由(r´, t´)传来 的粒子概率波幅就是G(r,t; r´,t´)

1.2.3 能量本征方程 若势能V中不含时间t, 则可用分离变量法求解Schrödinger方程 令方程的特解为 代入薛定谔方程(8)得 则得 所以 其中 上式称为定态薛定谔方程。E 称为能量本征值，ΨE(r)称为对应 本征值E的本征函数，上式也称能量本征方程，也称不含时 薛定谔方程

不同能量本征值对应的本征函数彼此正交，即 薛定谔方程的一般形式 H 是体系的哈密顿(Hamilton)算符，若H中不显含时间，则可用分离 变量法将(31)化成不含时的薛定谔方程-----能量本征方程 不同体系的哈密顿算符不同，对单粒子有

1.2.4 定态与非定态 定态：形如 的波函数所描述的状态。 定态的性质 (a) 粒子的能量一定。 (b) 粒子在空间的概率密度及概率流密度不随时间改变。 (c) 任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间改变。

(d）任何（不显含 t的）力学量的测值概率分布不随时间 改变。 非定态：由若干个能量不同的本征态叠加所形成的态称为非定态 若t =0时刻体系处于非定态 则任意时刻t体系的状态为 可证明其满足Schrödinger 方程

在态(37)下粒子能量平均值是 表示在态(37)下测得粒子的能量为E值的概率。

1.2.5 多粒子体系的薛定谔方程 多粒子体系的薛定谔方程 多粒子体系的定态薛定谔方程 其中 如对于有Z个电子的原子，原子间的Coulomb作用为

§1.3 量子态叠加原理 1.3.1 量子态及其表象 量子态：若给定描述粒子的波函数Ψ( r )， 若测量其动量，则测得粒子的动量为p的概率密度为 其中 同样可求得测量其它力学量的概率分布 波函数Ψ( r )完全描述了一个三维空间中粒子的状态(量子态)

表象：量子力学中的表象最早由Dirac 引入，用来描述不同 “坐标系”下微观粒子体系的状态和力学量的具体表示形式。 系统状态的波函数可以看成抽象空间(Hilbert空间)的一个态 矢量，力学量的本征函数为该空间的一组基矢，任一态矢量 可用这组基矢展开。每选择一组展开基矢，态空间便有了一 种描述方式，就说成是选择了一组表象。同时，将某一矢量 向该组基矢投影，便意味着进入了相应的(由该组基矢所代表 的)表象。 如坐标表象和动量表象 练习1 在平面单色波 所描述的状态下，粒子具有确定的动量p0，称为动量本征态， 动量的本征值是p0，试在动量表象中写出此量子态。 答：

练习2 描述的是粒子具有确定位置的量子态， 称为位置本征态，本征值是x0，试在动量表象中写出此量子态。

1.3.2 量子态叠加原理，测量与波函数塌缩 经典波的叠加原理： 几列波在媒质中传播时，它们的传播特性 （波长、频率、波速、波形）不会因其它波的存在而发生变化。 在相遇区域，合振动是分振动的叠加。 量子态的叠加原理（量子力学的基本假设之一）： 设体系处于Ψ1态，测量力学量A所得结果是a1；处于Ψ2态，测量 A 所得结果是a2, 则它们的线性组合 也是体系一个可能的状态。在此态下测量力学量A 得到a1的概率是 ,称Ψ是Ψ1和Ψ2相干叠加态。 ;得到a2的概率是

如 量子态的塌缩： 经典波的叠加原理与量子态叠加原理的区别： 量子态的叠加是一种特殊的概率波幅的叠加，其在测量突变 (波包塌缩)、单次测量结果的不确定性以及每次测量所得力学 量数值这三方面均不同于经典波的叠加原理。

例题 设一电子为电势差V所加速，最后打在靶上。若电子的动能转化 为一个光子，求当这个光子相应的波长分别为500nm(可见光)、 0.1nm(X射线)以及0.0001nm（γ射线）时，加速电子所需要的 电势差是多少 2. 求下列各粒子的德布罗意波长 (1) 能量为100eV的自由电子 (2) 能量为0.1eV的自由中子 (3) 能量为0.1eV，质量为1g的质点 (4) 温度为T=1K时，具有动能E=3kT/2(k为玻尔兹曼常数)的 氦原子 3. 从钠中移去一个电子所需要的能量是2.3eV，问： (1) 钠是否会对λ=680.0nm的橙黄色光产生光电效应 (2) 从钠表面发射电子的截止波长是多少？

4. 波长为200.0nm的光照射到铝表面上，对铝来说，移去一个电子 所需的能量是4.2eV，试问： 出射最快的光电子能量是多少 (2) 遏止电压是多少 (3) 铝的截止波长是多少 (4) 如果入射光强度是2.0W/m2，单位时间打到单位面积上的平均 光子数是多少？ 5. 在理想条件下正常人的眼睛接收到 550.0nm的可见光时，每秒 光子数达到100个就有光感，与此相当的功率是多少？