如何认识数学课程与教学 太原师范学院数学系 韩龙淑

话题背景? 《义务教育数学课程标准》2011年版已经颁布，数学课程、教材、教学、评价等方面均进行了相应的变革。 数学课程实施的关键在于数学教师。 数学教师实施课程主要在课堂教学中—体现在教师的教学行为中。 什么影响教学行为？什么改善教学行为？

观念影响行为、观念改变行为，观念决定行为。 教育思想、教育教学观念及认识等影响和制约着教学行为。 智慧型教师的特点：科学合理的教学观念或认识 作为一位数学教师，确立了科学、合理的数学教 学观念，才能指引教师在日常教学中遵循教学规律， 优化课堂教学行为，使教学效果不断提升，教学能力 与日俱增（新理念提法的不妥）。

不变：不断深化数学课程与教学的认识 如果说有了新课程，你没有科学、合理的认识，教学质量会大打折扣。 因此“如何认识数学课程与教学”是一个根本的问题，每个教师对数学教学如何认识是最主要的，然后才涉及到教学设计与实施的具体细节。 目前义教数学课程标准修订---教材变化 课程的变革是永恒的，稳定是暂时的 如何适应变革——观念、认识 不变：不断深化数学课程与教学的认识

如何认识数学课程与教学？ 数学－数学课程－数学学习－数学教学－数学信息技术—数学解题

一、如何认识数学——确立合理的数学观 数学与理化生等实验科学的差别？ （三角形内角和） 数学命题的正确与否：证明、反例

数学中也需要实验，包括： 实物实验：不等式与天平、三视图、菱形衣架 模型实验：平行四边形活动教具、矩形折纸 同底数幂乘法法则（实验、观察、归纳等） 六根火柴摆四个三角形、一张纸对折30次 思想实验：头脑中的实验 数学侧重培养动脑，培养智慧。

认识数学：数学是思维的科学 （理性思维见长） （链接课件：位置的确定、池塘里有多少条鱼？） 学生的思维在同一层次上低水平重复 避免过分注重外部、表层操作或热闹而轻内部、深层思维的现象。

动手操作—直观感知——推理论证（动脑） 菱形判定（对角线互垂） 我们追求的是数学、行为、心理共同参与的活动．（行为参与、认知参与（思维）、情感参与） 一位教师之所以深刻，就在于他善于搅动学生思维的涟漪，把课堂的温度建立在学生思维的深度上。（思维的深层参与）

初中数学需要借助直观，但不能停留于直观，而应上升到思维。数学思维层次的交流才是数学交流的本真所在。（量、画、做）思维层次：菱形性质（全等） 目前新课程中对几何处理的问题？ 课标2011年版： 加强逻辑推理，四边形单元：探索并证明 《义务教育数学课程标准（2011年版）》增加了下列定理的证明：垂径定理，圆周角定理及推论，切线长定理。但是，不要求运用这些定理证明其他命题。

数学思维离不开数学推理 歌德 公鸡归纳法 性质判断（三段论）菱形 关系判断 演绎推理 归纳推理（不完全归纳） 类比推理 直觉 合情推理

直觉与逻辑不符

数学思维的价值 认识数学的价值 科学价值、应用价值、智力价值、认识价值、精神价值、美学价值。 数学的最大价值——发展人的思维——使人变得聪明 据科学家预测，人的头发根数不超过20万，太原市总人口为300多万，试说明太原市人口中至少有2人的头发根数一样多？ 人的头发根数问题（直接数无法解决） 一般化（多余20万人口的地区） 绳子自然打结问题

二、如何认识数学课程—树立合理 的数学教材观 二、如何认识数学课程—树立合理 的数学教材观 （一）树立合理的教材观 案例：天平中的游戏、爬行最慢的哺乳动物课例、我变胖了、希望工程义演、数怎么不够用了、去括号法则、平行相交线章头图、台球桌面上的角、公式法。 认识负数、公式法课例（人教版：能否也用配方法得出一般形式的解呢？） 新课程中一标多本的现状：简略、隐蔽。 课标作为案头书

