第4章 频域分析法

4.0 前言 ◈通过求解微分方程分析时域性能是十分有用的,但对于比较复杂的系统,这种办法就比较麻烦。因为微分方程的求解计算工作量将随着微分方程阶数的增加而增大。 ◈即使方程已经求解，但当系统的响应不能满足技术要求时,也不容易确定应该如何调整系统来获得预期结果。 ◈从工程角度来看,希望找出一种方法,使之不必求解微分方程就可以预示出系统的性能。同时,又能指出如何调整系统性能技术指标。频域分析法具有上述特点。

◈特别是：当系统中存在难以用数学模型描述的某些元部件时,可用实验方法求出系统的频率特性,从而对系统和元件进行准确而有效的分析。 ◈频域分析法是以输入信号的频率为变量,对系统的性能在频率域内进行研究的一种方法。 ◈特别是：当系统中存在难以用数学模型描述的某些元部件时,可用实验方法求出系统的频率特性,从而对系统和元件进行准确而有效的分析。

4.1 频率特性的基本概念 ☎ 4.1.1　频率响应和频率特性

其中

实例：

其中

◈从这一简单实例的频率特性, 看出频率特性的物理意义: (1)频率特性反映系统的内在性质,与外界因素无关。 (2)频率特性随频率变化而变化。 (3)系统频率特性的幅值随着频率的升高而衰减,换言之,频率特性表示了系统对不同频率的正弦信号的“复现能力”、 "跟踪能力"。

☎频率特性分析 （图） ★对于低频信号(即 ),有： ★对于低频信号(即 　　　),有： 　这表明在输入信号频率较低时,输出量与输入量的幅值几乎相等,相位近似相同。系统输入信号基本上可以按原比例在输出端复现出来;

★而对于高频信号(即　　 　),有 　这表明输入信号频率较高时,输出量幅值只有输入量幅值的　　倍,相位落后近　　。输入信号被抑制而不能传递出去。实际中的系统,虽然形式不同,但一般都有这样的"低通"滤波及相位滞后作用。 （图）

频率特性的定义： 1.线性定常系统； 2.不同频率的正弦输入信号； 3.不同频率的正弦输入信号作用下的稳态输出； 4.该稳态输出与正弦输入信号的复数式之比。

*(2) 根据系统的传递函数来求取。 (1)根据已知系统的微分方程,把输入以正弦函数代 ☎ 4.1.2　频率特性的求取方法 　 频率特性一般可以通过如下三种方法得到: (1)根据已知系统的微分方程,把输入以正弦函数代 入,求其稳态解,取输出稳态分量和输入正弦的复数式之比求得(按定义求解)。 *(2) 根据系统的传递函数来求取。 *(3)通过实验测得。 一般经常采用的是后两种方法。这里主要讨论如何根 据传递函数求取系统的频率特性。频率特性是传递 函数的一种特殊情况,即频率特性是定义在复平面 (s平面)虚轴上的传递函数。

☎ 4.1.3　频率特性的图示方法 系统的频率特性可分解为实部 和虚部，即

一张是对数幅频特性, 另一张是对数相频特性。 ☎ 系统频率特性的三种图示表达形式: (1)幅相频率特性(Nyquist奈奎斯特图)。 (2) 对数频率特性(波德图Bode) 对数频率特性由两张图组成: 一张是对数幅频特性, 另一张是对数相频特性。 对数频率特性又称为博德图。

☆半对数坐标图（纸）

（3）对数幅相频率特性（尼科尔斯图Nichols）。 在所需要的频率范围内，以频率作为参数来表示的对数幅值和相角关系的图。

4.2 典型环节的频率特性图 ☎ 4.2.1　比例环节

比例环节的幅相频率特性 (Nyquist图) 是复平面实轴上一个点,如图4.2所示。幅频特性是K,相频特性是0°。

比例环节的对数幅频特性 (Bode图) ①幅频特性等于20lg k(dB)的一条水平直线。 ②相频特性为零,与频率无关。比例环节的博德(Bode)图如图4.3所示。

☎ 4.2.2　惯性环节

当频率从0趋于无穷大时，惯性环节的幅相频率特性为一个半圆。如图4.4所示。

√可以用两条渐近线来近似表示对数幅频特性曲线， 图4.5所示。 √相频特性曲线如下图所示，该环节具有低通滤波 的作用。

√为了画出精确的频率特性曲线，可参照图（4.6）的曲线在渐近线的基础上进行修正。

4.2.3 积分环节

4.2.4理想微分环节

☎ 4.2.5　振荡环节

幅相频率特性的低频和高频部分分别为： ☎ 1 振荡环节的幅相频特性图（奈奎斯特） ☎ 1　振荡环节的幅相频特性图（奈奎斯特） 幅相频率特性的低频和高频部分分别为： 当ω从零变化到无穷大时,振荡环节幅相频率特性由1∠0°开始,到0∠－180°结束。因此,高频部分与负实轴相切,如图4.11所示。另外，G(jω)的轨迹与虚轴交点处的频率为

