從2013年台南市市長盃 國民中學數學能力競賽 決賽試題分析談起 左太政/國立高雄師範大學數學系

對數學競賽的省思: 蕭文強(2012):數學競賽---是好、是壞？是樂、是苦？數學傳播。37卷4期，pp.46-55。 作者從參與1988年香港舉辦數學奧林匹亞競賽(IMO)擔任coordinator談起。 台南市自95年開始由南寧高中承辦市長盃國中數學競賽複賽及決賽部分。

競賽與研究 參加數學競賽者，較著重在解可能題目未必很明確別人出題，並能分析解題策略，對數學學習與研究是否有幫助？ 數學研究之精神在於探索解答，且容許改變題目條件。

研習內容 簡介解題策略 決賽試題解析

第一部分： 淺介數學解題策略

何謂數學解題 解題係指當某人在解一個數學問題時，這個人為獲得答案所從事的一系列活動。 數學解題係指在解決數學問題過程中需要用到一些數學概念、原理或方法等。

老師教解題技巧的二個任務 老師是否能夠明確用名詞描述出成功解題時所使用的解題方法或策略為何？ 老師是否能夠將這些解題方法或策略教導學生如何解題？

解題策略的意義 策略是指完成任務的方法。 解題策略是指解決數學問題所使用的方法。

解題策略的種類 (Problem-Solving Strategies) 法則 (Algorithms) 捷思法 (Heuristics) 窮舉法(Trial-and-Error) 頓悟法(Insight)

解題能否成功，取決於有關知識及技能所涉及的四個範疇 (1)資源(resources):有關數學的程序知識與性質等。 (2)捷思 (heuristics)：解題的策略及技巧。 (3)掌握(control):能決定什麼是及何時使用上述所提及的資源及策略。 (4)信念(beliefs)：從數學觀點如何確定能解決問題。

常用的捷思策略 1.如有可能的話可作圖或表。 2.特殊化—即考慮特殊情形可由下列方式進行 ： 視為問題的特例； (1)探究可能取值的範圍； (2)將整數參數從1,2,3,…依序探討起，尋找其規律性 3.利用「對稱性」或「為不失一般性」嘗試簡化題目 4.倒推法 5.將問題化成一系列小問題解題 6.分幾種情形討論 7.反證法 8.一般化 9.引用新的符號(代數題)或作補助線(幾何題)

解題歷程 （一） 瞭解問題- 什麼是題目要求的或要證明的？ 已知條件有哪些？ 必要時可作圖行或表格幫助瞭解題意。

（二） 擬定計畫(即提出解題構想)-能分析問題，是否曾做過或解過類似題，以尋求解題途徑，亦可考慮依下列方式進行： 1.儘可能畫出圖形或表格； 2.檢查特例如令問題中的整數取等特殊值代入, 看看是否可歸納出規律來； 3.嘗試簡化問題如利用對稱性、採用『不妨假設』 而不失問題的一般討論方式。 4.如無法立即解決問題，需保留任何解題的記錄,以便先做別題後再回頭解本題時參考使用。

解題歷程 （三） 實行計畫- 選擇策略及綜合運用知識去進行推理、計算，以解決問題。 （四） 回顧解答- 驗證答案是否合理及思考結果或方法能否用於解其他問題， 甚至於自己修改原問題或推廣其結論,，形成另一個問題,，亦可考慮作為專題研究之題目。

簡言之,通常解題活動先從題目待答或待證明的地方著手(Request),適時引進題目的已知條件及潛在的性質(Response),最後導出結果(Result).這是所謂的「3 R」策略。

第二部份： 數學競賽決賽試題 解析

一、填充題 (共10題，每題6分)

1. 已知 p 和q 都是質數且 ，如果 和 也都是質數， 則 之值為__________。 Ans: 23

(2) 又 p+2 也是質數，且 p-2, p, p+2 三數中必只有一數是3的倍數。故 【參考解答】 (1)因為 p 和q 都是質數，且 p+q和 p-q也都是質數，故q=2 。 (2) 又 p+2 也是質數，且 p-2, p, p+2 三數中必只有一數是3的倍數。故

