第二章 機率

目　錄 2-1 集合的基本概念 2-2 樣本空間與事件 2-3 機率 2-4 數學期望值

2-1 2-1 集合的基本概念

2-2.1 集合的表示法 描述一個集合除了用文字敘述外，另有兩 種表示法： 1.表列法

2-2.1 集合的表示法 (續) 1.購式法 一般來說對於元素個數較多或元素個數為無限個的集合，用構式法較為方便。

2-1.2 集合與集合之間的關係 一、子集（部分集合）

2-1.2 集合與集合之間的關係 (續) 二、空集合

例題1

例題1

例題1 (續)

隨堂練習1 若集合 A 有9個相異元素，則 A 的子集 共有幾個？

2-1.2 集合與集合之間的關係 (續) 三、集合的相等

例題2

隨堂練習2

2-1.3 集合與集合之間的運算 一、交集

2-1.3 集合與集合之間的運算(續) 二、聯集

2-1.3 集合與集合之間的運算(續) 三、差集

2-1.3 集合與集合之間的運算(續) 四、字集 (基集) 與補集 (餘集)

2-1.3 集合與集合之間的運算(續)

例題3

例題3 (續)

隨堂練習3

例題4

例題4 (續)

隨堂練習4

2-1.4 元素個數與笛摩根定律 1.若集合 A 的元素個數為有限時， 表示集合 n(A) 的元素個數。 　由圖示法我們可以得到：

2-1.4 元素個數與笛摩根定律 (續)

2-1.4 元素個數與笛摩根定律 (續)

例題5

例題5

例題5 (續)

隨堂練習5 在1到300的自然數中，試求 (1) 不是3的倍數共有幾個？ (2) 3或5的倍數共有幾個？

2-2 2-2 樣本空間與事件

2-1 樣本空間與事件 (1)樣本空間：一個隨機試驗中，所有可能發 生的結果所形成的集合，稱為此試驗的樣本空間，通常以 S 表示。 2-1 樣本空間與事件 (1)樣本空間：一個隨機試驗中，所有可能發 生的結果所形成的集合，稱為此試驗的樣本空間，通常以 S 表示。 (2)樣本：樣本空間中的每一個元素，稱為一個樣本。 (3)事件：樣本空間中的每一個子集，稱為一個事件。

2-1 樣本空間與事件 (4)必然事件：樣本空間本身，即 稱為必然事件或全事件。（例如：擲一枚硬幣出現正面或反面的事件） 2-1 樣本空間與事件 (4)必然事件：樣本空間本身，即 稱為必然事件或全事件。（例如：擲一枚硬幣出現正面或反面的事件） (5)不可能事件：空集合為樣本空間中之一子集，稱為不可能事件或空事件。（例如：擲一粒公正骰子，出現點數7的事件） (6)餘事件：以樣本空間為宇集，事件 A 的餘集 A' 稱為 A 的餘事件。

2-1 樣本空間與事件 (續) (7)和事件：發生事件 A 或發生事件 B 的事件，即 A∪B。 2-1 樣本空間與事件 (續) (7)和事件：發生事件 A 或發生事件 B 的事件，即 A∪B。 (8)積事件：發生事件 A 且發生事件 B 的事件，即 A∩B 。 (9)互斥事件： 表樣本空間中兩事件，若 A∩B≠Ø，稱 A、B 為互斥事件。

例題1 投擲一枚均勻硬幣二次，觀察其出現正面或反面，試寫出： (1)樣本空間 S。 (2)出現一正面一反面的事件 E。 (1) { (x,y)│x 為硬幣第一次投擲出現情形， 為硬幣第二次投擲出現情形 }＝{ (正,正),(正,反),(反,正),(反,反) }。

例題1 (續) (2)每一枚硬幣都有正面與反面，投擲 二次，發生一正面一反面的可能情形 為 (正,反),(反,正)，故樣本空間 { (正, 反),(反,正) }。

隨堂練習1 1.投擲一枚均勻硬幣三次，觀察其出現正面或反面，試寫出： (1)樣本空間 S。 (2)出現正面恰好二次的事件 E。

例題2 投擲一粒公正骰子兩次，觀察其出現的點數，試寫出： (1)兩次的點數和為6的事件。 (2)兩次的點數相同的事件。 (1)設 (x,y) 表 ( 第一次點數 , 第二次點數)，則點數和為6的事件為 { (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) }。

例題2 (續) (2)點數相同的事件為 { (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) }。

隨堂練習2 同時擲一粒公正骰子及一枚均勻硬幣，試寫出：(1)樣本空間 S。　(2)骰子點數為偶數且硬幣出現反面的事件。

例題3 由甲、乙、丙、丁四人中任選兩人參加比賽，試寫出： (1)樣本空間 S。 (2)乙入選的事件 E。

例題3 (續)

