數學素養-命題與活動設計 簡報來源:新北市國民教育輔導團

什麼是素養 民主素養 音樂素養 媒體素養 資訊素養 文學素養 數學素養 新北市立 福和國民中學，李進福

生活中常用的數學技巧 分類 總和不變 抽象化 找規律 找出區別的要素 投資一定會賺錢? 路線圖(捷運、登山、美食地圖) 倒垃圾的時間 新北市立 福和國民中學，李進福

需要數學背景的人才 美國，文藝復興科技公司 寶來證券金融市場事業群 一百四十名員工 只有一位金融博士 將近二分之一的員工，都是數理相關博士 七十多位員工 將近三分之一具有數理、財金雙重背景 (遠見雜誌, 2006, 第238期) 新北市立 福和國民中學，李進福

需要數學背景的人才 證券金融業 保險業 科技產業 可被執行的理財策略 銷售保單時要算年金終值、年金現值 跳脫代工格局，發展創新製程和產品 調整參數，得運用很多數學模型去模擬結果 (今周刊,第368期) 新北市立 福和國民中學，李進福

數學素養的定義(OECD/PISA) Mathematical literacy is an individual’s capacity to identify and understand the role that mathematics plays in the world, to make well-founded judgements and to use and engage with mathematics in ways that meet the needs of that individual’s life as a constructive, concerned and reflective citizen. 新北市立 福和國民中學，李進福

數學素養的定義(OECD/PISA) 個體能… 成為一個積極的、關懷的、反思的公民 辨認與了解數學在世界所扮演的角色 進行有根據的判斷 針對個體在生活中的需求運用或投入數學活動 成為一個積極的、關懷的、反思的公民 新北市立 福和國民中學，李進福

數學素養的定義(OECD/PISA) Mathematical literacy the world 數學知識應用在不同的脈絡與不同的方面所需要的反思與洞察能力。 the world 個人所居住的自然、社會與文化的環境 to use and engage with 溝通、採取方式、關聯、評估甚至於欣賞數學 新北市立 福和國民中學，李進福

數學教育的定位 舊時代 現代 菁英教育 為孕育科學家、專業科技人才作準備 強調數學的知識與技能 一種工具、公民素養 不是知道多少數學，而是能夠運用知道的數學 新北市立 福和國民中學，李進福

現實問題的體驗：服務費與折扣 餐廳要加收一成服務費 持餐廳會員卡結帳可以優惠打九折 店員回答：「扣掉原本要加的服務費，直接付餐費即可。」 新北市立 福和國民中學，李進福

現實問題的體驗：打折與加稅 消費者購買東西時 消費者付的錢一樣（數學結果相同） 先打折，再加稅 先加稅，再打折 對商家呢？ 對政府稅捐機關呢？ 新北市立 福和國民中學，李進福

現實問題的體驗：聯合壟斷 如何「公平的」瓜分這 7 千億？ 某島國只有兩家石油公司，分別是台大石油公司與中華石油公司 假設這兩家石油公司不暗中勾結聯合壟斷 台大石油每年可賺 2 千億 中華石油可賺 1 千億。 假設這兩家石油公司暗中勾結聯合壟斷 每年可共同獲利 7 千億 如何「公平的」瓜分這 7 千億？ 新北市立 福和國民中學，李進福

現實問題的體驗：聯合壟斷─2 答案 1： 答案 2： 「均分」最「公平」 台大石油的「獲利能力」是中華石油的 2 倍 兩家公司各得 7/2 千億。 答案 2： 台大石油的「獲利能力」是中華石油的 2 倍 按照獲利能力分配才「公平」 台大石油應得 14/3 千億 中華石油應得 7/3 千億。 新北市立 福和國民中學，李進福

現實問題的體驗：聯合壟斷─3 答案 3： 兩家石油公司勾結壟斷之後「共同多出來的盈餘」(邊際貢獻)是 7—2—1＝4 千億 所以兩家均分這多得的4 千億才公平 台大石油得到 4 千億(2+2) 中華石油得到 3 千億 (1+2) 新北市立 福和國民中學，李進福