☎ 2　谐振频率和谐振峰值的确定

☎ 3　振荡环节的对数幅频相频特性（博德图）

b…对数相频特性分析〔可由式（4.45)求得〕

c…如果需要绘出精确曲线,则可根据阻尼比的大小 由图4.14所示的修正曲线对渐近线加以修正。

4.2.6 一阶微分环节

4.2.7 二阶微分环节

4.2.8 延迟环节

☎ 例4.1　（幅相频率特性.奈奎斯特图）

☎ 例4.2　（对数频率特性.博德图）

4.3 系统开环频率特性图 例如两个系统的 传递函数分别为: ☎ 4.3.1 最小相位系统 4.3 系统开环频率特性图 ☎ 4.3.1　最小相位系统 　　为了说明幅频特性和相频特性之间的关系,在此提出最小相位系统概念。在复平面[s]右半平面上没有零点和极点的传递函数称为最小相位传递函数；反之,称为非最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统。　　具有相同幅频特性的系统,最小相位传递函数的相角范围是最小的。 例如两个系统的 传递函数分别为:

结论： 　★ 对最小相位系统而言,幅频特性和相频特性之间具有确定的单值对应关系。这就是说,如果系统的幅频特性曲线规定从0变化到无穷大整个频率范围内,那么相频特性曲线就唯一确定,反之亦然。 ★★ 然而对非最小相位系统来说却是不成立的。 ★★★ 以后无特殊说明,一般是指最小相位系统。

☎ 4.3.2　系统开环奈奎斯特图的绘制 ☻ 绘制奈奎斯特图的一般方法

续

例4.4 已知系统的传函如下 绘制该系统的奈氏图

☻ 奈奎斯特图的一般形状

☎ 4.3.3　系统开环波德图(Bode图)的绘制 ① 控制系统开环传递函数的一般表达式是： ②控制系统开环频率特性的一般表达式是：

即：写成开环幅频特性、相频特性的形式为：

③控制系统开环对数频率特性的一般表达式是：

☻由式（4.64）可以看出,系统开环的相频特性和幅频特性一样,可以用各典型环节的相频特性相加的办法得到。 结论： ☻由式(4.63）可以看出,单回路系统开环的对数幅频特性L (ω),可以用各典型环节的对数幅频特性的纵坐标值相加的办法得到。 ☻由式（4.64）可以看出,系统开环的相频特性和幅频特性一样,可以用各典型环节的相频特性相加的办法得到。

(2)根据标准形式的传递函数求得频率特性, 分析组成环节； ☻ 系统开环博德图绘制的一般步骤 (1)把系统的开环传递函数化为标准形式； (2)根据标准形式的传递函数求得频率特性, 分析组成环节； (3)画出各典型环节的Bode图（包括“对数幅频特性曲线”、“对数相频特性曲线”）； (4)应用“叠加原则”画出总的开环频率特性Bode图（包括“对数幅频特性曲线”、“对数相频特性曲线”） 。

(2)根据标准的开环传递函数求得开环频率特性,并分析其组 成环节； Note:直接针对“开环传递函数”进行绘制 ★ ★系统开环博德图的简化绘制方法 (1)把系统的开环传递函数化为标准形式； (2)根据标准的开环传递函数求得开环频率特性,并分析其组 成环节； (3)求出转折频率,并把它们按照由小到大顺序在选定的坐标图上沿频率轴标出； (4)画出对数幅频特性L (ω) 低频段的渐近线(最低频段)。这条渐近线在最低频段是一条斜率为－20ν（dB/dec）的直线,其中ν (ν=0,1,2,…)为系统包含积分环节的个数。在ω=1处,渐近线纵坐标为20lg k (K为系统开环增益)。

(5)在每个转折频率处改变渐近线的斜率，即可画出整条开环幅频特性渐近线。[如果是惯性环节,斜率改变为－20dB/dec;如果是振荡环节,则改变为一40dB/dec;如果是一阶微分环节,则为+20dB/dec;而二阶微分环节为+40dB/dec]。 (6)对渐近线进行修正,画出精确的对数幅频特性曲线。

