算法设计与分析 第二章 递归与分治策略 杨圣洪

学习要点: 理解递归的概念。 掌握设计有效算法的分治策略。 通过下面的范例学习分治策略设计技巧。 （1）二分搜索技术； （2）大整数乘法； （3）Strassen矩阵乘法； （4）棋盘覆盖； （5）合并排序和快速排序； （6）线性时间选择； （7）最接近点对问题； （8）循环赛日程表。

第2章 递归与分治策略 本章主要知识点： 计划授课时间：6～8课时 2.1 递归的概念 2.2 分治法的基本思想 2.3 二分搜索技术 2.4 大整数的乘法 2.5 Strassen矩阵乘法 2.6 棋盘覆盖 2.7 合并排序 2.8 快速排序 2.9 线性时间选择 2.10 最接近点对问题 2.11 循环赛日程表 计划授课时间：6～8课时

2.1 递归的概念 直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。 在计算机算法设计与分析中，使用递归技术往往使函数的定义和算法的描述简洁且易于理解。 下面来看几个实例。

2.1 递归的概念 例1 阶乘函数 可递归地定义为：高低 其中： n=0时，n!=1为边界条件 n>0时，n!=n(n-1)!为递归方程 边界条件与递归方程是递归函数的二个要素，递归函数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出结果。 T=1;for (i=2;i<n+1;i++) {T=T*i;} 循环低高

2.1 递归的概念 小兔子问题 例2 Fibonacci数列 第n个Fibonacci数可递归地计算如下： public static int fibonacci(int n) { if (n <= 1) return 1; return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); } pubic static int fibonacciLoop(int n){ f0=1;f1=1; for (i=2;i<=n;i++){f2=f0+f1;f0=f1;f1=f2;} return f1;}

2.1 递归的概念 例3 Ackerman函数 当一个函数及它的一个变量是由函数自身定义时，称这个函数是双递归函数。Ackerman函数A(n，m)定义如下： 前2例中的函数都可以找到相应的非递归方式定义。 但本例中的Ackerman函数却无法找到非递归的定义。

2.1 递归的概念 A(n，m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量函数： 无法找到循环函数-非递归方式 M=0时，A(n,0)=n+2 M=1时，A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2，和A(1,1)=2故A(n,1)=2*n M=2时，A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2)，和A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2，故A(n,2)= 2n 。 M=3时，类似的可以推出 M=4时，A(n,4)的增长速度非常快，以至于没有适当的数学式子来表示这一函数。 无法找到循环函数-非递归方式

2.1 递归的概念 例4 排列问题 递归算法生成n个元素{r1,r2,…,rn}的全排列。 设R={r1,r2,…,rn}是要进行排列的n个元素，Ri=R-{ri}。去掉元素ri。 集合X中元素的全排列记为perm(X)。 (ri)perm(X)表示在全排列perm(X)的每一个排列前加上前缀得到的排列。 R的全排列可归纳定义如下： 当n=1时，perm(R)=(r)，r是集合R中唯一的元素； 当n>1时，perm(R)由(r1)perm(R1)，(r2)perm(R2)，…，(rn)perm(Rn)构成。

2.1 递归的概念 例5 整数划分问题 将正整数n表示成一系列正整数之和： n=n1+n2+…+nk， 其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。降序 正整数n的这种表示称为正整数n的划分。 求正整数n的不同划分个数。 例如正整数6有如下11种不同的划分： 6； 5+1； 4+2，4+1+1； 3+3，3+2+1，3+1+1+1； 2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1； 1+1+1+1+1+1。

2.1 递归的概念 如果设p(n)为正整数n的划分数则难以找到递归关系 换函数q(n,m) ：最大加数n1  m 时n的划分个数。 q(n,1)=1，n≥1；最大加数  1时，任何正整数n只有一种划分形式：n=1+1+...+1(共n个)。 q(n,m)=q(n,n)，m≥n；最大加数n q(1,m)=1。 q(n,n)=1+q(n,n-1)；n的划分={最大加数=n的划分}{最大加数≤n-1的划分}。 q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m),n>m>1；最大加数 m的划分={最大加数≤m-1 的划分}{最大加数n1=m的划分} = ={最大加数≤m-1 的划分}{最大加数n1+(n-n1)即(n-m)<m的划分} 。

2.1 递归的概念 正整数n的划分数p(n)=q(n,n)。

2.1 递归的概念 例6 Hanoi塔问题 设a,b,c是3个塔座。开始时，在塔座a上有一叠共n个圆盘，这些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号为1,2,…,n,现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座b上，并仍按同样顺序叠置。在移动圆盘时应遵守以下移动规则： 每次只能移动1个圆盘； 任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上； 在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a,b,c中任一塔座上。 public static void hanoi(int n, int a, int b, int c) { 　if (n > 0) 　{ 　　hanoi(n-1, a, c, b); 　　move(a,b); 　　hanoi(n-1, c, b, a); 　} } 思考：如果塔的个数变为a,b,c,d四个，现要将n个圆盘从a全部移动到d，移动规则不变，求移动步数最小的方案。