北师大版四年级数学上册 七 生活中的负数                                                                                                                                                                                                                                                                                                             

要想使用好新教材，对教材的认识是关键，即树立什么样的教材观。 如教材是“范本”，是“金科玉律”，是“材料”，教材是“载体”……，教材是“教学资源”，这些不同的认识，反映到教学行为中，对教材的使用更可能有天壤之别。 如把教材看作“范本”或“金科玉律”的教师，在教学中则是“教教材”，体现为过分依赖教材，教材上有的不敢不教，教材上没有的不做补充。把“以教材为本”，不敢越雷池一步作为处理教材的原则，因而使教学效果大打折扣。

因此教材是教学用的基本材料，是教学活动的载体和资源，需要树立“用教材教”而不是“教教材”的教材观。 （天平中的游戏、爬行最慢的哺乳动物、去括号法则、我变胖了、希望工程义演、台球桌面上的角课例） 教材的价值从某种角度来说最终要通过教师的教学智慧来实现。 因而关键在于如何创造性地使用教材，这也正是一些智慧型教师无论使用什么教材，无论课程改革的理念如何变化，他们的教学总能受到好评的一个重要原因。

（二）创造性地使用教材（科学合理） 在教学中教师不应受限于教材，而应在理解教材、把握教材的基础上，根据教学目标、所带班级学生的需要和学习特点做适度的延伸或对内容做适当的调整。 当学生的认识水平高于教材内容时，可根据教学实际略去或加强某些教学内容，最终使学生把握数学问题的本质。 (矩形：直角三角形斜边的中线、菱形面积问题）

对于教材教师需有钻进去的力量，还要有飞出来的底气。 菱形定义（理解）及性质课例——探索并证明） 当教材中有些素材不充分或与学生已有的知识经验差别较大而不利于学生学习时，则需要教师及时补充与学生已有知识和经验相贴近的素材。 因此以学生已有的知识经验、思维水平为依据，灵活地驾驭教材，创造性地使用教材显得尤为重要。 （创造前提——用好教材、科学合理）菱形面积推广 招聘教师的课例（分数的基本性质,男生例子错误） 对于教材教师需有钻进去的力量，还要有飞出来的底气。

使用教材的过程本身也应是数学教师成长和发展的过程。 何况尽善尽美的教材事实上是不存在的，也是不可能存在的，再好的教材也会有局限性或不适应性，也需要教师去补充、去创造、去升华。 作为数学教师应创造性地使用教材，活用教材，从而使教材的缺憾通过教师的创造性劳动得以弥补。

鱼就是鱼 知识不是仅通过教师传授得到，而是学习者在与情境的交互作用中建构的。 理解依赖个人的经验，知识是个体与外部环境交互作用的结果，人们对事物的理解与个体的先前经验有关。 知识不是仅通过教师传授得到，而是学习者在与情境的交互作用中建构的。

冬天 ：对于“明天的气温是今天气温2倍”的信息．各地有不同的反应： （1）一位南方的网友作出的第一反应是：“明天升温了”； （2）一位北方的网友作出的第一反应是：“明天降温了”； （3）另一位北方的网友作出的第一反应是：“明天的气温没有变化”

三、如何认识数学学习—树立合理的 数学学习观 三、如何认识数学学习—树立合理的 数学学习观 （一）数学学习是在学生已有数学知识、经验基础上的主动积极的有意义学习过程. （位置的确定、去括号、公式法、矩形、菱形案例）

备课、教学设计时，学情分析：需考虑学生，学习今天的数学知识时，学生已有的知识、经验有哪些？（生长点） 教学时重在激活学生头脑中与新知识有实质性联系的经验和知识。通过新旧知识之间的相互作用，启发学生从原有知识经验中自然生长出新的知识和经验——使学生产生内在的学习需求。 （新知识与学生头脑中已有的知识经验建立自然的、内在的实质性联系）

避免走极端 （1）不考虑学生已有的数学知识和经验简单告诉 （配方法、一元二次方程的公式法） （2）数学问题情境的创设不自然、不简明、牵强附会、冗长（物体的位置、概率课例） 为情境而情境,未与数学内容建立内在联系,未突出数学问题的本质.