☎ 例4.5（对数频率特性.博德图）

续 绘制系统的相频特性曲线必须先画出所有环节的相频特性,然后将它们的相角在相同的频率下代数相加,这样就画出了完整的相频特性曲线，如图4.26所示。

从频率特性基本概念可知,对于线性系统或元件,在正弦信号作用下,其稳态输出是与输入信号频率相同、幅值和相位不同的正弦信号。 ☎ 4.3.4　传递函数实验确定法 频率特性反映了系统或元件本身内在的固有的运动规律,从而为实验分析提供了理论依据。 从频率特性基本概念可知,对于线性系统或元件,在正弦信号作用下,其稳态输出是与输入信号频率相同、幅值和相位不同的正弦信号。 如果在可能涉及到的频率范围内,测量出系统或元件在足够多的频率点上的幅值比和相位移,那么由实验测得的数据可画出系统或元件的博德图,进而获得系统的传递函数。　

对于最小相位系统,由于其对数幅频特性和对数相频特性有确定的对应性,故： 1.★通过实验只要获得开环对数幅频特性曲线就可求得系统的开环传递函数。具体方法如下: (1)根据被测系统博德图的对数幅频特性曲线,用斜率为0 dB/dec、土20dB/dec和±40dB/dec的直线逼近实验曲线,获得系统或元件的对数幅频特性曲线的渐近线。 　(2)根据最低频段渐近线的斜率确定系统所包含的积分环节的个数；根据最低频段渐近线：L(1)=20lgK或者“与ω轴交点频率”来确定开环增益K。

至此系统的开环传递函数已求得！ (3)从渐近线低频段开始,随着频率的增加,每遇转折频率, 依据渐近线斜率的变化,写出对应的环节。 [斜率改变－20dB/dec包含惯性环节; 斜率改变－40dB/dec包含振荡环节;斜率改变＋20dB/dec包含一阶微分环节;斜率改变＋40dB/dec包含二阶微分环节]。 （对于振荡环节，其阻尼比ξ 可通过测量实验对数幅频特性在转折频率附近的谐振峰值,并与图4.13所示(P129)曲线比较后确定） 至此系统的开环传递函数已求得！

　2. ★以对数幅频特性渐近线低频段或其延长线“与ω轴交点频率”来确定开环增益K。 　▲ ▲由于ω趋于零时, 在实际工程系统中ν等于O、1或2。

续 　 ▲对于0型系统,由L(ω)=20lg|G(jω)|=20lgK可知,低频渐近线是一条20lgk分贝的水平线,故K值可由该水平渐近线求得。 　 ▲对于I型系统,由L(ω)= 20lg|G(jω)|=20lgK-20lgω可知,低频渐近线的斜率为-20dB/dec。低频渐近线(或它的延长线)与0分贝直线交点处的频率在数值上等于K。 　 ▲对于П型系统,由L(ω)= 20lg|G(jω)|=20lg k-40lgω可知,当20lg|G(jω)|=0时, 。因此,低频渐近线的斜率为-40dB/dec,渐近线(或它的延长线)与0分贝直线相交处的频率在数值上 。

　图4.27所示为0型、I型、 П型系统的对数幅频特性曲线,同时也表示了频率与增益K的关系。

　图4.27所示为0型、I型、 П型系统的对数幅频特性曲线,同时也表示了频率与增益K的关系。

☻ 频率特性实验时应注意以下问题 　(1) 必须采用合适的正弦信号发生器。它可以是机械、电气和气动的型式。对于时间常数比较大的系统,作实验时所取的频率范围可为0.001－100OHz/s。正弦信号必须没有谐波和波形畸变。 　(2)必须合理地选择正弦信号的幅值。由于物理系统具有某些非线性因素,如果输入信号幅值太大,就要引起系统饱和,得不到频率特性精确的结果,如果输入信号太小,也会因死区引起误差。因此,必须合理选择输入正弦信号幅值的大小。 　(3)用以测量系统输出的测量装置必须有足够的频宽,在其工作范围内应该具有接近平直的幅频特性。

☎ 例4.6　（由实验频率特性曲线确定传递函数） 　试确定具有图4.28所示(右图)实验频率特性曲线的系统传递函数。

(解) ① 以±20dB/dec及其倍数的线段来逼近实验获得的对数幅频特性以获得对数幅频特性曲线的渐近线,如图4.28所示。 续 (解) ① 以±20dB/dec及其倍数的线段来逼近实验获得的对数幅频特性以获得对数幅频特性曲线的渐近线,如图4.28所示。 ② 找出相应的转折频率ω1=1, ω2=2, ω3=8。 ③ 根据系统对数幅频特性曲线渐近线在各转折频率处的斜率变化,获得具有如下形式的频率特性：

