第六节 幂级数在函数逼近中的应用 本节内容: 一、泰勒公式 二、泰勒级数 三、幂级数在近似计算中的应用 第十章 机动 目录 上页 下页 返回 结束

对于一些较为复杂的计算，为了便于研究，我们往往希望用一些简单的函数来近似表达某函数.我们常用多项式来近似表达函数，称为用多项式来逼近函数。 在微分应用中，我们已经知道，当变量的绝对值很小时，有如下的近似计算： 显然，在 x=0处，这些多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值。 但是这种表达式还存在不足之处就是精度不高，对于精度要求较高且需要估计误差的情形，往往须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式。 第六节 目录 上页 下页 返回 结束

一、泰勒公式 设函数 在 的某领域内有直至 定义1 阶导数，则对此领域内任何一个 ，有 称为泰勒公式，其中 叫做余项， 在 与 之间。 容易验证当 时，泰勒公式 就是微分的拉格朗日中值定理。特别地，取 时 泰勒公式称为麦克劳林公式。 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 写出函数 的麦克劳林展开式。 解: 因为 当 时，得 迈克劳林展开式为 其中， 为余项 机动 目录 上页 下页 返回 结束

我们也可以利用Mathematica软件来展开函数，其 语句为： Series[f(x),{x,x0,n}] 其中o[x]7为余项。 当n=6，x=1 时，可以算出 其误差不超过万分之一。 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、泰勒级数 定义2 设函数 在 的某领域内具有任意阶导 数 … …则称级数 为函数f(x)在f(x0) 的泰勒级数。 称为 特别地，当取 定义2 设函数 在 的某领域内具有任意阶导 数 … …则称级数 为函数f(x)在f(x0) 的泰勒级数。 称为 特别地，当取 时， 的麦克劳林级数。 机动 目录 上页 下页 返回 结束

泰勒级数是泰勒多项式从有限项到无限项的推广， 带来了两个问题： 一是该级数在什么条件下收敛， 二是该级数是否收敛于函数 。 定理 设 在 的某领域内有任意阶导数，那么 在此领域内，泰勒级数 收敛于 的充要条件是泰勒公式的余项满足 同样地，麦克劳林级数 收敛于的 的充要 条件是泰勒公式的余项满足 。 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 将 展开成 的幂级数。 解: （1）先求出 分别算出在 处的值 ，当n=2m时 ，当n=2m-1时 例2. 将 展开成 的幂级数。 解: （1）先求出 分别算出在 处的值 ，当n=2m时 ，当n=2m-1时 机动 目录 上页 下页 返回 结束

（2） 写出麦克劳林级数： （3）求级数的收敛半径 或收敛区间余项 有， 因为对于 所以级数的收敛区间为 。 机动 目录 上页 下页 返回 结束

利用麦克劳林公式，不难得出几个常用的初等函数 的幂级数展开式： （1） （2） （3） 机动 目录 上页 下页 返回 结束

（4） （5） （6） 机动 目录 上页 下页 返回 结束

由函数产生的泰勒级数是函数的精确表达式： 三、幂级数在近似计算中的应用 在经济和工程技术领域中，常常涉及近似计算问题，例如在债券理论中，为了研究收益率对价格的影响，往往利用泰勒级数的前两项或前三项来近似计算，并根据近似计算公式研究债券的性质，为复杂的债券投资组合提供依据。 由函数产生的泰勒级数是函数的精确表达式： 适当小，可用级数前几项部分和来作近似 只要 计算，这种近似计算还是具有相当精确度的，而且 来估计。 所产生的误差可以由余项 机动 目录 上页 下页 返回 结束

我们来研究幂级数近似计算在固定收益证券中的 应用．对于总期限为Ｔ的付息债券而言，其价格的 变化主要取决于收益率y,如果第t年所得的现金流为 CFt，它的现值为 ，那么债券的理论价格就 是各期现金流的现值和 P(y)的二阶导数为 欧拉 目录 上页 下页 返回 结束

根据泰勒级数公式，债券价格P(y)的近似计算公式为 运行时, 点击“(欧拉公式)”, 或按钮“欧拉” , 将显示欧拉简介, 并自动返回. 将一阶导数和二阶导数代入上式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

或者 令 运行时, 点击“(欧拉公式)”, 或按钮“欧拉” , 将显示欧拉简介, 并自动返回. 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束