2.1 递归的概念 5个盘子循环 2号到C：5 1 234 1号顺移C:5 _ 1234 到B：_ 5 1234 1号顺移A:1 5 234

2.1 递归的概念 递归小结 优点：结构清晰，可读性强，且用数学归纳法证明正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。 缺点：递归运行效率较低，时间,空间比非递归多。 解决方法：消除递归调用，使其转化为非递归算法。 采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作栈。该方法通用性强，但本质上还是递归，只不过人工做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。 用递推来实现递归函数。 通过Cooper变换、反演变换能将一些递归转化为尾递归，从而迭代求出结果。 后两种方法在时空复杂度上均有较大改善，但其适用范围有限。 讨论题：递归的执行过程如何？

2.2 分治法的基本思想 凡治众如治寡，分数是也。 分治法的基本思想 将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同。 对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。 将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。 将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。 凡治众如治寡，分数是也。 ——孙子兵法

练习 1,算法分析的基本原则有哪些？ 2,试设计一算法，实现有31个网球运动员参加比赛的循环赛日程表。且简要分析你设计算法的时间和空间复杂性。31*31矩阵,主对角线为0,每行中1-31只能出现一次,每列也是如此. 讨论题： 什么时候可使用递归？ 程序中递归的执行过程如何？

2.2 分治法的基本思想 分治法的适用条件 分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征： 1,该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； 2,该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质 3,利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解； 4,该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。 这条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然也可用分治法，一般用动态规划. 能否利用分治法完全取决于问题是否具有这条特征，如果具备了前两条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心算法或动态规划。 因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加，因此大部分问题满足这个特征。 这条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用

2.2 分治法的基本思想 分治法的基本步骤 divide-and-conquer(P) { 　if ( | P | <= n0) adhoc(P); //解决小规模的问题 自治 　divide P into smaller subinstances P1,P2,...,Pk；//分解问题 　for (i=1,i<=k,i++) 　yi=divide-and-conquer(Pi); //递归的解各子问题 　return merge(y1,...,yk); //将各子问题的解合并为原问题的解 } 人们从大量实践中发现，在用分治法设计算法时，最好使子问题的规模大致相同。即将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡(balancing)子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。云计算mapreduce

2.2 分治法的基本思想 分治法的复杂性分析 一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。 分解阈值n0=1，adhoc解耗费1个单位时间。 将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。 分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有（右上）。 通过迭代法求得方程解(右下) 。 注意：递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的，从而当min<mi+1时， T(mi) T(n)<T(mi+1)。

2.3 二分搜索技术 给定已按升序排好序的n个元素a[0:n-1]，现要在这n个元素中找出一特定元素x。 适用分治法求解问题的基本特征：分形术 问题规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题; 分解出的子问题的解可以合并为原问题的解； 分解出的各个子问题是相互独立的。 二分法：在a[0:i]与a[i+1:n-1]各自查找x，满足分治法的第四个适用条件。

算法及其复杂性 据此容易设计出二分搜索算法： public static int binarySearch(int [] a, int x, int n) { // 在 a[0] <= a[1] <= ... <= a[n-1] 中搜索 x // 找到x时返回其在数组中的位置，否则返回-1 int left = 0; int right = n - 1; while (left <= right) { int middle = (left + right)/2; if (x == a[middle]) return middle; if (x > a[middle]) left = middle + 1; else right = middle - 1; } return -1; // 未找到x 算法复杂度分析：每执行一次算法的while循环， 待搜索数组的大小减少一半。最坏情况任意二个相邻元素都要分划到，即2m=n,log2n=m因此，，while循环被执行了O(logn) 次。循环体内运算需要O(1) 时间，因此整个算法在最坏情况下的计算时间复杂性为O(logn) 。

4. 与正确算法BinarySearch5相比，数组段左、右游标left和right的调整不正确，导致陷入死循环。 习题2-2/p35 Template (class Type) Int BinarySearch2(Type a[],const Type& x,int n) { Int left=0;int right=n-1; While (left<right-1) { int middle=(left+right)/2; if (x<a[middle]) right = middle; else left=middle; } if (x==a[left]) return left; else return -1; } Template (class Type) Int BinarySearch1(Type a[],const Type& x,int n) { Int left=0;int right=n-1; While (left<=right) { int middle=(left+right)/2; if (x==a[middle]) return middle; if (x>a[middle]) left = middle; else right=middle; } return -1; } 4. 与正确算法BinarySearch5相比，数组段左、右游标left和right的调整不正确，导致陷入死循环。 1. 与主教材中的算法BinarySearch相比，数组段左、右游标left和right的调整不正确，导致陷入死循环。 Template (class Type) Int BinarySearch4(Type a[],const Type& x,int n) { If (n>0 && x>=a[0]) { Int left=0;int right=n-1; While (left<right) { int middle=(left+right)/2; if (x<a[middle]) right = middle-1; else left=middle; } if (x==a[left]) return left; } return -1;} 2. 与主教材中的算法BinarySearch相比，数组段左、右游标left和right的调整不正确，导致当x=a[n-1]时返回错误。 Template (class Type) Int BinarySearch3(Type a[],const Type& x,int n) { Int left=0;int right=n-1; While (left+1!=right) { int middle=(left+right)/2; if (x>=a[middle]) left = middle; else right=middle; } if (x==a[left]) return left; else return -1;} 3. 与正确算法BinarySearch5相比，数组段左、右游标left和right的调整不正确，导致当x=a[n-1]时返回错误。