PISA試題(反應時間) 在一個短跑競賽的事件裡， 「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間， 「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間。 新北市立 福和國民中學，李進福

PISA試題(反應時間) 新北市立 福和國民中學，李進福

PISA試題(反應時間) 新北市立 福和國民中學，李進福

PISA試題(租金) 以下是某個國家日報上的兩則廣告，幣制是以zeds為單位 A大樓 B大樓 辦公室出租 辦公室出租 58-95平方公尺 100-120平方公尺 每個月800 zeds B大樓 辦公室出租 35-260平方公尺 每年每平方公尺90 zeds 新北市立 福和國民中學，李進福

PISA試題(租金) 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室，要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜？請呈現你的想法。 辦公室出租 58-95平方公尺 每個月475zeds 100-120平方公尺 每個月800 zeds B大樓 辦公室出租 35-260平方公尺 每年每平方公尺90 zeds 新北市立 福和國民中學，李進福

PISA試題(學生身高) 某一天的數學課上，所有學生都測量了身高 男生平均身高160公分，女生平均身高150公分。 艾蕾娜(Alena)是最高的 她的身高180公分。 丹尼克(Zdenek)是最矮的 他的身高130公分。 新北市立 福和國民中學，李進福

PISA試題(學生身高) 那天上課有兩位學生缺席，但隔天他們都有在課堂上。 再測量他們的身高，並重新計算平均身高。 令人驚訝的是男生和女生的平均身高都沒有改變。 從這些訊息可以獲得下列何種推論？ 新北市立 福和國民中學，李進福

PISA試題(學生身高) 推論 是否可獲得這個推論 兩位學生都是女生。 是/否 一個學生是男生，另一個是女生。 兩個學生有相同的身高。 所以學生的平均高度沒有改變。 丹尼克仍是最矮的。 新北市立 福和國民中學，李進福

數學解題(Polya G., 1945) 釐清問題 擬定計劃 實現計劃 回顧

解題三部曲(胡炳生, 1991) 原題 純數學問題 標準題 求解 數學化設計 標準化設計 觀察 聯想 轉化 新北市立 福和國民中學，李進福

數學解題模式(Ilany & Margolin, 2008) 讀題 以一般語言理解 以數學語言理解 將數學語言轉換成一般語言 形成與組織想法 執行想法 回顧

數學素養的展現（PISA) 真實世界 數學世界 形成模式 情境脈絡裡的問題 數學問題 確認答案 使用數學 情境脈絡裡的答案 詮釋答案 數學解答 情境與數學間的溝通 問題數學化 使用及轉換表徵 推理及論述 發展策略 使用符號、形式及術語與運算 使用數學輔助工具 內蘊的數學力 新北市立 福和國民中學，李進福

情境問題解決內蘊的數學力 情境與數學間的溝通 (Communication) 強調對情境脈絡的理解 辨識出脈絡裡存在的問題及挑戰。 理解的歷程包含閱讀、解碼、理解各種呈現方式的資訊（如敘述、圖表、影像、及動畫） 用來形成一個關於情境脈絡問題的心智模式。 進一步形成數學問題 新北市立 福和國民中學，李進福

情境問題解決內蘊的數學力 問題數學化 (Mathematising) 將真實情境脈絡的問題轉化成一個數學形式 將情境結構化或概念化 找出重要的變因 澄清與定義情境中的假設、變數、關係、和限制 給出數學模式 新北市立 福和國民中學，李進福

情境問題解決內蘊的數學力 使用及轉換表徵 (Representation) 用數學表徵呈現真實情境脈絡。 包含方程式、圖表、圖形、文字敘述、具體物，及各種表徵之間的轉化。 新北市立 福和國民中學，李進福

情境問題解決內蘊的數學力 推理和論述 (Reasoning and argument) 應用邏輯思考能力判斷以某種數學表徵呈現情境脈絡的合理性 包含解釋、辯駁或檢證所形成的數學表徵 新北市立 福和國民中學，李進福

情境問題解決內蘊的數學力 發展策略 (Devising strategies) 發展及決定解決問題的策略 辨別或發展或給出數學形式的答案 新北市立 福和國民中學，李進福