续 　阻尼比ξ可由接近于ω=6rad/s处的谐振峰值来求得。参照图4.13 (P129),得到ξ =0.5。增益K在数值上等于低频渐近线的延长线与0dB线交点处的频率值。于是可得K=10。

　如图4.28，可以看出由初步确定的频率特性画出的对数相频特性和实验测得的相频特性是一致的,且该系统是最小相位系统。因此,系统传递函数为:

★★★4.4 频域稳定性判据 ☎ 4.4.1 奈奎斯特稳定性判据 ★★★4.4 频域稳定性判据 ☎ 4.4.1　奈奎斯特稳定性判据 　 第3章已经得到闭环系统稳定的充分必要条件是:所有的闭环极点位于[s]平面的左半平面或者说特征方程的根都必须具有负实部。 奈奎斯特判据仍是根据系统稳定的充分必要条件导出的一种方法。尼奎斯特稳定性判据的特点是根据开环系统频率特性来判断闭环系统的稳定性,也称频域法判据,简称奈氏判据。 应用奈氏判据不必求解闭环特征根,同时还可以得知系统的相对稳定性以及改善系统的稳定性的途径。因此该判据在控制工程中得到广泛应用。

1 系统开环和闭环的频率特性 ★闭环系统的开环传递函数可写为： ★频率特性表示为： ★具有单位反馈的闭环系统频率特性为

☻ 奈氏图的“穿越”概念 　当开环尼氏曲线逆时针方向包围(-1,j0)点转动的周数比较多时,如图4.35,可引人"穿越"概念。

　　“穿越”：频率特性曲线G(jω)穿过(-1,j0)点左边的实轴时,称为“穿越”。 　　若ω增大时,奈氏曲线由上而下穿过一1→-∞实轴(相角增大)时称“正穿越”; 　　若ω增大时,奈氏曲线由下而上穿过时(相角减小)称“负穿越”。穿过(-1,j0)点以左的实轴一次,则穿越次数为1。若曲线始于或止于(-1,j0)点以左实轴上,则穿越次数为1/2,如图4.36所示。 ★这样,奈奎斯特稳定性判据可表述成:当ω从0变到+∞时,开环幅相频率特性G(jω)在(-1,j0)以左实轴上的正负穿越次数之差等于q/2(其中q是系统开环右极点数),那么闭环系统是稳定的。否则闭环系统不稳定。

续 　应用这个判据可知图4.35所示的闭环系统是稳定的。 图4.36a所示的系统,虽然开环不稳定,但闭环系统是稳定的。图4.36b所示的系统,虽然开环是稳定的,但闭环系统不稳定。

2 奈奎斯特稳定性判据描述 ☻ 开环稳定情况 　若系统在开环状态下是稳定的,则系统在闭环状态下稳定的充分和必要条件是它的奈奎斯特曲线G(jω)不包围复平面的(-1,j0)点。 ☻ 开环不稳定情况 　如果系统开环特征方程式有q个根在复平面虚轴右边,那么,当ω从0变到+∞时,系统奈奎斯特曲线G(jω)在正方向包围(-1,j0)点q/2次,闭环系统就是稳定的。反之,闭环系统就不稳定。

☎ 4.4.2　对数频率特性的稳定性判据 　对数频率特性稳定性判据,实质上是奈奎斯特稳定性判据的另一种形式,就是利用系统开环博德图来判别闭环系统的稳定性。 　☻ 对数频率特性稳定性判据的原理 　根据上节奈奎斯特稳定性判据,若一个控制系统,其开环是稳定的,闭环系统稳定的充分必要条件是开环奈氏特性G(jω)不包围(-1,j0)点。 　图4.41中的特性曲线1对应的闭环系统是稳定的,而特性曲线2对应的闭环系统是不稳定的。

　如果开环频率特性G(jω)与单位圆相交的一点频率为ωc,而与实轴相交的一点频率为ωg,这样当幅值A(ω) ≧1时(在单位圆上或在单位圆外)，就相当于20lg A(ω) ≧ 0。当幅值A(ω)<1时(在单位圆内)，就相当于20lg A(ω)<O。　

　所以,对应图4.41特性曲线1(闭环系统是稳定的),在ωc点处 L(ωc)=20lgA(ωc)=0，φ(ωc)>-π； 而在ωg点处 L(ωg)=20lgA(ωg) <0 φ(ωg)=-π。