2.4 大整数的乘法 设计一个有效的算法，可以进行两个n位大整数的乘法运算 小学的方法：O(n2) 效率太低 分治法: 复杂度分析 X=a2n/2+b Y=c2n/2+d XY=ac2n+(ad+bc)2n/2+bd 复杂度分析 T(n)=O(n2) 没有改进 　 n/2位 n/2位　 n/2位 n/2位 X=　　　　Y= A B C D

算法改进 为了降低时间复杂度，必须减少乘法的次数。为此，我们把XY写成另外的形式： 复杂性： XY = ac 2n + ((a-c)(b-d)+ac+bd) 2n/2 + bd 或 XY = ac 2n + ((a+c)(b+d)-ac-bd) 2n/2 + bd 复杂性： 这两个算式看起来更复杂一些，但它们仅需要3次n/2位乘法[ac、bd和(a±c)(b±d)]，于是 T(n)=O(nlog3) =O(n1.59) 较大的改进 细节问题：两个XY的复杂度都是O(nlog3)，但考虑到a+c,b+d可能得到m+1位的结果，使问题的规模变大，故不选择第2种方案。

更快的方法 小学的方法：O(n2)——效率太低 分治法: O(n1.59)——较大的改进 更快的方法？ 如果将大整数分成更多段，用更复杂的方式把它们组合起来，将有可能得到更优的算法。 最终的，这个思想导致了快速傅利叶变换(Fast Fourier Transform)的产生。该方法也可以看作是一个复杂的分治算法，对于大整数乘法，它能在O(nlogn)时间内解决。 是否能找到线性时间的算法？目前为止还没有结果。 FFT?

课堂练习 习题2-4 大整数乘法的O(nmlog3/2) 给定2个大整数u和v,他们分别有m位和n位数字，且m<=n。 1,用通常的乘法求uv的值需要O(nm)时间； 2,用教材的分治法，可以将u和v都看作是有n位数字大整数，在O(nlog3)时间内计算uv的值 ； 当m比n小得多的时候，这样分治法就不那么有效，试设计一算法，使得可以在O(nmlog3/2) 时间内求出uv的值。

2.5 Strassen矩阵乘法 n×n矩阵A和B的乘积矩阵C中的元素C[i,j]定义为： 若依此定义来计算A和B的乘积矩阵C，则每计算C的一个元素C[i][j]，需要做n次乘法和n-1次加法。因此，算出矩阵C的所有元素所需的计算时间为O(n3)

简单分治法求矩阵乘 首先假定n是2的幂。使用与上例类似的技术，将矩阵A，B和C中每一矩阵都分块成4个大小相等的子矩阵。由此可将方程C=AB重写为： 由此可得： 复杂度分析 T(n)=O(n3) 没有改进 n2=n*n个元素值加法得出

改进算法 为了降低时间复杂度，必须减少乘法的次数。而其关键在于计算2个2阶方阵的乘积时所用乘法次数能否少于8次。为此，Strassen提出了一种只用7次乘法运算计算2阶方阵乘积的方法（但增加了加/减法次数）： M1=A11(B12-B22)　M2=(A11+A12)B22 M3=(A21+A22)B11　M4=A22(B21-B11) M5=(A11+A22)(B11+B22)　M6=(A12-A22)(B21+B22) M7=(A11-A21)(B11+B12) 提取公因式，先加减后乘，还有其他方法吗？ 做了这7次乘法后，在做若干次加/减法就可以得到： C11=M5+M4-M2+M6　C12=M1+M2 C21=M3+M4　C22=M5+M1-M3-M7 复杂度分析 T(n)=O(nlog7) =O(n2.81) 较大的改进

更快的方法 Hopcroft和Kerr已经证明(1971)，计算2个２×２矩阵的乘积，7次乘法是必要的。因此，要想进一步改进矩阵乘法的时间复杂性，就不能再基于计算2×2矩阵的7次乘法这样的方法了。或许应当研究3×3或5×5矩阵的更好算法。 在Strassen之后又有许多算法改进了矩阵乘法的计算时间复杂性。 目前最好的计算时间上界是 O(n2.376) 是否能找到O(n2)的算法？目前为止还没有结果。