数学课程标准中虽然倡导采用“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式展开教学，但并不意味着问题情境必须来源于生活实际，数学毕竟不同于生活。 事实上并非每一数学内容都要找到其现实原型，在无合适的实际问题情境时，学生认知结构中与新学习内容有自然的、内在的逻辑联系的已有数学知识和观念，本身就是很好的问题情境。（一元二次方程的求根公式）主动积极如何体现？

有研究人员做过这样的实验：把一群刚出生的小白鼠分成三组，让第一组的小白鼠不进行任何训练，只是让其吃饱睡好；让第二组的小白鼠进行简单机械的重复训练；第三组的小白鼠进行丰富多样的训练。 这样训练一段时间后发现，第三组的小白鼠大脑皮质生长最快，脑容量最大，比其他两组的小白鼠大脑发育都要好； 但令人震惊的是，第二组小白鼠的大脑发育甚至比第一组的还要差，也就是说，进行简单机械的重复训练严重危害了大脑的发育，其危害甚至大于不进行任何训练 .

数学知识的学习不能建立在大量的机械练习之上，应建立在理解的基础上。 苏联著名哲学家伊里英科夫指出：“损坏思维的器官要比损坏人体的任何一个别的器官都要容易得多，而要医治好它却很困难。如果治晚了，要想医治好就根本不可能。毁坏脑子和智力的最‘可靠’的方法之一，就是形式主义地死记知识。 恰好是数学教师也许比别的教师具有很大的优势可以毁坏学生的脑子，强迫他们不理解意义地死记数学知识，不理解所进行的运算和操作的实质去解题。特殊四边形、特殊角的三角函数

牛羊、船长年龄问题 中国的小学生有92.5% 给出答案 法国四年级小学生给答案的为65% 美国小学生给答案的为12% 0.5x=1

熟能生巧吗？ 熟能生厌 熟能生巧 熟能生笨 熟能生厌 熟能生巧 熟能生笨 应用 精确 速度慢 有错误 自动化 获得 自动化 获得 应用 精确 标准速度 精确 速度慢 有错误 时间与练习增加 熟能生厌 熟练维持 自动化 获得 流畅建立 熟能生巧 熟能生笨 熟能生厌 熟练维持 自动化 获得 流畅建立 熟能生巧 熟能生笨 应用 标准速度 精确 速度慢 有错误 时间与练习增加 应用 标准速度 精确 速度慢 有错误 时间与练习增加 应用 标准速度 精确 速度慢 有错误 时间与练习增加

（二）关于合作学习的度 合作学习流于形式（太原、南京、忻州实验） 数学是思维的科学,数学学习中的合作交流要建立在学生独立思考的基础上.（分工与合作） 课标修订版：认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等都是学习数学的重要方式。 数学学习中哪些需合作学习？

合作学习方式 合作，至少有三种： （1）力量不够时大家“通力合作”（掷硬币） （2）人手不够时需要“分工合作”（粉刷教室、圆周角定理的证明。） （3）不同思考之后的“交流合作”（探索多边形的内角和）。

目标的变化 发现问题 提出问题 分析问题 解决问题 “四个能力” 分析问题 解决问题 “两个能力”

（三）关于反思性数学学习（课题研究） 课标修订版：反思质疑的学习习惯 四能：发现、提出、分析、解决问题能力 反思性数学学习是学习者对自身数学学习活动的过程及活动过程中涉及到的有关事物、材料、信息、思维、结果等学习特征的反向思考。 反比例函数、矩形

课标2011年版：体会数学知识之间、数学与其它学科、生活之间的联系。（知识结构网——四边形） 对学习活动中有联系的问题进行反思。 例如对勾股定理进行反思，提出问题： 1、锐（钝）角所对边的平方与其他两边平方和的关系。

2、从几何意义上进行反思，勾股定理说明直角三角形中以斜边为边向外作的正方形面积等于以两直角边为边向外作的正方形面积的和。 通过反思提出直角三角形中以斜边为边向外作的正n边形的面积与以其他两边为边向外作的正n边形的面积有何关系？一般n边形又如何？ 3、在直角三角形中若以三边为直径向外作半圆其面积有何关系呢？若以三边为直径作球，其体积之间有何关系呢？由此发现新问题，需研究 的符号。进一步提出问题 的大小关系如何？

对结果反思 因式分解： 引申： 1、4个连续自然数的乘积加1为完全平方数。 2、 时、4个连续自然数的乘积不为完全平方数。 3、求 4、求证 是有理数。 5、解方程