2. 已知 皆為整數，則共有___________組數對 滿足條件 。 2. 已知 皆為整數，則共有___________組數對 滿足條件 。 Ans: 3組

【參考解答】 代入 分別求 值： (1)當 時， (不合)； (2)當 時， (不合)， ； (3)當 時， (不合)； 故解為 。

3. 將2，3，4，5，6，7，8，9，10，11這十個數填入右圖中的10個空格子裡， 每個格子只能填一個數。又此圖形中共有三個田字形，每個田字形都是由四個空格組成。如果每個田字形的四個空格內所填的數字之和都等於A，則A的最大值為________。   Ans: 28

【參考解答】 設對角線位置的中間二個空格分別 填入 ，又三個田字型的四個格子 中所填的數 之和為A， 因 ， 若A=28，可考慮取 最上面的田字型其餘三數為4,7,8；中間的田字型其餘二數為3, 6； 最下面的田字型其餘三數為2,5,11。 註:本題填法有多種方式，A的最小值為24。

4. 在所有三位數的正整數 中，能使 的末三位數字是168的最大三位數 為__________。 Ans: 982

【參考解答】 (1)因n3的末位數字是8，所以n的末位數字是2。 (2)設n =10k+2，其中kZ， n3 = (10k+2)3 = 1000k3+600k2+120k+8， 因為n3的十位數字是6，所以k的個位數字為3或8。 為了簡化計算，我們可以假設k = 5m+3，其中mZ， n3 = (10(5m+3)+2)3 = (50m+32)3 =125000m3+240000m2+153600m+32768， 因為n3的百位數字為1，故m的個位數字為4或9。 當m = 4 ，我們得到 k = 23 和 n = 232，

當m = 9 ，我們得到k = 48 和 n = 482， 當m = 14 ，我們得到k = 73 和 n = 732， 當m = 19 ，我們得到k = 98和 n = 982， 當m = 24 ，我們得到k =123 和 n = 1232，……。 所以最大三位數n為982

5. 長方形ABCD 中，E 為 中點，F 為 中點。如果 為直角，則 的比 值為_________。  (答案需化為最簡式，否則不予計分) Ans:

【參考解答】 令

6. 已知二數 滿足 則 _______。 Ans: 4 

【分析】 如果利用乘法公式將其展開後整理，過程可能複雜些。 如果利用十字交乘法：令 因此原方程式可寫成 ，似乎也不行通。 如果利用十字交乘法：令 因此原方程式可寫成 ，似乎也不行通。 若利用配方法：欲寫成 ， 其中 。

【參考解答】 根據以上討論可知 設原式=  

7. 令 為正整數，在坐標平面上，直線 ，分別交x軸與y軸於 二點 O 為原點。 若直角三角形AOB 的面積為 ，則 = _________。 Ans:

【參考解答】 因為A,B點之座標 之面積為 。

8. 計算 =______。 (需化至最簡式，否則不計分。) Ans:

【參考解答】

9. 設某數列的第n項為 ，其中n為正整數。若此數列的前2013項之和為L，且 ，其中 是某正整數，則 的值為_________。 Ans: 2013 

【參考解答】 設 其中n為正整數。 首先觀察對任意的正整數k，

所以對任意的自然數n ，我們可求得 因為 由＊知， 所以

10.已知 為正整數且 ，則滿足條件 的 值為________。 Ans:

【參考解答】 因 為正整數，所以 必為正整數，且 ，所以 ，其中k 為正整數。 但 ， 因為 ，所以 。

由上述解的過程得知 如果我們將1683改為2013或2014，其結果為何？

二、計算及證明題 (共4題，每題10分)

1. 設 為質數，如果 的正因數之個數少於11個，試求滿足這樣條件的所有質數 。

解題策略： 將p值從最小值p=2,3,5,…代 入檢驗是否符合題意。

【參考解答】Ans: 若 ，則 有4個正因數1, 3, 5, 15。 若 ，則 有6個正因數1, 2, 4, 5, 10, 20 若 ，則 有4個正因數1, 3, 5, 15。 若 ，則 有6個正因數1, 2, 4, 5, 10, 20 若 ，則 有9個正因數1, 2, 3, 4, , 9, 12, 18, 36 若 ，則 有12個正因數（不合）