练习 习题2-6 矩阵乘法 对任何非0偶数n，总可以找到奇数m和正整数k,使得n=m*2k。 试设计一算法，对任何偶数n，都可以求出2个n阶矩阵的乘积。并分析算法的计算时间复杂性。 思考：当n是一非0奇数时，又该如何设计算法？

2.6 特殊棋盘覆盖 在一个2k×2k个方格组成的棋盘中，恰有1个方格与其他方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。 在特殊棋盘覆盖问题中，要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。 覆盖任意一个2k×2k的特殊棋盘，骨牌数恰好为(4K-1)/3。总格数为(2k×2k)=2k+k=22k=(22)k=4k),去1特殊格, L占3格. 4k+1-1=4*4k-1=(3+1)4k-1=3*4k+(4k-1) 数归可证4K-1为3的倍数

分治策略求解 其他三种情况， 画在黑板上 当k>0时，将2k×2k棋盘分割为4个2k-1×2k-1 子棋盘(a)所示。 特殊方格必位于4个较小子棋盘之一，其余3个无特殊方格。 为了将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处， 如 (b)！！关键。 从而将原问题转化为4个较小规模的特殊棋盘覆盖问题即4个同样的小问题,直至棋盘简化为棋盘1×1。 其他三种情况， 画在黑板上

2.6 特殊棋盘覆盖 1个格直接用特殊色盖 黑板上画 2*2时，无论特殊格在何处，只要4个L中1个 1个格直接用特殊色盖 黑板上画 2*2时，无论特殊格在何处，只要4个L中1个 4*4时，分解成4块，特殊格位置可东西南北不同小块中，连接处用不同L，推广2k*2k.

分治策略求解 CB(tr,tc,dr,dc,size): tr,tc是四小块中某块左上角在原始图中行号列号 dr,dc是该小块中不能用L型砖覆盖的地方 size:该小块宽 目标除特殊块以外，其他位置用L型砖覆盖。 其他三种情况， 画在黑板上

算法描述 void CB(int tr,tc,dr,dc,size) { if (size == 1) return; int t = tile++; // L型骨牌号 s = size/2; // 分割棋盘 // 覆盖左上角子棋盘 if (dr < tr + s && dc < tc + s) // 特殊方格在此棋盘中 chessBoard(tr, tc, dr, dc, s); else {// 此棋盘中无特殊方格 // 用 t 号L型骨牌覆盖右下角 board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t; // 覆盖其余方格 CB(tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s);} // 覆盖右上角子棋盘 if (dr < tr + s && dc >= tc + s) CB(tr, tc+s, dr, dc, s); // 用 t 号L型骨牌覆盖左下角 board[tr + s - 1][tc + s] = t; CB(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s, s);} // 覆盖左下角子棋盘 if (dr >= tr + s && dc < tc + s) // 特殊方格在此棋盘中 CB(tr+s, tc, dr, dc, s); else {// 用 t 号L型骨牌覆盖右上角 board[tr + s][tc + s - 1] = t; // 覆盖其余方格 CB(tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s);} // 覆盖右下角子棋盘 if (dr >= tr + s && dc >= tc + s) CB(tr+s, tc+s, dr, dc, s); else {// 用 t 号L型骨牌覆盖左上角 board[tr + s][tc + s] = t; CB(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s);} }

复杂度分析 说明： 复杂度分析： 整形二维数组Board表示棋盘，Borad[0][0]是棋盘的左上角方格。 tile是一个全局整形变量，用来表示L形骨牌的编号，初始值为0。 tr：棋盘左上角方格的行号；tc：棋盘左上角方格的列号； dr：特殊方格所在的行号；dc：特殊方格所在的列号； size：size=2k，棋盘规格为2k×2k。 复杂度分析： T(k)=4k-1=O(4k) 渐进意义下的最优算法

课堂思考 为什么必须是2k×2k的方格？

2.7 排序 最原始的排序方法？给出代码 冒泡法：从后往前两两比较，小的往前，一轮又一轮 给出代码 插入排序 给出代码 合并排序 自然排序 插入排序 给出代码 合并排序 自然排序 快速排序 线性时间选择

2.7 合并排序 基本思想：将待排序元素分成大小大致相同的2个子集，分别对2个子集合进行排序，将排好序的子集合合并成为所要求的排好序的集合。 直到子集中只有1个元素为止，然后再两两合并。。 递归算法描述： public static void mergeSort(Comparable a[], int left, int right) { if (left<right) {//至少有2个元素 int i=(left+right)/2; //取中点 mergeSort(a, left, i); mergeSort(a, i+1, right); merge(a, b, left, i, right); //合并到数组b copy(a, b, left, right); //复制回数组a } 复杂度分析 T(n)=O(nlogn) 渐进意义下的最优算法

算法改进 算法mergeSort的递归过程可以消去。 初始序列 [49] [38] [65] [97] [76] [13] [27] 初始序列 [49] [38] [65] [97] [76] [13] [27] 第一步　 [38 49] [65 97] [13 76] [27] 第二步　 [38 49 65 97] [13 27 76] 第三步　 [13 27 38 49 65 76 97]

非递归算法描述及其复杂性 算法描述：直接在板上演示 MergeSort MergePass Merge

Conti… 复杂性分析： 思考题：给定有序表a[1:n]，修改合并排序算法，求出该有序表的逆序对数。 自然合并排序? 最坏时间复杂度：O(nlogn) 平均时间复杂度：O(nlogn) 辅助空间：O(n) 思考题：给定有序表a[1:n]，修改合并排序算法，求出该有序表的逆序对数。 自然合并排序?