反思性学习学法参考（提示语） 1．每日（周）回顾 学生可自己问自己： 今天主要学习了哪些内容？我是否理解了这些内容？我是如何理解的？它是怎么得来的？它与已学的哪些知识相关？能否把它们联系起来？哪些内容学起来感到困难？如何进一步理解？学习中渗透或体现了哪些思想或方法？ 今天主要学习了哪些类型的问题？它们是用什么方法解决的？我欣赏的好题目有哪些？它们好在什么方面？学习过程中积累了哪些学习经验？走过哪些弯路？自己是如何进行调节的？今后如何避免？

2 对待错解（作业、试卷分析等，在作业本、试卷留白处） 学生可自己问自己： 我的解法错在哪里？是什么原因导致出错？（是看题、理解题意方面的错误？运算方面的错误？知识欠缺引起的错误？解题方法的错误？思考方式的错误？或者是别的错误）如何纠正这些错误？对今后解题有什么启示（积累了哪些解题经验？今后如何避免同样的错误重复出现？）

3．回顾解题的过程（花时间多或思路受阻的题） 学生可自己问自己： 开始时自己是如何探索的？走过哪些弯路？为什么会出现这些弯路？思维受阻的原因何在？自己是如何调节解题的思维方向，发现解题念头的？能不能概括出一些解题的经验和一般性规律。

四、如何认识数学教学—树立合理的 数学教学观 四、如何认识数学教学—树立合理的 数学教学观 （一）理解教学—“教学重在教学生学” 无教的学，有教的学，无学的教，有学的教 课堂教学应是在“有教的学”的基础上体现“有学的教”(引起学生的学习意向) 案例：一元二次方程求根公式、分式、菱形判定 从教学的角度来理解即是要把教师的“教”建立在学生的“学”的基础之上，从学生学习数学的特点出发，遵循数学学习的特点和规律。“教”的法子要根据“学”的法子。 陶行知：先生的责任不在教，而在教学，教学生学。

【案例】建构“分式”概念 由几个简单的实际问题建立起几个方程(创设情境，提出问题) 这三个方程你们是不是都会解？——右边两个不会解。 为什么不会解？你们发现了什么？——其中有从没见过的符号。 哪些符号没见过？—— 保留有分数线的式子，擦去其它符号 它们有什么不同？能不能对它们做个分类？ 它们分别有什么特点？—— 一组 未知量x 不在分母上 一组 未知量x 在分母上 能不能给右边这组代数式 下个定义？

教学——重在教 学生“学” —— 学 提出 问题(课题) ， ▪教学生“学什么”？ ▪ 教知识？教思考？ 教学生—— 通过 学习知识 学会思考 —— 学 提出 问题(课题) ， —— 学 寻找 解决问题的方法， —— 学 建构 新概念、新方法， —— 学 研究问题 的一般方法； “学思考” 数学教学重在教学生“学会数学地思考”（直观感知、抽象分析、推理）

学习了统计知识初步后，联想歌手电视大奖赛上，10个评委亮分后，为什么要去掉最高分和最低分？（熟知未必真知？数学眼光）学会提问题 例：全班有30名学生，某次测试成绩如下，5个90分，22个80分，1个2分，1个10分，某甲78分，则平均值 分

（二）理解数学教学 ≌ 1.数学教学是自然、合乎情理的 数学是自然的、数学是清楚的 数学的一切概念、公式、定理、方法，是因为解决问题的需要自然产生的（人情味） 世界上没有“没有为什么的事物” ≌ ＜， ＞，周长 （情境创设自然、知识引入自然、教学环节衔接自然、讲授、结论的思路分析自然、多媒体、结束…） 让鲜活的数学知识和思想在课堂教学（学生头脑）中自然流淌出来。

天平中的游戏、爬行最慢的哺乳动物 相交线章头图、台球桌面上的角、希望工程义演、我变胖了、你今年几岁了课例 2.数学教学——体现“数学味”。 数学课首先要关注数学,关注学生在数学上的进步． 俗话说，数学课不仅要有温度，还要有浓度。 避免过分注重生活化，而没有了数学味。

3.数学教学——把握数学的本质 （美国小学学习“集合”的课例） 非本质属性的泛化 透过现象看本质：我变胖了,希望工程义演、公式法、菱形对角线、菱形面积推广、反比例函数 本质：变中不变性——数学课堂的灵魂。 例题的典型性、代表性、层次性 教与数学对应——数学味——数学的特点——数学问题的本质。 数学教学的实质即是教学生学数学，是数学思维活动的教学,是体现数学味、突出数学本质的教学

