第3课时 圆周运动 考点自清 一、描述圆周运动的物理量 物理量 物理意义 定义和公式 方向和单位 线速度 描述物体 做圆周运 动的 第3课时 圆周运动 考点自清 一、描述圆周运动的物理量 物理量 物理意义 定义和公式 方向和单位 线速度 描述物体 做圆周运 动的 物体沿圆周通 过的弧长与所 用时间的比值， v= 方向：沿 圆弧切线 方向. 单位：m/s 角速度 与圆心连 线扫过角 度的 运动物体与圆心 连线扫过的角的 弧度数与所用时 间的比值,ω= 单位:rad/s 快慢 快慢

周期和 转速 描述物体 做圆周运 动的 周期T:物体沿 圆周运动一周 所用的时间. 转速n:物体单 位时间内转过 的圈数 周期单位:s 转速单位: r/s或r/min 向心加 速度 描述线速 度方向变 化的 方向:总是沿 半径指向圆心, 与线速度方向 垂直. 单位:m/s2 v、ω、T、 an间的关 系 快慢 快慢

二、向心力 1.作用效果:产生向心加速度,只改变速度的 , 不改变速度的大小. 2.大小:Fn=man= =mω2r= . 3.方向:总是沿半径方向指向 ,时刻在改变, 即向心力是一个变力. 4.来源:向心力可以由一个力提供,也可以由 提供,甚至可以由 提供, 因此向心力的来源要根据物体受力的实际情况判定. 方向 圆心 几个 力的合力 一个力的分力

特别提示 向心力是一种效果力,受力分析时,切不可在物 体的相互作用力以外再添加一个向心力. 三、离心运动和向心运动 1.离心运动 (1)定义:做 的物体,在所受合外力突然 消失或不足以提供圆周运动 的情况下, 就做逐渐远离圆心的运动. (2)本质:做圆周运动的物体,由于本身的惯性,总有 沿着 飞出去的倾向. 圆周运动 所需向心力 圆周切线方向

(3)受力特点: 当F= 时,物体做匀速圆周运动; 当F=0时,物体沿 飞出; 当F< 时,物体逐渐远离圆心,F为实际提供 的向心力.如图1所示. mrω2 切线方向 mrω2 图1

2.向心运动 当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心 力时,即F>mrω2,物体渐渐向 .如图1所示. 特别提示 物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用,而 是物体惯性的表现,物体做离心运动时,并非沿半径 方向飞出,而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出. 圆心靠近

热点聚焦 热点一 匀速圆周运动和非匀速圆周运动的比较 做圆周运动的物体,若在相等的时间里通过的圆 弧长度相等,就是匀速圆周运动,否则是非匀速 热点一 匀速圆周运动和非匀速圆周运动的比较 做圆周运动的物体,若在相等的时间里通过的圆 弧长度相等,就是匀速圆周运动,否则是非匀速 圆周运动,关于两种运动的性质、加速度、向心 力比较如下表: 项目 匀速圆周运动 非匀速圆周运动 运动 性质 是速度大小不变,方 向时刻变化的变速 曲线运动,是加速 度大小不变而方向 时刻变化的变加速 曲线运动 是速度大小和方 向都变化的变速 度大小和方向都 变化的变加速曲 线运动

加速度 加速度方向与线速 度方向垂直.即只存 在向心加速度,没有 切向加速度 由于速度的大小、方 向均变,所以不仅存在 向心加速度且存在切 向加速度,合加速度的 方向不断改变 向心力

热点二 圆周运动中的动力学问题分析 1.向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的,可以是重力、 弹力、摩擦力等各种力,也可以是几个力的合力 或某个力的分力,因此在受力分析中要避免再另 外添加一个向心力. 2.向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面,确定圆心的 位置. (2)分析物体的受力情况,找出所有的力沿半径方 向指向圆心的合力就是向心力.