Conti… 在一种极端情况：序列已排好序 一般情况下，自然合并排序所需的合并次数较少。 自然合并排序： O(n) 合并排序：O(nlogn) 一般情况下，自然合并排序所需的合并次数较少。

课堂练习 习题2-13：n1/2段合并排序算法 习题2-14：自然合并排序算法 如果在合并排序算法的分段步骤中，将数组a[0,n-1]划分为[n1/2]个子数组，每个子数组有O(n1/2)个元素。然后递归地对分段后的子数组进行排序，最后将所得到的[n1/2]个排好序的子数组合并成所要求的排好序的a[0,n-1]。设计一个实现上述策略的合并排序算法，并分析算法的计算复杂性。 习题2-14：自然合并排序算法 对所给元素存储于数组中和存储于链表中2种情形，写出自然合并排序算法。

2.8 快速排序 快速排序是基于分治策略的另一个排序算法，其基本思想是： 分解——以ap为基准元素将ap：r划分成3段ap：q-1、aq和aq+1：r，使得ap：q-1中任何元素小于aq ，aq+1：r中任何元素大于aq ；下标q在划分过程中确定； 递归求解——通过递归调用快速排序算法分别对ap：q-1和aq+1：r进行排序； 合并——由于对ap：q-1和aq+1：r的排序是就地进行的，所以在ap：q-1和aq+1：r都已排好序后不需要执行任何计算ap：r就已排好序。 在快速排序中，记录的比较和交换是从两端向中间进行的，关键字较大的记录一次就能交换到后面单元，关键字较小的记录一次就能交换到前面单元，记录每次移动的距离较大，因而总的比较和移动次数较少。 左边比首元小右移，直到大于首元，右边比首元大左移直到小于首元 快速算法描述： template<class Type> void QuickSort (Type a[], int p, int r) { if (p<r) { int q=Partition(a,p,r); QuickSort (a,p,q-1); //对左半段排序 QuickSort (a,q+1,r); //对右半段排序 } 快速排序是对气泡排序的一种改进方法，它是由C.A.R. Hoare于1962年提出的。

分解/划分算法描述 {6, 7, 51, 2, 5, 8} 初始序列 {6, 7, 51, 2, 5, 8} j--; ↑i ↑j 分解/划分算法描述： template<class Type> int Partition (Type a[], int p, int r) { int i = p, j = r + 1; Type x=a[p]; // 将< x的元素交换到左边区域 // 将> x的元素交换到右边区域 while (true) { while (a[++i] <x); while (a[- -j] >x); if (i >= j) break; Swap(a[i], a[j]); } a[p] = a[j]; a[j] = x; return j; {6, 7, 51, 2, 5, 8} 初始序列 {6, 7, 51, 2, 5, 8} j--; ↑i　　　　　　↑j {5, 7, 51, 2, 6, 8} i++; 　 ↑i　　　 ↑j {5, 6, 51, 2, 7, 8} j--; 　 ↑i　 　↑j {5, 2, 51, 6, 7, 8} i++; 　　　↑i ↑j {5, 2, 51}6{7, 8} 完成 快速排序具有不稳定性！

复杂性分析及随机化的快速排序算法 算法复杂性分析： 最坏时间复杂度：O(n2) 平均时间复杂度：O(nlogn) 辅助空间：O(n)或O(logn)

Conti… 快速排序算法的性能取决于划分的对称性。通过修改算法partition，可以设计出采用随机选择策略的快速排序算法。在快速排序算法的每一步中，当数组还没有被划分时，可以在a[p:r]中随机选出一个元素作为划分基准，这样可以使划分基准的选择是随机的，从而可以期望划分是较对称的。 算法描述： template<class Type> int RandomizedPartition (Type a[], int p, int r) { int i = Random(p,r); Swap(a[i], a[p]); return Partition (a, p, r); }

2.9 线性时间选择 元素选择问题：给定线性序集中n个元素和一个整数k，1≤k≤n，要求找出这n个元素中第k小的元素。 RandomizedSelect算法：模仿快速排序算法，首先对输入数组进行划分，然后对划分出的子数组之一进行递归处理。算法描述如下： template<class Type> Type RandomizedSelect(Type a[],int p,int r,int k) { if (p==r) return a[p]; int i=RandomizedPartition(a,p,r), j=i-p+1; if (k<=j) return RandomizedSelect(a,p,i,k); else return RandomizedSelect(a,i+1,r,k-j); }