欲證當 時， 的正因數之個數必多於11個。首先證明 為12的倍數。 因為 ，則 必為4的倍數加1， 必 為4的倍數。 又 為3的倍數加1，因此 亦為3的倍數加1，所以 為3的倍數。 故可令 ，其中 為正整數 因此當 ，則 。 若 ，則 有12 個正因數1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33,44,66,132（不合）。 若 ，則 有12 個正因數 （不合）。  

評分標準 2、3、5 找出一個得1分，共3分 例：1、2、3、5 多寫一個得2分 例：2、3、5、7、11 多寫二個得0分 2、3、5　找出一個得1分，共3分 例：1、2、3、5 多寫一個得2分 例：2、3、5、7、11 多寫二個得0分 例：2、3、7 少一多一得0分 猜出 必為12倍數　 得1分 證 為4的倍數 得1分 證 為3的倍數 得1分 說明 時， 因數個數小於11個的 值只有2、3、5 得4分

2.已知 為正整數，且 ， 如果 能被 整除，試求 之值。

【參考解答】Ans: (1) 能被 整除，所以 。 (2)又 不能被 與 整除， 不能被 與 整除， 不能被 與 整除，由 能被 整除，可知 。

(3)令 ，其中 為某一正整數，因此 能被 整除，即 。 因此令 ，其中 為正整數。 (4)又

另解

評分標準 答案對，但缺乏合理說明過程 得1分 有推導出 得2分 寫出 或 為 的倍數，或以類似表示解法 得2分 答案對，但缺乏合理說明過程 得1分 有推導出 得2分 寫出 或 為 的倍數，或以類似表示解法 得2分 直接任意代入數字，不給過程分數 其餘討論，過程合理正確， 再得5分

3. 設 ，試求出所有可能的整數 ，使得n是某個質數的平方，並求出所有合乎條件 的n值。

參考解答 設 ，其中p是質數， 則 ， 中可設 ， 為整數。因此，觀察得到 又因為 ，所以考慮下列可能情形如下：

(1)當 時，則 ，無解 (2)當 時，則 ，所以 ，因此 。 (3)當 時，則 ，無解。 (4)當 時，則 ，無解。 (5)當 時，則 ， 即 與p是質數矛盾，因此無解。 (6)當 時，則 ，無解。 綜合以上討論可知合乎所求僅有 ，此時

評分標準 直接猜答案 得3分 透過因式分解 令 得5分 完整分類討論，每討論一項加1分 　得5分

4.設 表示一個三角形之三邊長，試證：

參考解答 (1)首先證明：

給分原則 如果直接提及： 利用算幾不等式，基本上國中階 段並無此公式，原則上需證明。

(2)先證明 ， 。 同理可證 。其次，再將此三個不等式兩邊分別乘以 後相加，得 ， 故得證。  

評分標準 二個部分不等式，各完成一個， 得5分 令 ，或只討論特殊三角形來說明不等式成立， 得1分 用數字代入說不等式成立， 不給分 二個部分不等式，各完成一個， 得5分 令 ，或只討論特殊三角形來說明不等式成立， 得1分 用數字代入說不等式成立， 不給分 其餘依據討論及策略的完整性，視情況加分

複賽填充題解析

8. 有一個大掛鐘矗立在公園中，上午 點被校正為正確時間，但此掛鐘每走一分鐘，它會較正確時間慢 秒鐘，若當天下午此掛鐘的鐘面指針是兩點整，則此時正確的時間應是幾點幾分？ (A) 2 點 40分 (B) 2點50 分 (C) 3點整 (D)3 點 10分 Ans: (C)

【參考解答】 設正確時間為下午 2 點 分， 由於該鐘每一分會慢了10秒鐘，所以得方程式：

另解 考慮利用比例關係 正確時鐘每走1分鐘，此時鐘只走50秒 二者行走速度比值為 ， 二者行走速度比值為 ， 因此當此時鐘為兩點整，共走5小時，因此正確時鐘需走6小時。