　这样把图4.41转变成用对数表示时,可以看出:图4.41上的单位圆相当于对数幅频特性的零分贝线,而ωg点处相当于对数相频特性的-π轴,如图4.42所示。

结论： ★ 因此,开环奈氏曲线与(-1,j0)点以左实轴的穿越就相当于L(ω) ≧ 0的所有频率范围内对相频特性曲线与-180°的穿越点。

★ ★ ★ 对数频率特性的稳定性判据 　 ★如果系统开环是稳定的(即q=0),则在L(ω) ≧ 0的所有频率ω值下,相角 φ(ω)不超过-π线,那么闭环系统是稳定的。 　 ★ ★如果系统在开环状态下的特征方程式有q个根在复平面的右边,它在闭环状态下稳定的充分必要条件是:在所有L(ω) ≧ 0的频率范围内,相频特性曲线φ(ω)在-π线上的正负穿越之差为q/2。

☎ 例4.10　 　已知系统开环特征方程的右根数q,以及开环博德图如图4.43　a、b、c所示,试判断闭环系统的稳定性。 　(解) 从图4.43a知，正负穿越之差为1－2=-1≠q/2,因q=2,所以这个系统在闭环状态下是不稳定的。

　已知系统开环特征方程式有2个右根(即 q=2),从图4.43b知，正负穿越之差为2－1=2/2，所以这个系统在闭环状态下是稳定的。

　在图4.43c中,这个系统开环特征方程式没有右根(即q=O),从图知，正负穿越之差为1－1=0,所以这个系统在闭环状态下是稳定的。

☎ 4.4.3　稳定性裕量 　在设计控制系统时,不仅要求系统是稳定的,而且希望系统还必须具备适当的稳定性裕量。由奈氏判据可知,对于开环稳定的系统,根据开环系统奈氏曲线对(-1,j0)点的位置不同,闭环系统的稳定性有三种情况: 　1)当奈氏曲线不包围(-1,j0)点时,闭环系统稳定; 　2)当奈氏曲线包围(-1,j0)点时,闭环系统不稳定; 　3)当奈氏曲线通过(-1,j0)点时,闭环系统处于临界稳定状态。

★因此,开环频率特性曲线和(-1,j0)点的接近程度可以用来度量系统稳定裕量的大小,即表征系统的相对稳定性。 ★频域中通常用相位裕量γ(ωc)和幅值裕量Kg来表征系统的稳定程度。　　

在奈奎斯特图中,如图4.44所示,奈氏曲线与单位圆相交时的频率ωc称为幅值穿越频率。此时A(ωc)= ∣G(jωc)H(jωc)∣=1 在幅值穿越频率上,使系统达到

不稳定边缘所需要的附加相位滞后量,称为相位裕量。相位裕量γ(ωc)等于180°加相角φ (ωc),即

　在奈奎斯特图上,从原点到G(jω)轨迹与单位圆的交点可以作一条直线。从负实轴到这条直线的夹角,就是相位裕量。当γ(ωc)>0°时,相位裕量为正值;当γ(ωc)<0 °时,相位裕量为负值。 为了使最小相位系统稳定,相位裕量必须为正值。

2 幅值裕量Kg 如图4.44所示,奈氏曲线与[G (jω)H(jω)]平面负实轴的交点频率ωg,称为相位穿越频率。 在相位等于-180°的频率ωg上,　 A(ωg)等于|G(jωg)H(jωg) |的倒数,称为幅值裕量。根据相位穿越频率,可求得幅值裕量Kg为

续 　 ★★★当幅值裕量单位以dB表示时,如果Kg大于1,则幅值裕量为正值;当Kg小于1,则幅值裕量为负值。正幅值裕量(以dB表示)说明系统是稳定的,负幅值裕量(以dB表示)说明系统是不稳定的。 　3 关于相位裕量和幅值裕量的几点说明 (1)控制系统的相位裕量和幅值裕量,是极坐标图对(-1,j0)点靠近程度的度量。因此,这两个裕量可以用来作为设计准则。为了确定系统的相对稳定性,必须同时给出这两个量。

　(2)对于最小相位系统,只有当相位裕量和幅值裕量都是正值时,系统才是稳定的。负的裕量表示系统是不稳定的。 　(3)为了得到满意的性能,相位裕量应当在30°和60°之间,而幅值裕量应当大于6dB。对于具有这些裕量的最小相位系统,即使开环增益和元件的时间常数在一定范围内发生变化,也能保证系统的稳定性。________“工程上要求” 　(4)对于最小相位系统,开环频率特性的幅值和相位有确定的关系。要求相位裕量在30°和60°之间,工程上为了保证系统稳定,要求幅值穿越频率上的斜率为-20dB/dec。 。