时间复杂性分析 最坏情况下， Omega(n2) 比如要找最小元素，但总是在最大元素处划分 RandomizedSelect 快速排序算法中的随机化划分，T(n)? RandomizedPartition 快速排序算法中的划分，O(nlogn) Partition 算法复杂性：在最坏情况下，算法randomizedSelect需要O(n2)计算时间。但可以证明，算法RandomizedSelect可以在O(n)平均时间内找出n个输入元素中的第k小元素。

改进算法 基本思路：如果能在线性时间内找到一个划分基准，使得按这个基准所划分出的2个子数组的长度都至少为原数组长度的ε倍(0<ε<1是某个正常数)，那么就可以在最坏情况下用O(n)时间完成选择任务。 例如，若ε=9/10，算法递归调用所产生的子数组的长度至少缩短1/10。所以，在最坏情况下，算法所需的计算时间T(n)满足递归式T(n)≤T(9n/10)+O(n) 。由此可得T(n)=O(n)。 T(εn)+O(n)

一个较好的基准划分步骤 ai<x n/5+(n/5-1)/2 >3(n-5)/10 ai>x 步骤（如图所示）： 说明： 递归调用select来找出这n/5个元素的中位数。如果n/5是偶数，就找它的2个中位数中较大的一个。以这个元素作为划分基准。 说明： 设所有元素互不相同。在这种情况下，找出的基准x至少比3(n-5)/10个元素大，因为在每一组中有2个元素小于本组的中位数，而n/5个中位数中又有(n-5)/10个小于基准x（如图）。同理，基准x也至少比3(n-5)/10个元素小。而当n≥75时，3(n-5)/10≥n/4所以按此基准划分所得的2个子数组的长度都至少缩短1/4。 ai<x n/5+(n/5-1)/2 >3(n-5)/10 ai>x 图2-7 选择划分基准 其中，n个元素用小圆点表示， 　　　空心圆点为每组元素的中位数； 　　　x为中位数的中位数； 　　　箭头由较大元素指向较小元素。 只要等于基准的元素不太多，利用这个基准来划分的两个数组的大小就不会相差太远。

算法描述及复杂性分析 //用某个简单排序算法对数组a[p:r]排序; //将ap+5*i至ap+5*i+4的第3小元素与ap+i交换; private static Comparable select (int p, int r, int k) { //用某个简单排序算法对数组a[p:r]排序; if (r-p<75) { bubbleSort(p,r); return a[p+k-1]; } //将ap+5*i至ap+5*i+4的第3小元素与ap+i交换; //找中位数的中位数，r-p-4即前述n-5; for ( int i = 0; i<=(r-p-4)/5; i++ ) int s=p+5*i, t=s+4; for (int j=0;j<3;j++) bubble(s,t-j); MyMath.swap(a, p+i, s+2); Comparable x = select(p, p+(r-p-4)/5, (r-p+6)/10); int i=partition(p,r,x), j=i-p+1; if (k<=j) return select(p,i,k); else return select(i+1,r,k-j); 复杂度分析 C1为直接简单排序时间 C2n为执行for循环的时间 解递归方程得T(n)=O(n) 说明： 上述算法将每一组的大小定为5，并选取75作为是否作递归调用的分界点。这2点保证了T(n)的递归式中2个自变量之和n/5+3n/4=19n/20=εn，0<ε<1。这是使T(n)=O(n)的关键之处。当然，除了5和75之外，还有其他选择。 上述算法中我们假设元素互不相等已保证划分后子数组不超过3n/4。当元素可能相等时，设有m个（将他们集中起来），若j≤k≤j+m-1时返回ai；否则调用select(i+m+1, r, k-j-m)。

课堂练习 习题2-11 O(1)空间子数组换位算法 习题2-12 O(1)空间合并算法 设a[0,n-1]是一个有n个元素的数组，k是一个非负整数。试设计一个算法将子数组a[0,k-1]与a[k,n-1]换位。要求算法在最坏情况下耗时O(n)，且只用到O(1)的辅助空间。 习题2-12 O(1)空间合并算法 设a[0,k-1]和a[k,n-1)已排好序。试设计一个算法将这两个子数组合并为排好序的数组a[0,n-1)。要求算法在最坏情况下所用的计算时间为O(n)，且只用到O(1)的辅助空间。

2.10 最接近点对问题 问题描述：给定平面上n个点，找其中的一对点，使得在n个点所组成的所有点对中，该点对间的距离最小。 说明： 严格来讲，最接近点对可能多于一对，为简便起见，我们只找其中的一对作为问题的解。 一个简单的做法是将每一个点与其他n-1个点的距离算出，找出最小距离的点对即可。该方法的时间复杂性是T(n)=n(n-1)/2+n=O(n2)，效率较低。 已经证明，该算法的计算时间下界是Ω(nlogn)。

