第二节 留 数 一、留数的引入 二、利用留数求积分 三、在无穷远点的留数 四、典型例题 五、小结与思考
一、留数的引入 设 为 的一个孤立奇点; 的某去心邻域 . 邻域内包含 的任一条正向简单闭曲线 内的洛朗级数: 在
(高阶导数公式) 0 (柯西-古萨基本定理)
定义 记作 的一个孤立奇点, 则沿 内包含 的 任意一条简单闭曲线 C 的积分 的值除 后所得的数称为 以 如果
二、利用留数求积分 1.留数定理 函数 在区域 D内除有限个孤 立奇点 外处处解析, C 是 D内包围诸奇 点的一条正向简单闭曲线, 那末 说明: 2. 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求 被积函数在C内各孤立奇点处的留数.
证 如图 . 两边同时除以 且 [证毕]
2.留数的计算方法 (1) 如果 为 的可去奇点, (2) 如果 为 的本性奇点, 展开 则需将 成洛朗级数求 (3) 如果 为 的极点, 则有如下计算规则 规则1 如果 为 的一级极点, 那末
规则2 如果 为 的 级极点, 那末 证
两边求 阶导数, 得 +(含有 正幂的项) [证毕]
设 及 在 都解析， 规则3 如果 那末 为 且有 的一级极点, 证 的一级零点, 为 的一级极点. 为
因此 其中 在 解析且 解析且 在 为 的一级极点,
三、在无穷远点的留数 1.定义 设函数 在圆环域 内解析， C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线， 记作 注意积分路线取顺时针方向 说明
2.定理二 如果函数 在扩充复平面内只有有限个 孤立奇点, 那末 在所有各奇点 (包括 点) 的留数的总和必等于零. 证 (绕原点的并将 内部的正向简单闭曲线) 包含在 . 由留数定义有: [证毕]
说明: 由定理得 (留数定理) 计算积分 计算无穷远点的留数. 优点: 使计算积分进一步得到简化. (避免了计算诸有限点处的留数)
3.在无穷远点处留数的计算 规则4 说明: 定理二和规则4提供了计算函数沿闭曲线 积分的又一种方法: 此法在很多情况下此法更为简单.
证 现取正向简单闭曲线C为半径足够大的 正向圆周 : 于是有
内除 在 外无其他奇点 . [证毕]
四、典型例题 例1 求 在 的留数. 解
例2 求 在 的留数. 分析 是 的三级零点 由规则3得 计算较麻烦.
解 如果利用洛朗展开式求 较方便:
说明: 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 如 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时, 可直接展开洛朗级数求 来计算留数 . 2. 在应用规则2时, 为了计算方便一般不要将m 取得比实际的级数高. 但有时把m取得比实际的 级数高反而使计算方便. 如上例取
例3 求 在 的留数. 解 是 的四级极点. 在 内将 展成洛朗级数:
例4 计算积分 C为正向圆周: 解 为一级极点, 为二级极点,
例5 计算积分 C为正向圆周: 函数 在 的外部, 除 点外没有 解 其他奇点. 根据定理 2与规则4:
与以下解法作比较 : 被积函数 有四个一级极点 都 在圆周 的内部 , 所以 由规则3
可见, 利用无穷远点的留数更简单. 例6 计算积分 C为正向圆周 : 除 被积函数 解 点外, 其他奇点为
则 由于 与 1在C的内部, 所以
五、小结与思考 本节我们学习了留数的概念、计算以及留数 定理. 应重点掌握计算留数的一般方法,尤其是极 点处留数的求法, 并会应用留数定理计算闭路复 积分.
思考题
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