3.解决圆周运动问题的主要步骤 (1)审清题意,确定研究对象; (2)分析物体的运动情况,即物体的线速度、角速 度、周期、轨道平面、圆心、半径等; (3)分析物体的受力情况,画出受力示意图,确定向 心力的来源; (4)据牛顿运动定律及向心力公式列方程. (5)求解、讨论. 特别提示 1.无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动,沿 半径指向圆心的合力均为向心力. 2.当采用正交分解法分析向心力的来源时,做圆 周运动的物体在坐标原点,一定有一个坐标轴沿半 径指向圆心.

热点三 竖直平面内的圆周运动问题分析 竖直平面内的圆周运动,是典型的变速圆周运动, 对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题, 中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的 情况,并且经常出现临界状态. 1.绳球或内轨道模型,如图2所示,没有物体支撑的 小球,在竖直平面内做变速圆周运动过最高点的 情况. 图2

(1)临界条件:小球到达最高点时绳子的拉力(或轨 道的压力)刚好为零,小球的重力提供其圆周运动的向心力,即mg= 上式中的v临界是小球通过最 高点的最小速度,通常叫临界速度v临界= . (2)通过最高点的条件:v≥v临界,当v>v临界时,绳、 轨道对球分别产生拉力F、压力FN. (3)不能通过最高点的条件:v<v临界(实际上球还没 有到最高点就脱离了轨道).

2.如图3所示,有物体支撑的小球在竖直平面内做变 速圆周运动过最高点的情况. 临界条件:由于硬杆或管壁的支撑作用,小球恰能 到达最高点的临界速度是v临界=0. 图(a)所示的小球过最高点时,轻杆对小球的弹力 情况见下表:

图(b)所示的小球通过最高点时,光滑管对小球的 弹力情况与杆类似. 小球速度 弹力的方向 弹力的大小 v=0 轻杆对小球有竖 直向上的支持力 FN=mg 杆对小球的支持力 的方向竖直向上 大小随速度的增大 而减小,0<FN<mg 无弹力 FN=0 杆对小球有指向圆 心的拉力 而增大

判断小球经过最高点时,轻杆提供的力是拉力还是 支持力,还可以采取下面的方法:先假设为拉力F, 根据牛顿第二定律列方程求解,若求得F>0,说明此 时轻杆提供拉力;若求得F<0,说明此时轻杆提供支 持力,其大小与所求得的F的大小相等、方向相反. 特别提示 如果小球带电,且空间存在电场、磁场时,临界条件应是小球所受重力、电场力和洛伦兹力沿半径方向的合力提供向心力,此时临界速度v临界≠ .

题型探究 题型1 涉及圆周运动传动方式分析 如图4所示,轮O1、O3固定在一转轴上,轮 O1、O2用皮带连接且不打滑.在O1、O2、O3三个 题型1 涉及圆周运动传动方式分析 如图4所示,轮O1、O3固定在一转轴上,轮 O1、O2用皮带连接且不打滑.在O1、O2、O3三个 轮的边缘各取一点A、B、C,已知三个轮的半径比 r1∶r2∶r3=2∶1∶1,求: 图4

(1)A、B、C三点的线速度大小之比vA∶vB∶vC. (2)A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC. (3)A、B、C三点的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC. O1、O2轮靠皮带相连,轮子边缘点具有 相同的线速度;O1、O3轮通过转轴相连,轮子上各点具有相同的角速度. 解析 (1)令vA=v,由于转动时不打滑,所以vB=v.因ωA=ωC,由公式v=ωr知,当角速度一定时,线速度 跟半径成正比,故 所以vA∶vB∶vC=2∶2∶1. 思路点拨

(2)令ωA=ω,由于共轴转动,所以ωC=ω.因vA=vB,由公式 知,当线速度一定时,角速度跟半径成 反比,故ωB=2ω.所以ωA∶ωB∶ωC=1∶2∶1. (3)令A点向心加速度为aA=a,因vA=vB,由公式 知,当线速度一定时,向心加速度跟半径成反比,所 以aB=2a.又因为ωA=ωC,由公式a=ω2r知,当角速 度一定时,向心加速度跟半径成正比,故 所以aA∶aB∶aC=2∶4∶1. 答案 (1)2∶2∶1 (2)1∶2∶1 (3)2∶4∶1

方法归纳 在分析传动装置的各物理量时,要抓住不等量与相 等量之间的关系.分析本题的关键有两点:其一是同 一轮轴上的各点角速度相同;其二是皮带不打滑时, 与皮带接触的各点线速度大小相同.这两点抓住了, 然后再根据描述圆周运动的各物理量之间的关系就 不难得出正确的结论.