喝汽水问题 已知3个空汽水瓶可以换1整瓶汽水．现有10整瓶汽水．若不添钱，问最多共可喝几瓶汽水？(整瓶汽水指瓶子带盖装好的汽水) 反思分析：其中最富于智慧的就在于“借一还一”？它的实质是什么？我们通过下图的直观启发

课标2011版课程目标的变化 基础知识 基本技能 “双基” 基础知识 基本技能 基本思想 基本活动经验 “四基”

（米山国藏）作为知识的数学，若不从事数学工作，通常是出校门后不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，那些深深地铭刻于头脑中的数学的精神、思想方法、研究方法、推理方法和着眼点等（若培养了这方面的素质的话）却随时随地发挥作用，使他们受益终身。（农夫的故事、五台山）数学眼光、观念、数学意识 4 数学教学——把握数学基本思想 化归、形数结合、分类讨论、推理论证、抽象分析、模型化 数学活动经验：动作技能性经验、情感体验性经验、认知经验（归纳推理、演绎推理经验）。

（三）认识数学教学方法--以启发式教学思想为指导，多种方法综合运用 教学有法，教无定法，贵在得法,重在启发. “启发”一词最早来源于孔子的经典论断 论语：“不愤不启，不悱不发。举一隅不以三隅反，则不复也”。其中“愤”指发愤学习，主动积极思考问题时，有疑难而又想不通的心理状态。“启”意味着教师开启思路，引导学生解除疑惑。 “悱”指经过独立思考，想表达问题而又表达不出来的困境；“发”意味着教师引导学生通畅语言表达。

启发的时机是“愤”、“悱”之时——“欲知未知、欲言未能” 即学生达到思维激活、情感亢奋的心理状态； 启发的核心是开启学生的思维、点拨学生的思路，使学生的思维处于主动积极状态，经过思考得出问题的结论；启发的目标是举一反三。 学源于思，思源于疑

例如：一张纸对折30次估算其高度、分式、字母表示数、去括号法则、读心术、一元二次方程的求根公式、菱形面积公式等问题。 学生进入欲知还未知，欲言还未能的 “愤”、“悱” 状态。（经历认知冲突、疑难、问题、困惑） 课标2011年版：倡导启发式教学

导学案 怎么启发引导？——提示与暗示 教师 通过适当的引导语 给学生以必要的 提示和暗示。 学生 通过自己的思维活动 获得 提示和暗示。 启发式的核心是“问题”，什么样的问题？——启发性提示语 （不是简单告诉） 相似三角形：反比例函数复习：凭什么相似 直角三角形斜边性质辅助线做法。

数学启发式教学思想贯穿的基本过程主要包括： 教学发动——创设“愤悱”的教学情境，引起学生思维的疑难、问题、困惑，产生内在的学习需求等； 学习保持——学生行为、情感和认知的深层参与，通过寻找、搜索和探究的活动，求得解决疑难、处理困惑的路径； 正确导向——教师运用启发性提示语朝着每个学生获益的方向适时适度地开启引导，使学生逐步学会自我启发和探究。

课标2011年版倡导启发式讲授—形成认知和情感的不平衡态势、学习需求、激思导悟——使学生感到数学教学是自然的、合乎情理的。 讲授不是注入的代名词（婴儿洗澡水） 课标2011年版倡导启发式讲授—形成认知和情感的不平衡态势、学习需求、激思导悟——使学生感到数学教学是自然的、合乎情理的。 有时课堂表面安静，学生的思维机器高速运转，润物细无声，随风潜入夜。学生其言皆若出于吾之口，其意皆若出于吾之心。 避免注入式的讲授（天上、兔子）

五、如何认识信息技术-把握运用的力度 计算器、计算机的日益普及使学生利用教育技术学习数学内容成为可能。 《标准》中提倡实现信息技术与数学内容的整合，整合的基本原则是使信息技术与数学内容高度和谐、自然地有机融合。 信息技术包括：使用小黑板、直观教具．自制简单适用的挂图、教具常可取得好的效果，如果可能，还可使用幻灯、实物投影、多媒体等现代化教学手段．

特殊四边形直观教具、折纸 莫比乌斯带的运用（演示直观图和模型）车间传送带、磁带 是一种拓扑学结构，它只有一个面（表面）单侧曲面。

多媒体动态、直观、美观性 传统的未必就是不好的。 现代的未必就是有效的。 教学过程是十分复杂、细腻的过程，是学生的认知过程和建构过程，同时也是师生情感交流的过程。