情境問題解決內蘊的數學力 使用符號、形式及術語與運算 (Using symbolic, formal, and technical language and operations) 將情境脈絡轉化成數學結構時，能恰當的使用辨識、符號、圖表、模型 同時理解問題語言和形式語言或符號語言之間的關係 新北市立 福和國民中學，李進福

情境問題解決內蘊的數學力 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools) 在特定情況之下，具備使用數學工具（如測量工具、繪圖工具、Excel報表等）來辨識情境脈絡裡的數學結構或者描繪出數學關係 新北市立 福和國民中學，李進福

能力群組 複製 連結 反思 新北市立 福和國民中學，李進福

學生的反應 數學成績好的喜歡一般(標準傳統)數學問題 數學成績不好的，喜歡數學素養(情境)的問題 不論數學程度好或不好都對一般(標準傳統)數學問題較有自信。 ( 鄧家駿 , 2011 ) 新北市立 福和國民中學，李進福

數學素養命題的架構 數學內容 情境脈絡 解題步驟 數學力 改變和關係 學生個人生活的 將情境問題轉化成數學問題 情境與數學間的溝通 空間與圖形 教育/職業的 問題數學化 量 社會性的 使用數學概念、事實、步驟、和推理 使用及轉換表徵 不確定性 科學性的 推理和論述 詮釋、應用及評鑑數學結果 發展策略 使用符號、形式及術語與運算 使用數學輔助工具 新北市立 福和國民中學，李進福

素材 網路文章 摩天輪

想法 有兩個摩天輪的資料，如何運用? 裏面有數學嗎? 資料的整理 統計 比較的工具 比例、時間、速度 可以連結至幾何嗎?

第一次問題設計 請設計一個表格，以方便比較美麗華摩天輪和夢時代摩天輪的異同 兩個摩天輪的大小不同，所以車廂數也不同。你覺得那一個摩天輪的車廂安排比較寬鬆，為什麼？可以推算出劍湖山的摩天輪有幾個車廂嗎？ 夢時代摩天輪繞行一周所花費的時間較短，坐在上面的乘客會覺得旋轉的速度比美麗華的快嗎？為什麼？

第一次問題設計 在第1題中有些資料只有一個，無法作比較。你可以將它推算出來嗎？ 兩個摩天輪的全票票價皆為150元，請問，這兩個摩天輪一天的營業額最多可能是多少？（營業時間：11:00~24:00）

第二次問題設計 摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建築設施，上面掛在輪邊緣的是供乘客乘搭的座艙。乘客坐在摩天輪慢慢的往上轉，可以從高俯瞰四周景色。大型摩天輪的轉動是持續不停止的，因為大型摩天輪的轉動緩慢，所以在車廂到達地面高度的時候，乘客可以從容地搭上車廂或從車廂下來。

第二次問題設計 某都市有A、B兩座摩天輪，其中A摩天輪直徑70公尺，共設有48個車廂；B摩天輪直徑50公尺，共有36個車廂。搭乘A摩天輪繞行一圈約費時17分鐘，B摩天輪繞行一周約耗時15分鐘。

第二次問題設計 小奇一家人利用某天假日搭乘B摩天輪瀏覽城市風光，在搭上B摩天輪的車廂後約幾分鐘，車廂會到達摩天輪的最高點？

第二次問題設計 B摩天輪總共有36個車廂，將B摩天輪的車廂依序編號1~36號。小奇的爸爸搭上1號車廂之後，小奇搭上了7號車廂。若每位乘客搭乘一次摩天輪只能繞行一圈，請問爸爸的車廂在繞完一圈到達地面之後，小奇的爸爸必需等待幾分鐘，小奇的車廂就會到達地面？

第二次問題設計 兩個摩天輪的大小不同，所以車廂數也不同。你覺得那一個摩天輪，相臨兩車廂安排的間距比較寬鬆，為什麼？

第二次問題設計 兩個摩天輪繞行一周所花費的時間不相同，你認為坐在摩天輪的車廂裡面時，哪一個摩天輪的車廂移動速度比較快？為什麼？