变式练习1 如图5所示,a、b是地球表 面上不同纬度上的两个点,如果把地球 看作是一个球体,a、b两点随地球自转 做匀速圆周运动,这两个点具有大小相同的( ) A.线速度 B.角速度 C.加速度 D.轨道半径 解析 地球上各点(除两极点)随地球一起自转,其 角速度与地球自转角速度相同,故B正确;不同纬度 的地方各点绕地轴做匀速圆周运动,其半径不同,故 D不正确;根据v=ωr,a=rω2可知,A、C不正确. 图5 B

弯道处要求外轨比内轨高,其内外轨高度差h的设 计不仅与r有关,还取决于火车在弯道上的行驶速 率.下列表格中是铁路设计人员技术手册中弯道 题型2 圆周运动的动力学问题 铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的. 弯道处要求外轨比内轨高,其内外轨高度差h的设 计不仅与r有关,还取决于火车在弯道上的行驶速 率.下列表格中是铁路设计人员技术手册中弯道 半径r及与之对应的轨道的高度差h. 弯道半 径r/m 660 330 220 165 132 110 内外轨 高度差 h/mm 50 100 150 200 250 300

(1)根据表中数据,试导出h和r关系的表达式,并求 出当r=440 m时,h的设计值. (2)铁路建成后,火车通过弯道时,为保证绝对安全,要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力,又已知我 国铁路内外轨的间距设计值为L=1 435 mm,结合表 中数据,算出我国火车的转弯速率v(以km/h为单位,结果取整数.当θ很小时,tan θ≈sin θ). (3)为了提高运输能力,国家对铁路不断进行提速, 这就要求火车转弯速率也需要提高.请根据上述计 算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效 措施.

思路点拨 (1)由表格数据可以获得什么信息? (2)构建匀速圆周运动模型,以倾角为参数,利用动 力学知识和几何条件建立v与h、r、L的关系是解题 的关键. 解析 (1)分析表中的数据可知,每组的h与r之乘积 均等于常数,设为C,则C=660 m×50×10-3 m=33 m2,即hr=33 m2,当r=440 m时,有 =0.075 m= 75 mm. (2)转弯过程中,当内、外轨对车轮 没有侧向压力时,火车的受力如右图 所示,由牛顿第二定律得:

① 因为θ很小,有 tan θ≈sin θ= ② 由①②可得: ③ 代入数据v=15 m/s=54 km/h (3)由③式可知,可采取的有效措施有:a.适当增大 内、外轨的高度差h;b.适当增大铁路弯道的轨道 半径r. 答案 (1)75 mm (2)54 km/h (3)见解析

变式练习2 如图6所示,长度为L的 细绳上端固定在天花板上O点,下端 拴着质量为m的小球.当把细绳拉直 时,细绳与竖直线夹角为θ=60°,此 时小球静止于光滑的水平面上. (1)当球以角速度 做圆锥摆运动时,细绳的 张力FT为多大?水平面受到的压力FN是多大? (2)当球以角速度 做圆锥摆运动时,细绳的 张力FT′及水平面受到的压力FN′各是多大? 解析 设小球做圆锥摆运动的角速度为ω0时,小球对光滑水平面的压力恰好为零,此时小球受重力mg和绳的拉力FT0,应用正交分解法列出方程: 图6

FT0sin θ=mω02Lsin θ ① FT0cos θ-mg=0 ② 由①②解得 ③ (1)因为ω1<ω0,所以小球受重力mg,绳的拉力FT 和水平面的支持力FN,应用正交分解法列方程: FTsin θ=mω12Lsin θ ④ FTcos θ+FN-mg=0 ⑤ 解得:

(2)由于ω2>ω0,小球将离开水平面做圆锥摆运动, 设细绳与竖直线的夹角为α,小球受重力mg和细绳 的拉力FT′,应用正交分解法列方程: FT′sin α=mω22Lsin α ⑥ FT′cos α-mg=0 ⑦ 解得: 由于球已离开水平面,所以球对水平面的压力FN′ =0. 答案 (1)mg (2)4mg 0

题型3 圆周运动的临界问题 如图7所示,质量为m的小球置 于方形的光滑盒子中,盒子的边长略 大于小球的直径.某同学拿着该盒子 在竖直平面内以O点为圆心做半径为 R的匀速圆周运动,已知重力加速度为g,空气阻力 不计.求: (1)若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无 作用力,则该同学拿着盒子做匀速圆周运动的周期 为多少? 图7

(2)若该同学拿着盒子以第(1)问中周期的 做匀 速圆周运动,则当盒子运动到如图7所示(球心与O 点位于同一水平面上)时,小球对盒子的哪些面有作 用力,作用力大小分别为多少? 思维导图

解析 (1)设盒子的运动周期为T0.因为在最高点时 盒子与小球之间刚好无作用力,因此小球仅受重力 作用,由重力提供向心力,根据牛顿运动定律得 解之得 (2)设此时盒子的运动周期为 则小球的向心加 速度为 由第(1)问知 由上述三式知a0=4g

设小球受盒子右侧面的作用力为F,受下侧面的作 用力为FN,根据牛顿运动定律知 在水平方向上F=ma0 即F=4mg 在竖直方向上FN+mg=0 即FN=-mg 因为F为正值、FN为负值,所以小球对盒子的右侧 面和下侧面有作用力,大小分别为4mg和mg. 答案 (1) (2)小球对盒子的右侧面和下 侧面有作用力,大小分别为4mg和mg

变式练习3 如图8所示,半径为R,内径很小的光滑 半圆管道竖直放置,质量为m的小球以某一速度进入 管内,小球通过最高点P时,对管壁的压力为0.5mg. 求: (1)小球从管口飞出时的速率. (2)小球落地点到P点的水平距离. 图8

解析 (1)分两种情况,当小球对管下部有压力时, 则有 当小球对管上部有压力时,则有 (2)小球从管口飞出做平抛运动 答案

题型4 竖直面内的圆周运动s模型 图9 如图9甲所示,在同一竖直平面内的两条正 对着的相同半圆形的光滑轨道,相隔一定的距离, 虚线沿竖直方向,一小球能在其间运动,今在最高 点与最低点各放一个压力传感器,测试小球对轨道 的压力,并通过计算机显示出来,当轨道距离变化 时,测得两点压力差与距离x的图象如图乙所示,g 取10 m/s2,不计空气阻力.求: 图9

(1)小球的质量为多少? (2)若小球在最低点B的速度为20 m/s,为使小球能 沿轨道运动,x的最大值为多少? 解析 (1)设轨道半径为R,由机械能守恒定律: 对B点:FN1-mg= ② 对A点:FN2+mg= ③ 两点压力差ΔFN=FN1-FN2= ④ 由图象可得:截距6mg=6 N,即m=0.1 kg ⑤ ①

(2)因为图线斜率 所以R=2 m ⑥ 在A点不脱离的条件是vA≥ ⑦ 由B到A应用机械能守恒 ⑧ x=15 m ⑨ 答案 (1)0.1 kg (2)15 m 本题共15分.其中①②③⑥⑦⑧式各 2分,④⑤⑨式各1分. 【评分标准】

【名师导析】 随着高考改革的深入,新高考更加突出对学生应用 能力及创新能力的考查,本题就是构建了新的情景: 将常见的竖直平面内的圆周变换成两正对着的相同 半圆光滑轨道,同时将环内圆周运动和机械能综合, 并结合了利用传感器所得的图象,考查了识别图象、 分析小球在各位置的状态(特别是特殊点处,如最高 点与最低点)等重要知识内容.在本题中既考查了中 学阶段很重要的受力分析能力,又对圆周运动的相关 知识进行考查,更重要的是考查了同学们在新情景下 构建模型、从图象中获取信息进行解题的能力.