　(5)对于非最小相位系统,除非奈氏曲线不包围(-1,j0)点,否则稳定条件是不能满足的。因此,稳定的非最小相位系统将具有负的相位和幅值裕量。_____“非最小相位系统”稳定性不研究！

★ ★ ★ 4.应用“稳定裕量”分析系统稳定性步骤 (1)把系统的开环传递函数化为标准形式； (2)根据标准的开环传递函数求得开环频率特性,并分析其组成； (3)求出“开环幅频特性A(ω)”和“开环相频特性φ(ω)”； (4)求出“开环对数幅频特性L(ω)”和“开环对数相频特性φ(ω)”； ⑸在“半对数坐标纸”上画出开环对数幅频特性L(ω)的渐近线，并求出对应的“幅值穿越频率ωc”； 实例见“习题课”

当K=2时,计算其相位裕量和幅值裕量,并判断闭环系统稳定性。 ☎ 例4.11 a)　 　已知系统开环传递函数为 　当K=2时,计算其相位裕量和幅值裕量,并判断闭环系统稳定性。

☎ 例4.11 b) 　已知系统开环传递函数为 　当K=20时,计算其相位裕量和幅值裕量,并判断闭环系统稳定性。

4.5 闭环控制系统的频率特性 　前节介绍由闭环系统的开环频率特性来确定系统的闭环频率特性,这对于控制系统的设计来说是非常重要的。但有时为了精确设计和分析控制特性,需要直接应用闭环系统频率特性。 求取闭环频率特性的方法一般有解析法、几何法(如等M圆、等N圆、尼柯尔斯图等)和数值计算法。本节着重介绍解析法。

频率特性 ☎ 4.5.1 闭环系统频率特性的求取 ☻ 单位负反馈系统的闭环 ☎ 4.5.1　闭环系统频率特性的求取 ☻ 单位负反馈系统的闭环 频率特性　 　具有单位反馈的系统,其闭环传递函数Ф(s)和开环传递函数G(s)之间有如下关系:　 　在图4.46所示的奈奎斯特图上,向量OA表示G(jω1),其中ω1为A点处的频率,OA的模为|G(jω1)|, OA的相角为 ∠G(jω1) ，

续 　由(-1,j0)点到尼奎斯特轨迹的向量PA表示[1+G(jω1)]。因此,OA与PA之比就表示闭环频率特性,即　 ★结论1:在ω=ω1处,闭环频率特性的幅值就是OA与PA 长度之比值。

续 　 ★相角就是OA与PA的夹角,即φ-θ。如图4.46所示。当测量出不同频率处向量的长度和相角后,就可求出闭环频率特性曲线。 如果用M(ω)表示闭环频率特性幅值,α(ω)表示相角,则闭环频率特性可表示为

☻ 非单位负反馈系统的闭环频率特性　 　对于非单位反馈的闭环控制系统,可以按下述方法求取闭环频率特性。图4.47a所示的系统闭环频率特性为:　

续 令 则

续 　即把系统可以变换成图4.47b所示的系统。也就是说,可将系统闭环频率特性化为一个单位反馈系统的闭环频率特性乘以1/H(jω)。

☎ 4.5.2　闭环系统的频域指标 　图4.50为反馈控制系统的典型闭环幅频特性M(ω)曲线。这种典型幅频特性曲线随ω变化,系统的特征可用一些特征量加以概括,这些特征量构成了分析和设计系统的频域性能指标。

☻ 零频幅值M(0) 　零频幅值M(0)表示频率接近于零时,系统输出的幅值与输入幅值之比。在频率ω→0时,若M(0)=1,则输出幅值能完全准确地反映输入幅值。 　对于单位负反馈系统,若系统为无静差系统,在常值信号作用下,稳态时输出等于输入,有

续 　若系统为有差系统,输入为常值信号,稳态时输出不等于输入,有 　式中:K--系统开环放大系数。 M(0)值越接近1,则有差系统的稳态误差越小。

☻ 复现频率ωM 　若事先规定一个⊿作为反映低频输入信号的允许误差，那么ωM就是幅频特性与M(0)之差第一次达到⊿时的频率值。 当ω>ωM时,输出就不能准 　确“复现”输入。所以0-ωM频率范围称为复现带宽。

☻ 谐振频率ωr及谐振峰值Mr 　谐振峰值Mr为谐振频率ωr所对应的闭环幅值。它反映系统瞬态响应的速度和相对稳定性。对于二阶系统,由最大超调量Mp和谐振峰值Mr的计算式中可以看出,