D是债券现金流的加权平均期限，被称为修正的久期，表示不同的现金流支付的时间加权平均，其中的权数是该时间所支付的现金流CFt的现值占整个现金流P的百分比，修正值为(1+y)-1.经济含义是债券产生的现金流的平均回收期，反映了债券价格对收益率的弹性，是研究债券特性和进行债券组合的重要指标。 令 C被称为债券的凸性，债券凸性是时间乘积t× (t+1)的加权修正值，权数是现金流CFt的现值占整个现金流P的百分比，不同于久期的是，其修正值为(1+y)-2。 运行时, 点击“(欧拉公式)”, 或按钮“欧拉” , 将显示欧拉简介, 并自动返回. 因此，债券价格的近似公式简化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

解 每份债券前六年的现金流为4元，第七年还本付息 所得现金流为(4+100)元。 例3 面值为100元的上海世博一期债券期限为7年，每年利息为4元，市场价格为105元．求债券的修正久期的凸性，当收益率上升0.01时，世博债券的价格变化。 解　每份债券前六年的现金流为4元，第七年还本付息 所得现金流为(4+100)元。 设 债券的收益率为，则债券的价格等于现金流的总现值 运行时, 点击“(欧拉公式)”, 或按钮“欧拉” , 将显示欧拉简介, 并自动返回. 利用Mathematica软件，首先定义价格方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

当P0=105元时的y0值 由于收益率y介于0和1之间，所以y0=0.0319 求修正久期 修正久期为6.07052。 运行时, 点击“(欧拉公式)”, 或按钮“欧拉” , 将显示欧拉简介, 并自动返回. 修正久期为6.07052。 机动 目录 上页 下页 返回 结束

当收益率上升0.01的时候，世博债券的价格变动幅度为 求凸性 因此，债券的近似计算公式为 当收益率上升0.01的时候，世博债券的价格变动幅度为 运行时, 点击“(欧拉公式)”, 或按钮“欧拉” , 将显示欧拉简介, 并自动返回. 即债券的收益率上升100个基点（0.01），债券的价格大约下降5.84% 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4. 利用Mathematica软件的幂级数功能函数Series[ ]计算例3的问题。 有关幂级数的近似计算，也可以直接利用Mathematica软件中函数Series[ ]的功能，它将按照要求将目标函数展开为泰勒级数的前n次幂项，并用o[ ]n+1表示余项。 例4.　利用Mathematica软件的幂级数功能函数Series[ ]计算例3的问题。 解 （1）定义价格函数。 运行时, 点击“(欧拉公式)”, 或按钮“欧拉” , 将显示欧拉简介, 并自动返回. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

（2）利用Series[ ]求解债券价格的展开式。 即 P≈105.01-637.4(y-0.031 9)+2 376.46(y-0.031 9)2 （3）计算债券的价格变动、久期和凸性。 将y=0.041 9代入上式，可得P=98.87， 价格变动幅度=(98.87-105)÷105=5.83%， 运行时, 点击“(欧拉公式)”, 或按钮“欧拉” , 将显示欧拉简介, 并自动返回. 修正久期为 凸性为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4 2006年某期面值为100 元的附息国债的年限为5年，每年利息为3.7元，如果债券的收益率为4%，求债券的修正久期和凸性。 例4　2006年某期面值为100 元的附息国债的年限为5年，每年利息为3.7元，如果债券的收益率为4%，求债券的修正久期和凸性。 解 （1）利用Mathematica软件，首先定义债券的价格函数。 （2）求y=4%，n=2时，泰勒级数的展开式。 运行时, 点击“(欧拉公式)”, 或按钮“欧拉” , 将显示欧拉简介, 并自动返回. Out[23]=98.664 5-441.43(y-0.04)+1 242.32(y-0.04)2+o[y-0.04]3 机动 目录 上页 下页 返回 结束

（3）求修正久期和凸性。 债券的修正久期 债券的凸性 运行时, 点击“(欧拉公式)”, 或按钮“欧拉” , 将显示欧拉简介, 并自动返回. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

本节小结： 1.泰勒公式定义 2.泰勒级数的定义 3.如何利用级数来求近似值 运行时, 点击“(欧拉公式)”, 或按钮“欧拉” , 将显示欧拉简介, 并自动返回. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1．求tanx和arccosx在x0=0处的幂级数展开式，取n=15。 课堂练习：习题10 – 6 1．求tanx和arccosx在x0=0处的幂级数展开式，取n=15。 3．将下列函数在指定处展开成泰勒级数，取n=6。 运行时, 点击“(欧拉公式)”, 或按钮“欧拉” , 将显示欧拉简介, 并自动返回. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

作业： 习题10 – 6 P237 2、4题 运行时, 点击“(欧拉公式)”, 或按钮“欧拉” , 将显示欧拉简介, 并自动返回. 机动 目录 上页 下页 返回 结束