自我批阅 (14分)如图10所示,半径为R、内径 很小的光滑半圆管竖直放置,两个质 量均为m的小球A、B以不同的速度进 入管内.A通过最高点C时,对管壁上部 压力为3mg,B通过最高点C时,对管壁下部压力为0.75mg,求A、B两球落地点间的距离. 解析 A球通过最高点时,由 图10 (3分) (1分)

(3分) (1分) (2分) 故两球落地点间的距离Δl=(vA-vB)t (2分) 解得Δl=3R (2分) 答案 3R

素能提升 1.在一棵大树将要被伐倒的时候,有经验的伐木工人 就会双眼紧盯着树梢,根据树梢的运动情形就能判 断大树正在朝着哪个方向倒下,从而避免被倒下的 大树砸伤.从物理知识的角度来解释,以下说法正 确的是 ( ) A.树木开始倒下时,树梢的角速度较大,易于判断 B.树木开始倒下时,树梢的线速度较大,易于判断 C.树木开始倒下时,树梢的向心加速度较大,易于 判断 D.供木工人的经验缺乏科学依据 B

2.如图11所示,有一质量为M的大圆 环,半径为R,被一轻杆固定后悬挂 在O点,有两个质量为m的小环(可视 为质点),同时从大环两侧的对称位 置由静止滑下,两小环同时滑到大环底部时,速度 都为v,则此时大圆环对轻杆的拉力大小为( ) A.(2m+2M)g B.Mg-2mv2/R C.2m(g+v2/R)+Mg D.2m(v2/R-g)+Mg 图11

解析 设每个小环滑到大环底部时,受大环的支持 力为FN,由牛顿第二定律得 由牛顿第 三定律知,小环对大环向下的压力大小也为FN;再对 大环受力分析,由物体平衡条件可得,轻杆对大环的 拉力F=Mg+2FN=2m(g+ )+Mg,所以大环对轻杆的 拉力大小为 只有C正确. 答案 C

3.如图12所示,光滑的水平轨道AB,与半径为R的光 滑的半圆形轨道BCD相切于B点,其中圆轨道在竖 直平面内,B为最低点,D为最高点.为使一质量为 m的小球以初速度v0沿AB运动,恰能通过最高点, 则( ) A.R越大,v0越大 B.R越大,小球经过B点后瞬间对轨道的压力越大 C.m越大,v0越大 D.m与R同时增大,初动能Ek0增大 图12

解析 由于小球恰能通过最高点, 小球由 B点到最高点的过程中机械能守恒,有 可得 可见R越大,v0越大,与质量无 关.小球对轨道B点的压力 FN=6mg,与半径无关.初动能 m与R同时增大,初动能增大. 答案 AD

4.飞机驾驶员最多可承受9倍的重力加速度带来的影 响,当飞机在竖直平面上沿圆弧轨道俯冲时速度为 v,则圆弧的最小半径为 ( ) A.  B. C. D. 解析 由向心力来源分析可知:F向=F N-mg= 而FN=9mg,故 故选B. B

5.如图13所示,质量为m的物块,沿着 半径为R的半球形金属壳内壁滑下, 半球形金属壳竖直固定放置,开口 向上,滑到最低点时速度大小为v,若物体与球壳 之间的摩擦因数为μ,则物体在最低点时,下列 说法正确的是( ) A.受到向心力为 B.受到的摩擦力为 C.受到的摩擦力为 D.受到的合力方向斜向左上方 图13

解析 物体在最低点受竖直方向的合力Fy,方向向 上,提供向心力, A错误;而Fy=FN-mg,得 物体受滑动摩擦力Ff=μFN=μ(mg + ),B错误,C正确;Ff水平向左,故物体受到的Ff 与Fy的合力,斜向左上方,D正确. 答案 CD