☻ 截止频率ωb和带宽 　截止频率是指闭环频率特性的振幅M(ω)衰减到0.707M(0)时的角频率,即相当于闭环对数幅频特性的幅值下降到-3dB时,对应的频率ωb称为截止频率。 　闭环系统的幅值不低于-3dB时,对应的频率范围0≦ω≦ωb,称为系统的带宽。考虑典型二阶系统,其频率特性为

其幅值为 由于

可以得出二阶系统的截止频率为 并且 二阶系统瞬态响应的过渡过程调整时间ts≈3/(ξωn),

4.6 频域指标与时域指标间的关系 　第3章在时间域计算了控制系统动态性能的指标,本章频域分析则是根据开环频率特性特征量[如相位裕量γ(ωc)、幅值穿越频率ωc]或闭环频率特性特征量(如谐振峰值Mr、谐振频率ωr、截止频率ωb)来确定控制系统的动态性能。这些频域性能指标与时域性能指标之间存在一定的关系。这里主要研究典型二阶系统的频域指标与时域性能指标之间关系。

☎ 4.6.1　闭环频域指标与时域指标之间的关系 对于二阶系统,谐振峰值为 最大超调量为 　由上述表达式可得最大超调量和谐振峰值与阻尼比ξ的关系曲线,如图4.51所示。由图可知,最大超调量和谐振峰值都随着阻尼比ξ 的增大而减小。 因而,随着Mr增加,相应的Mp也增大。当Mr=1.36时,Mp=25.3%;当Mr→∞时,Mp→100%。

　Mp随着Mr变化的物理意义在于:当闭环幅频特性有谐振峰时,系统的输入信号频谱在ω=ωr附近的谐波分量通过系统后显著增强,从而引起振荡。 　　二阶系统的谐振频率为

其过渡过程调整时间为 由此可得 　可见, 阻尼比ξ一定时 ,调整时间ts与谐振频率ωr成反比,ωr大的系统,瞬态响应速度快;ωr小则响应速度慢。

√高阶系统的阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系是很复杂的。 √如果高阶系统的控制性能主要由一对共轭复数闭环主导极点来支配,则上述二阶系统频域指标与时域指标的关系均可近似采用。 √对于高阶系统,这里推荐两个经验公式供参考。一般地,从经验公式所得的结论,比近似采用二阶系统有关公式所得结论要精确些。

☎ 4.6.2　开环频域指标与时域指标之间的关系 对于典型二阶系统,其开环频率特性为 根据幅值穿越频率ωc的定义,有 整理并解得，

当ω=ωc时,由式(4.128)和式(4.129)可得 则相位裕量为

根据最大超调量 以及式(4. 132)可得以阻尼比ξ 为参变量时,Mp随γ变化的曲线,如图4 　根据最大超调量 以及式(4.132)可得以阻尼比ξ 为参变量时,Mp随γ变化的曲线,如图4.52所示。从图中可知,当γ =0°时,Mp=100%;随着γ 增加,Mp减小。当γ =76.35°时,Mp=0。

根据式(4.128)对不同的ξ 可 以计算出ωc/ωn。ωc/ωn随 ξ 变化的曲线如图4.53所示。 当0 < ξ < 0.4时, 0.85<ωc/ωn<1,阻尼比在此范 围内,用ωc替代ωn,误差小于 15%。因此,ωc对上升时间tr 和调整时间ts的影响与ωn对 tr、ts的影响近似,即当ξ 为 常数时,ωc越大,上升时间tr和 调整时间ts越小。

附加：推导 ts 与 c 的关系

4.7 用系统开环频率特性分析闭环系统性能 √系统的开环幅相特性、对数幅频特性与闭环幅频特性存在密切的关系。 4.7 用系统开环频率特性分析闭环系统性能 √系统的开环幅相特性、对数幅频特性与闭环幅频特性存在密切的关系。 √稳定系统开环幅相曲线G(jω)距离(-1,j0)点的远近,反映了系统的稳定程度和动态特性,而G (jω)曲线靠近(-1,j0)点的部分,相当于系统开环对数幅频特性曲线与零分贝线相交点附近的区段。 √对于最小相位系统,对数幅频特性和对数相频特性是一一对应的。研究对数相频特性图可知,开环对数频率特性的低频段、中频段、高频段分别表征了系统的稳定性、动态特性和抗干扰能力。

√低频段取决于开环增益和开环积分环节的数目,通常是指开环对数幅频特性在第一个转折频率以前的区段。 √中频段是指开环幅频特性曲线在幅值穿越频率ωc附近的区段。 √高频段是指开环幅频特性曲线在中频段以后的区段(ω>10ωc),这部分特性是由开环传递函数小时间常数环节决定的。下面着重分析低频段和中频段系统性能。