隨堂練習3 由1到10共10個自然數中，每次取一個數，試寫出： (1)樣本空間 S。　(2)取到質數的事件 E。

2-3 2-3 機 率

2-3.1 機率的定義 定義2.1

2-3.1 機率的定義 這個定義是由法國數學家拉普拉斯（Pierre Simon Laplace）所提出的，所以又稱拉普拉斯古典機率。

例題1 投擲一粒公正骰子（即各種點數出現的機會相等），試求下列各事件發生的機率： (1)點數為奇數點。　　(2)點數為3的倍數。

例題1 (續)

隨堂練習1 同時投擲三枚均勻硬幣，試求下列事件發生的機率： (1)恰有二個反面。　　(2)至少有一個反面。

例題2 同時投擲兩粒公正骰子，試求點數和小於10的機率。

例題2

例題2 (續)

隨堂練習2 投擲二粒公正骰子，求下列各事件發生的機率： (1)點數和為6。　(2)至少有一粒出現6點。

例題3 甲、乙、丙三人合住一室，每天抽籤決定一人打掃，試求在三天中恰好每人各打掃一天的機率？

隨堂練習3 三張牌分別寫上1，2，3號碼，任意分給2位男生和1位女生各一張牌，求女生分到3號牌的機率？

例題4 設袋中有10顆大小相同的球，其中2顆是白球，3顆是紅球，5顆是黑球，甲自袋中隨機同時取3顆球，每顆球被取出的機會均等，試求這三顆球皆異色的機率。

例題4 (續)

隨堂練習4 一個袋子中有5顆紅球、3顆白球、2顆黑球和1顆黃球，如果球的大小、重量皆一樣，由袋中取出二球，每顆球被取出的機會均等，球的顏色相同的機率是多少？

2-3.2 機率的性質 根據拉普拉斯古典機率的定義，我們可以導出下列機率的性質： 1.全事件的機率為1，即 P(S)。

2-3.2 機率的性質 (續)

例題5

例題5 (續)

隨堂練習5

例題6 同時投擲三粒公正骰子，試求三粒骰子中至少有一粒點數為1的機率。

例題6 (續)

隨堂練習6 同時投擲四枚均勻硬幣，求至少出現一次正面的機率。

例題7

例題7 (續)

例題7 (續)

隨堂練習7

隨堂練習7 (續)

2-4 2-4 數學期望值

2-4 數學期望值 定義2.2

2-4 數學期望值 (續) 定義2.2

2-4 數學期望值 (續) 定義2.2

例題1 投擲一粒公正骰子，若出現點數為1時，則可得30元，試求期望值。

隨堂練習1 1設袋中有大小相同的紅球3顆、白球7顆，現自袋中任取一球，每顆球被取出的機會均等，若取到紅球可得50元，取到白球可得10元，求期望值。

例題2 立軒投擲兩枚均勻硬幣，若出現兩正面可得8元，若恰出現一正面，可得4元，若出現兩反面則可得2元，求立軒的期望值。

隨堂練習2 投擲兩粒公正骰子，若出現相同點數則可得獎金600元，求期望值。

例題3 同時投擲兩粒公正骰子，若兩粒骰子出現的點數相同可得220元，否則需賠50元，求此次投擲所得金額的期望值。

例題3 (續)

隨堂練習3 立容投擲一粒公正骰子，若出現奇數點，則可得5元，若出現2或6點則損失3元，若出現4點則損失6元，求立容投擲此骰子的期望值。

例題4 某種刮刮樂彩券，總共發行10000張，其中有1張獎金300000元，有200張獎金1000元，有2000張獎金100元，試求買一張彩券可得獎金的期望值，若彩券每張售價為100元，試問購買這種彩券是否有利？

例題4 (續)

隨堂練習4 袋中有十元硬幣5枚、五元硬幣20枚，立雯由袋中任取一枚，求期望值。

例題5 某人自一整副全新的撲克牌中隨機抽牌，每次一張，抽出後放回，如此抽了三次，求抽出黑桃張數的期望值。

例題5 (續)

隨堂練習5 某種刮刮樂彩券有8格，其中300元，500元，800元，1200元各佔有二格；今任意排列，顧客任意刮二格。若刮出的二格金額相同，即可得此金額獎金，則顧客對此彩券的期望值為多少元？

隨堂練習5 (續)

例題6 有一單選題，共有四個選項，其中恰有一選項是正確的。若答對此題可得6分，答錯則倒扣 x 分。為了公平起見（即考生以猜答方式答題在此題得分的期望值為0），則 x 的值應為多少？

例題6 (續)

隨堂練習6 立雯投擲兩粒公正骰子，若點數和為質數，可得7元，為了公平起見，若點數和不為質數，則立雯應賠幾元？

End