6.如图14所示,在匀速转动的水平圆 盘上,沿半径方向放置两个用细线 相连的质量均为m的小物体A、B, 它们到转轴的距离分别为rA=20 cm, rB=30 cm,A、B与盘面间最大静摩擦力均为重力 的0.4倍,试求: (1)当细线上开始出现张力时,圆盘的角速度ω0. (2)当A开始滑动时,圆盘的角速度ω. (3)当A即将滑动时,烧断细线,A、B运动状态如 何?(g取10 m/s2) 图14

解析 最初圆盘转动角速度较小,A、B随圆盘做圆 力提供.由于rB>rA,由公式F=mω2r可知,B所需向心 力较大;当B与盘面间静摩擦力达到最大值时(此时A 与盘面间静摩擦力还没有达到最大),若继续增大转 速,则B将做离心运动而拉紧细线,使细线上出现张 力,转速越大,细线上张力越大,使得A与盘面间静摩 擦力增大.当A与盘面间静摩擦力也达到最大时,A将 开始滑动.

(1)kmg=mω02rB (2)分析此时A、B受力情况如下图所示,根据牛顿 第二定律有:

对A:F静m-FT=mω2rA ① 对B:F静m+FT=mω2rB ② 其中F静m=kmg ③ 联立①②③解得 (3)烧断细线,FT消失,A与盘面间静摩擦力减小后 继续随圆盘做圆周运动,而B由于F静m不足以提供向 心力而做离心运动. 答案 (1)3.65 rad/s (2)4 rad/s (3)A随圆盘 做圆周运动,B做离心运动

7.如图15所示,下图是游乐场中过山车的实物图片, 下图是过山车的原理图.在原理图中半径分别为 R1=2.0 m和R2=8.0 m的两个光滑圆形轨道,固定在 倾角为α=37°斜轨道面上的Q、Z两点,且两圆形 轨道的最高点A、B均与P点平齐,圆形轨道与斜轨 道之间圆滑连接.现使小车(视作质点)从P点以一 定的初速度沿斜面向下运动.已知斜轨道面与小车 间的动摩擦因数为 sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.问:

(1)若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处, 则其在P点的初速度应为多大? (2)若小车在P点的初速度为10 m/s,则小车能否安全 通过两个圆形轨道? 图15

解析 (1)小车恰好过A点,故有 小车由P到A的过程,由动能定理有 由几何关系可得 代入数据可得 (2)小车以v=10 m/s的初速度从P点下滑时,因为有v=10 m/s>v0=26 m/s,所以,小车可以通过圆形轨道 O1.设小车能够通过B点,则P到B由动能定理得

代入数据可得 而车恰好能过B点时,在B点的速度为 因为 所以小车可以通过圆形轨 道O2. 答案 (1) m/s (2)能

8. 如图16所示,小球从光滑的圆弧轨道下滑至水平轨道末端时,光电装置被触动,控制电路会使转筒立刻以某一角速度匀速连续转动起来 8.如图16所示,小球从光滑的圆弧轨道下滑至水平轨道末端时,光电装置被触动,控制电路会使转筒立刻以某一角速度匀速连续转动起来.转筒的底面半径为R,已知轨道末端与转筒上部相平,与转筒的转轴距离为L,且与转筒侧壁 上的小孔的高度差为h;开始 时转筒静止,且小孔正对着轨 道方向.现让一小球从圆弧轨 道上的某处无初速滑下,若正 好能钻入转筒的小孔(小孔比 小球略大,小球视为质点,不计空气阻力,重力加速 度为g),求: (1)小球从圆弧轨道上释放时的高度H. (2)转筒转动的角速度ω. 图16

解析 (1)设小球离开轨道进入小孔的时间为t,则由平抛运动规律得h= gt2, L-R=v0t 小球在轨道上运动过程中机械能守恒,故有 mgH=mv02 联立解得:t= (2)在小球做平抛运动的时间内,圆筒必须恰好转整数转,小球才能钻进小孔,即 ωt=2nπ(n=1,2,3…) 所以ω=nπ (n=1,2,3…) 答案 ω=nπ (n=1,2,3…)

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