一维空间中的情形 为了使问题易于理解和分析，先来考虑一维的情形。此时，S中的n个点退化为x轴上的n个实数x1,x2,…,xn。最接近点对即为这n个实数中相差最小的2个实数。 一个简单的办法是先把x1,x2,…,xn排好序，再进行一次线性扫描就可以找出最接近点对，T(n)=O(nlogn)。然而这种方法无法推广到二维情形。 假设我们用x轴上某个点m将S划分为2个子集S1和S2 ，基于平衡子问题的思想，用S中各点坐标的中位数来作分割点。 递归地在S1和S2上找出其最接近点对{p1,p2}和{q1,q2}，并设d=min{|p1-p2|,|q1-q2|}，S中的最接近点对或者是{p1,p2}，或者是{q1,q2}，或者是某个{p3,q3}，其中p3∈S1且q3∈S2。 能否在线性时间内找到p3,q3？

算法描述及复杂性 如果S的最接近点对是{p3,q3}，即|p3-q3|<d，则p3和q3两者与m的距离不超过d，即p3∈(m-d,m]，q3∈(m,m+d]。 由于在S1中，每个长度为d的半闭区间至多包含一个点（否则必有两点距离小于d），并且m是S1和S2的分割点，因此(m-d,m]中至多包含S中的一个点。由图可以看出，如果(m-d,m]中有S中的点，则此点就是S1中最大点。 因此，我们用线性时间就能找到区间(m-d,m]和(m,m+d]中所有点，即p3和q3。从而我们用线性时间就可以将S1的解和S2的解合并成为S的解。 分割点m的选取不当，会造成|Si|=1，|Sj|=n-1(i+j=1)的情形，使得T(n) =T(n-1)+O(n)=O(n2)。这种情形可以通过“平衡子问题”方法加以解决：选取各点坐标的中位数作分割点。 算法描述： bool CPair1(S, d) { n=|S|; if (n<2){d=∞; return false;} m=Blum(S); //S各点坐标中位数 S=>S1+S2;//S1={x|x<=m} S2={x|x>m} CPair1(S1, d1); CPair1(S2, d2); p=max(S1); q=min(S2); d=min(d1, d2, q-p); return ture; } 复杂性分析： T(n)=O(nlogn) 该算法可推广到二维的情形中去。

二维空间的最接近点对问题 下面来考虑二维的情形。 图2-9距离直线l小于d的所有点 下面来考虑二维的情形。 选取一垂直线l:x=m来作为分割直线。其中m为S中各点x坐标的中位数。由此将S分割为S1和S2。 递归地在S1和S2上找出其最小距离d1和d2，并设d=min{d1,d2}，S中的最接近点对或者是d，或者是某个{p,q}，其中p∈P1且q∈P2 ，如图2-9所示。 能否在线性时间内找到p,q？ 考虑P1中任意一点p，它若与P2中的点q构成最接近点对的候选者，则必有distance(p，q)＜d。满足这个条件的P2中的点一定落在一个d×2d的矩形R中，如图2-10所示。 由d的意义可知，P2中任何2个S中的点的距离都不小于d。由此可以推出矩形R中最多只有6个S中的点。 图2-10包含q的d×2d矩形R

R中至多包含6个S中的点的证明 证明： 将矩形R的长为2d的边3等分，将它的长为d的边2等分，由此导出6个(d/2)×(2d/3)的矩形（如图(a)所示 ）。 若矩形R中有多于6个S中的点，则由鸽舍原理易知至少有一个(d/2)×(2d/3)的小矩形中有2个以上S中的点。 设u，v是位于同一小矩形中的2个点，则 因此，distance(u,v)<d。这与d的意义相矛盾。 也就是说，矩形R中最多有6个S中的点。 极端情形：图(b)是矩形R中恰有6个S中的点的极端情形。

鸽舍原理? 鸽舍原理，也称“抽屉原理”或利克雷原则，它是一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决各种有趣的问题，并且常常能够得到令人惊奇的结果，许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，利用它能很容易得到解决。 原理（一）：把多于几个的元素按任一确定的方式分成几个集合，那么一定至少有一个集合中，至少含有两个元素。 原理（二）： 把多于m×n个物体放到n个抽屉里，那么一定有一个抽屉里有m＋1个或者m＋1个以上的物体。

说明 因此，在分治法的合并步骤中最多只需要检查6×n/2=3n个候选者。 为了确切地知道要检查哪6个点，可以将p和P2中所有S2的点投影到垂直线l上。由于能与p点一起构成最接近点对候选者的S2中点一定在矩形R中，所以它们在直线l上的投影点距p在l上投影点的距离小于d。由上面的分析可知，这种投影点最多只有6个。 因此，若将P1和P2中所有S中点按其y坐标排好序，则对P1中所有点，对排好序的点列作一次扫描，就可以找出所有最接近点对的候选者。对P1中每一点最多只要检查P2中排好序的相继6个点。