12. 已知 且滿足 ，則   (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 Ans: (A)

【參考解答】 利用根與係數，因為 分別為方程式 的二解，因此

19. 小明開車從甲地開往乙地，每小時的車速維持固定。如果他把車速每小時提高20%，可以比原來預定到達的時間提早1小時；如果他先以原來的速度行駛120公里後，再將車速每小時提高25%，則可提前40分鐘到達，請問甲乙兩地相距多少公里？ (A) 240 (B) 270 (C) 300 (D) 360 Ans: (B)

【參考解答】 設甲乙兩地相距 公里，且小明每小時的車速為 公理，由題意知， 又 ， 故 。

20. 有一個 位數A，具備以下兩個性質： (1) A中每一位數的數字都是1或2， (2) A中至少有相鄰的二個數字都是1， 例如: ， A=112、211及111都滿足此二性質。 又另一個 位數B，具備以下兩個性質： (3) B中每一位數都是0或1， (4) B中至少有相鄰的二個數字都是0， 例如: ， B=100滿足此二性質。 若 表示 n位數A的個數， 表示 位數B的個數，則 之值為多少？ (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 Ans: (B)

【參考解答】四位數的A=1122,2112,2211,1112,2111,1121,1211及 1111 共8種 四位數的B=1100,1001及 1000，共3種 所以8+3=11

21. 設有兩相異數 和b 滿足 和 ，則 之值為何？ (A) (B) (C) (D) Ans: (D)

【參考解答】因為 為方程式 的二根，所以 因此 。

22. 設 ， 令 且 ，若以p和q為兩根的方程式為 ，則 ? (A) 28 (B) 32 (C) 36 (D) 40 Ans: (A)

【參考解答】

23. 在四邊形 ABCD中， ， 且 。如果四邊形的周長為16，則 =？ Ans: (B)

【參考解答】作 ，因為 所以 為正三角形，且 ，且 令 ，由題意知，

複賽第24題 已知實數 滿足 ，則 之值為多少？ (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

【參考解答】 將上式分別乘以 後相加，得

25. 某一學年度創創在學校總共考了n 次數學測驗，已知他在該學年度最後第二次數學測驗考了98分，他算出到此次測驗為止，他的數學測驗平均分數就會比前面 n-2次的平均分數增加 1分；又他在該學年度最後一次測驗考了70分，那麼他在該學年度全部數學測驗的平均分數就會比前面 n-1次測驗的平均分數減少2分；則 n=？ (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 Ans: (D)

【參考解答】 設創創在該年前面n-2 次數學測驗的平均分數為 m分，由題意知， 又 解之得n=10。

範例解說

問題1. 已知 為介於0和1之間的正實數，試證：

能否描述本題的解題策略？ 利用類比(Analogy)Fewer variables方法，先從二個變數著手，即先作 其次，不等式的兩邊再分別乘以 及 去說明三個變數及原式的結果。

問題2. 試求： 之值。

如何教導同學解題策略？ 通分？還是……

參考解法一 將原式引進sigma符號來化簡，即

參考解法二 考慮 ，再尋找規律性。

類題 計算

問題3 . 給定二條相交於一點的直線，在其中一條上取一點 ，如圖所示。試利用尺規作圖作一圓相切於此二直線，使得此圓與其中一條直線相切於點 。

問題 4. 在 中，試證可利用尺規作圖作一直線，平行於底邊 ，且將此三角形平分成二個面積相等的圖形。

單元:一題多解 有利於加強同學的思維訓練 有利於培養同學的數學能力 例如:(1) 數與形的結合 (2) 轉化解題方法的培養 (3) 歸納能力

從一道數學題目談起 如圖，試求 的度數。

參考解答一(利用三角函數)

參考解答二:使用國中所習方法 圖解法(Proof Without Words) 首先，構造

類題： 試求下圖中的九個角的度數和。 提示：

【參考解答】

【參考解答】