☎ 4.7.1　低频段 　 在研究稳态误差系数时,已得到重要结论:稳态位置误差系数Kp、稳态速度误差系数Kv和稳态加速度误差系数Ka,分别是0型系统、I型系统和П型系统的开环放大系数。在对数幅频特性图上,Kp、Kv和Ka分别描述了0型系统、I型系统和П型系统的低频特性。 系统的型号确定了低频时对数幅频特性的斜率。 ★结论：① 从对数幅频特性的低频段可以确定系统的 开环增益K和“型”V； 或者说，② 系统的开环增益K 和“型”V决定了对数幅 频特性的低频段特性。

★注重分析“最低频段”的“开环增益”K和“积分环节个数”V。 　考察图4.54所示0型系统。其对数幅频特性曲线渐近线低频段的斜率为0dB/dec。G(jω)的幅值在低频时为20lg K (dB)。此时, 稳态位置误差系数Kp =K

★注重分析“最低频段”的“开环增益”K和“积分环节个数”V 　考察图4.55所示I型系统。其低频段斜率为-20dB/dec的直线(或它的延长线)与ω=1直线的交点,具有的幅值为20lgKv。这可以说明如下:

　因为 所以 　低频段斜率为-20dB/dec的直线（或它的延长线）与0分贝线的交点是ω1，其数值等于Kv。为了证明这个结论，设这个交点上的频率为ω1 ，于是

★注重分析“最低频段”的“开环增益”K和“积分环节个数”V 所以 　考察图4.56所示П型系统对数幅频特性。低频段低利率为-40dB/dec的直线（或它的延长线）与ω=1直线的交点处的幅值是20lgKa 。

由于在低频时 　斜率为一40dB/dec的低频段渐近线与0分贝直线的交点处频率为ωa ,它在数值上等于　　　,这是因为

续 则 由此可得

☎ 4.7.2　中频段 　考虑最小相位系统。如果通过幅值穿越频率ωc的斜率为-20dB/dec，假设系统是稳定的，并只考虑幅值穿越频率ωc附近的开环特性,则开环传递函数为 　对单位负反馈系统,其闭环传递函数为

如果通过ωc的斜率为-40dB/dec,也假设系统是稳定的,并只考虑幅值穿越频率ωc附近的开环特性,其相应的开环传递函数为 　所以,相位裕量γ(ωc)=90°,幅值裕量无穷大, ωc越大,ts越小。显然,系统具有良好的动态品质。 　如果通过ωc的斜率为-40dB/dec,也假设系统是稳定的,并只考虑幅值穿越频率ωc附近的开环特性,其相应的开环传递函数为 　单位负反馈的闭环传递函数

　所以, γ(ωc)=0°,系统处于临界稳定状态。 　考虑低频段、高频段斜率变化对相位裕量的影响。设开环对数幅频特性曲为-40dB/dec,中、高频段的斜率为-20dB/dec,如图4.57所示。

　其开环频率特性表达式为　 　相频特性为　 相位裕量为　

续 √在低频段有更大的斜率时,系统的稳定裕量将减小,其减小的程度与ωc/ω1的值有关,ω1离ωc越远影响越小。 √由图4.57可知,ω1不会大于ωc,因此相位裕量不会小于45°。根据这一点可以断定,要保证系统相位裕量γ(ωc)=30°~70°,那么中频段的斜率一般应为-20dB/dec。 √若低、中频段的斜率为-20dB/dec,高频段斜率为-40dB/dec,如图4.58所示。其频率特性表达式为　

　相频特性为　 相位裕量为　 　由上式可知,高频段斜率更大时,相位裕量将减小,其减小程度与ω2/ωc的比值有关,研究表明ω2不会小于ωc,因此γ(ωc)不会小于45°, ω2离ωc越远,相位裕量越大。　

☎ 4.7.3　结论 　通过以上分析可以得出如下结论: 一个设计合理的系统,其开环对数幅频特性在低频段要满足稳态精度的要求:中频段要根据动态过程的要求来确定其形状。各频段的形状大致如下: 　(1)中频段的斜率以-20dB/dec为宜。 　(2)低频段和高频段可以有更大的斜率。低频段斜率大,可以提高系统的稳态性能;高频段斜率大,可以排除高频干扰,但中频段必须有足够的带宽,以保证系统的相位裕量。中频段带宽越宽,相位裕量越大。

续 　 (3)中频段幅值穿越频率ωc的选择,取决于动态过程的速度要求。一般来说,要求提高系统的响应速度,ωc应选大一些,但ωc过大又会降低系统的抗干扰能力。以上结论将是控制系统设计和综合的理论基础。