无论什么时候, 信息技术只是教学的辅助手段。 数学中的板书是不可少的（启发性、示范性、整体性、鲜明性），必要的画图、分析归纳、运算推理和证明等均应在教学过程中自然流露给学生，不能用技术化替代数学化的过程。 信息技术的价值：利用原有教学手段难以达到甚至达不到或多花时间的内容可考虑用。 无论什么时候, 信息技术只是教学的辅助手段。

教之道在于度，学之道在于悟 情境创设的度 合作学习的度 启发、讲授引导的度（防止导学案的异化） 多媒体运用的度 真理往往就在两个极端之间——寻找中间地带 适度淡化形式、注重实质 教学模式不是模式化——僵化 数学学习离不开解题：学会欣赏题目——认识力、判断力、鉴赏力。教师走进题海研究好题

美籍匈牙利数学家波利亚认为：如果一个数学教师连非常规问题都没有解决过，从没有历过经发现的紧张和成功的喜悦，如果他也看不到自己的学生有过这种紧张与成功，那末他就应该另找职业，而不应再教数学。

2009太原市中考题 27（本小题满分8分） 某中学九年级有8个班，要从中选出两个班代表学校参加社区公益活动．各班都想参加，但由于特定原因，一班必须参加，另外从二至八班中再选一个班．有人提议用如下的方法：在同一个品牌的四个乒乓球上分别标上数字1，2，3，4，并放入一个不透明的袋中，摇匀后从中随机摸出两个乒乓球，两个球上的数字和是几就选几班，你认为这种方法公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 1 2 3 4

一次摸球可能出现的结果列表如下： （1，1）（1，2）（1，3）（1,4）（2，1）（2，2）（2，3）（2,4）（3，1）（3，2）（3，3）（3.,4）（4，1）（4，2）（4，3）（4,4） 4分 一次摸球出现的结果共有16种可能的情况，且每种情况出现的可能性相同．其中和为2的一种，和为3的两种，和为4的三种，和为5的四种，和为6的三种，和为7的两种，和为8的一种． 6分 和为2概率=和为8= 和为3概率=和为7= 和为4概率=和为6= ，和为5= 7分 因为二班至八班各班被选中的概率不全相等，所以这种方法不公平 8分 评分说明：只要计算出二至八班中有两个班被选中的概率不相等，就可得分．

如图△ABC的面积为S，A’、B’、C’分别为点A关于B、B关于C、C关于A的对称点，试探求△ A’B’C’的面积与原△ABC的面积S的关系 。若给定四边形ABCD，用上述类似方法得到的四边形的面积与原四边形面积有何关系？若给定的是正五边形又如何呢？通过对解题过程和结论的反思能得到哪些有意义的结论？ （太原市初中毕业综合测试题）

1.若顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则原四边形一定是( ) A.等腰梯形 B.对角线相等的四边形 C.平行四边形 D.对角线互相垂直的四边形 2.下列图象中，以方程y-2x-2=0的解为坐标的点组成的图象是

六、如何认识数学解题-树立合理的解题观 数学学习离不开解题； 数学学习的主要任务不是解题，而是学习解题； 通过有限问题的解决获得解决无限个问题的数学机智！（母题——解题链——题网）

回顾 深化对数学的认识:确立正确的数学观 深化对数学课程的认识:树立合理的数学教材观 深化对数学学习的认识—树立科学的数学学习观 已有知识经验的建构、合作学习的度、反思性学习 深化对数学教学的认识—树立合理的数学教学观 “教学”“数学教学” 数学教学方法：以启发式教学思想为指导， 多种方法综合运用：讲授、问答、发现、讨论、自学辅导等 深化对信息技术的认识-把握其运用的力度 深化对数学解题的认识-树立合理的解题观

中国教师缺什么？ 研究能力（新手——熟手——研究型教师） 教师即研究者 只教不研—教学可能低效 教学仅仅凭经验还不够，没有理论指导的实践可能会导致盲目和低效。 经验+理论+反思 教学：科学、艺术 让今天比昨天教得更好。

我不是你的老师， 我是你人生旅途中的旅伴； 你向我问路，我指给我们俩的方向！” 好老师一路平安！ 谢谢!

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