算法描述及复杂性分析 算法描述： } 复杂度分析： 算法的具体实现：略。 public static double CPair2(S) { n=|S|; if (n < 2) return ; m=S中各点x间坐标的中位数; 构造S1和S2； //S1={p∈S|x(p)<=m}, S2={p∈S|x(p)>m} d1=cpair2(S1); d2=cpair2(S2); dm=min(d1,d2); 设P1是S1中距垂直分割线l的距离在dm之内的所有点组成的集合； P2是S2中距分割线l的距离在dm之内所有点组成的集合； 将P1和P2中点依其y坐标值排序； 并设X和Y是相应的已排好序的点列； 通过扫描X以及对于X中每个点检查Y中与其距离在dm之内的所有点(最多6个)可以完成合并； 当X中的扫描指针逐次向上移动时，Y中的扫描指针可在宽为2dm的区间内移动； 设dl是按这种扫描方式找到的点对间的最小距离； d=min(dm,dl); return d; } 复杂度分析： T(n)=O(nlogn) 算法的具体实现：略。

2.11 循环赛日程表 分治法不仅可以用来设计算法，而且再其他方面也有广泛应用：利用分治法设计电路、构造数学证明等。 循环赛日程标问题，设有n=2k个选手要进行循环赛，设计一个满足以下要求的比赛日程表： 每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次； 每个选手一天只能赛一次； 循环赛一共进行n-1天。 按此要求，可以将比赛日程表设计成n行n-1列的表格，i行j列表示第i个选手在第j天所遇到的选手。 基本思路：按分治策略，将所有的选手分为两组，n个选手的比赛日程表就可以通过为n/2个选手设计的比赛日程表来决定。递归地用对选手进行分割，直到只剩下2个选手时，比赛日程表的制定就变得很简单。这时只要让这2个选手进行比赛就可以了。

算法描述及示例 算法描述：略。 思考题： 递归形式的算法描述。 1 2 3 4 5 6 7 8 单击此处添加备注 == <vbscript> n=2^k 　┌ 1 | 2 3 4 ┐ 　│ 2 | 1 4 3 │ 　│ 3 | 4 1 2 │ 　└ 4 | 3 2 1 ┘ n=2k+1 　┌ 1 | 5 4 3 2 0 ┐ 　│ 2 | 4 3 0 1 5 │ 　│ 3 | 0 2 1 5 4 │ 　│ 4 | 2 1 5 0 3 │ 　└ 5 | 1 0 4 3 2 ┘ n=2k 　┌ 1 | 6 5 4 3 2 ┐ 　│ 2 | 5 4 3 6 1 │ 　│ 3 | 4 6 2 1 5 │ 　│ 4 | 3 2 1 5 6 │ 　│ 5 | 2 1 6 4 3 │ 　└ 6 | 1 3 5 2 4 ┘ Dim a(1024, 1024) Private Sub cmbOK_Click() n = CInt(txbCount.Text) k = Int(Log(n) / Log(2)) If 2 ^ k = n Then N2ppK k ElseIf n Mod 2 = 0 Then N2K n - 1, n a(n, 1) = n Else N2K n, 0 End If PrintResult n End Sub Private Sub Form_Load() Print Sub N2ppK(k) '// n=2^k n = 1 For i = 1 To k n = n * 2 Next i For i = 1 To n a(1, i) = i cc = 1 m = 1 For s = 1 To k n = n / 2 For t = 1 To n For i = m + 1 To m * 2 For j = m + 1 To m * 2 a(i, j + (t - 1) * m * 2) = a(i - m, j + (t - 1) * m * 2 - m) a(i, j + (t - 1) * m * 2 - m) = a(i - m, j + (t - 1) * m * 2) cc = cc + 1 Next j Next t m = m * 2 Next s Sub N2K(n, m) a(i, 1) = i For j = 1 To n a(i, j + 1) = ((2 * n - i - j + 1) Mod n) + 1 If a(i, j + 1) = i Then a(i, j + 1) = m If m > 0 Then a(m, j + 1) = i '// n+1=2k Sub PrintResult(n) Print "Result(n = " & n & "):" Print String(98, "-") If n Mod 2 = 1 Then jCnt = n + 1 Else jCnt = n Print "|"; For j = 1 To jCnt strPrint = CStr(a(i, j)) If Len(strPrint) = 0 Or a(i, j) = 0 Then strPrint = " " ElseIf Len(strPrint) = 1 Then strPrint = " " & strPrint Print strPrint & "|"; </vbscript>

课堂思考 为什么必须是2k个运动员的循环赛？ 设有n个运动员要进行网球循环赛。设计一个满足下面要求的比赛日程表： 2，每个选手一天只能赛一次； 3，当n=2k时，循环赛进行n-1天；当n=2k+1时，循环赛进行n天。

小结 递归的概念 分治策略的基本思想和相关实例 1. 算法分析题 2. 算法实现题 2-1、2-3、2-7、2-14、 2-18、2-19、2-32、2-33。 2. 算法实现题 2-2、2-3、2-4、2-9、2-12、2-14。