第二十四章 電磁波

Ch24 電磁波

24.1 位移電流及廣義安培定律

電磁波－簡介 電磁波 (EM Wave) 充斥於我們週遭的環境中 電磁波能夠在真空中傳遞 機械波的許多行為模式與電磁波類似 馬克士威方程式建構起所有電磁學的基本現象 Ch24 電磁波

傳導電流 導線中藉由帶電質點移動而形成的電流稱為傳導電流 利用安培定律，可以算出由這類電流所形成的磁場 上式中的線積分是針對圍繞於導線四周的任意密閉迴路 Ch24 電磁波

傳導電流 前述安培定律的表示法，僅適用於電流為持續流動的情況下 在右圖的例子中，傳導電流僅通過 S1 的面而已 這就違背了上述安培定律使用的條件 Ch24 電磁波

位移電流 馬克士威針對前述問題，在安培定律的公式中，加入一新增的項目來加以解決 這新增的項目稱為位移電流 位移電流的定義為 Ch24 電磁波

位移電流 一個時變的電場可以將它視為另一種電流 這種電流可視為導線中持續流動的傳導電流 於是在安培定律的電流中，再加入位移電流這一項 例如，正在充電或放電的電容器二板間的空間 這種電流可視為導線中持續流動的傳導電流 於是在安培定律的電流中，再加入位移電流這一項 Ch24 電磁波

安培定律－一般表示法 安培定律的一般式，有時也稱作安培-馬克士威定律，它的形式為： 磁場是由傳導電流以及時變電場共同產生的 Ch24 電磁波

安培定律一般式－實例 通過 S2 面上的電通量為 EA 若 q 為平行板上的電量，那麼 此項位移電流 Id 與穿過 S1 面上的傳導電流 I 相同 Ch24 電磁波

簡答題 24.1 在一個 RC 電路，當電容開始放電，(i) 在放電過程中，電容器的兩平板間，其中 (a) 有傳導電流，但沒有位移電流；(b) 有位移電流，但沒有傳導電流；(c) 傳導電流與位移電流兩者均有；(d) 沒有任何形式的電流？(ii) 在放電過程中，電容器的兩平板間，其中 (a) 有電場，但沒有磁場；(b) 有磁場，但沒有電場；(c) 電場與磁場兩者均有；(d) 沒有任何形式的場？ Ch24 電磁波

簡答題 24.1 (i)，(b)。因為兩板間沒有導體存在，因此沒有傳導電流。因為兩板上的電量減少，電通量隨時間改變表現出位移電流，因此有一個隨時間改變的電場。(ii)，(c)。因為兩板上的電量減少，因此有一個隨時間改變的電場。此隨時間改變的電場又產生出磁場。 Ch24 電磁波

24.2 馬克士威方程式

馬克士威 生於1831-1879年 發展出光的電磁波理論 氣體動力論的建構者 解說人類能夠看到各種顏色的反應機制 土星環構造的說明者 死於癌症 Ch24 電磁波

馬克士威方程式－簡介 1865年士威提出一套將電與磁的現象牢牢相扣的數學理論 馬克士威方程式同時也預測電磁波可以在太空中傳遞 愛因斯坦後來也證實這些方程式與特殊相對論所討論的結果吻合 Ch24 電磁波

馬克士威方程式 在他的電磁學理論下，馬克士威證實，電磁波事實上是下述四個基本定律所呈現的自然現象 Ch24 電磁波

馬克士威方程式－詳細說明 前述四個方程式是在真空中的一種表示法 這幾個定律在本書中稍早的章節已有詳細的討論 空間沒有介電質或磁性材料的存在 高斯定律(電通量) 磁學的高斯定律 法拉第感應定律 安培定律－一般表示法 Ch24 電磁波

馬克士威方程式－詳細說明 由法拉第定律與安培定律的一般式可以推導出馬克士威方程式中的電場與磁場偏微分關係： Ch24 電磁波

羅倫玆力 如果知道空間同時有電場與磁場的存在，那麼這二個場對一個帶有 q 電量的質點作用的力為： 這個力稱為羅倫玆力 Ch24 電磁波

24.3 電磁波

電磁波 在真空中， q = 0 且 I = 0 馬克士威預測仍然有電磁波的存在 電磁波是由振盪的電場與磁場所形成 二個時變的場相互感應，導致電磁波的向外傳遞 時變電場能夠感應出磁場 時變磁場會感應出電場 Ch24 電磁波

平面電磁波 我們假設電磁波中的電場和磁場向量有一種特定的時-空關係 設有一電磁波沿 x 軸 前進，其電場沿 y 軸 方向，磁場沿 z 軸方向 Ch24 電磁波

平面電磁波 x 方向稱為波傳遞的方向 在前述的電磁波中，電場與磁場方向被限制在一組相互垂直的方向上，具有這種性質的波，稱為線性偏極波 同時我們也假設在空間中任何一點，電場 F 與磁場 B 的大小僅隨 x 和 t 改變 Ch24 電磁波

線 波行進方向的直線 對前述討論過的線性偏極波而言，所有的線都是相互平行的 線性偏極波的集合稱為平面波 將所有波中，相位相同的各點連成的一個面稱為波前 (wave front) ，這是一個幾何平面 Ch24 電磁波

電磁波的性質 馬克士威方程式的解具有波函數的形式，同時電磁波中的電場與磁場均滿足波動方程式 此一結果來自馬克士威方程式的解 平面電磁波中的電場與磁場相互垂直，此二場同時亦與波傳遞方向垂直 將這些關係綜合起來，可以說電磁波為一橫波 Ch24 電磁波

電磁波的性質 在真空中，電場與磁場大小之間的關係可寫成： 電磁波也遵守波的重疊原理 此一關係也可以從馬克士威方程式的解經偏微分來得到 Ch24 電磁波

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波速的推導過程細節 由真空中的馬克士威電場與磁場偏微分關係，可以得到以下二個偏微分方程： 這二個偏微分方程式，為典型的波動方程式的形式，其中波速 將 0 與 代入可得電磁波在真空中的波速 v = c = 2.99792  108 公尺/秒 和 Ch24 電磁波

E 與 B 的比值過程推導 對前述二偏微分方程式而言，最簡單的解為正弦式的波函數： 其中 稱為角波數 式中的  為波長 稱為角頻率 其中 稱為角波數 式中的  為波長 稱為角頻率 式中 ƒ 為波的頻率 Ch24 電磁波

E 與 B 的比值過程推導 電磁波的波速為 將電場與磁場的波函數代入馬克士威方程式的電場與磁場偏微分關係中也可得到： Ch24 電磁波

電磁波的圖形表示法 右圖為朝正的 x 軸方向行進的線性極化平面波，在某一瞬間的圖形表示 E 與 B 會隨著 x 的位置作正弦函數式的改變 Ch24 電磁波

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光的都卜勒效應 光也有都卜勒效應 由於光的傳遞不需要靠介質，所以只有光源與觀測者之間的相對速率能夠加以界定 請記住，都卜勒效應是由於波源或觀察者運動時，所測得的頻率與原始頻率間有差別的一種現象 由於光的傳遞不需要靠介質，所以只有光源與觀測者之間的相對速率能夠加以界定 Ch24 電磁波

都卜勒效應 光的都卜勒效應方程式和相對速度有關 式中 v 為光源與觀測者之間的相對速率 c 為光速 f 為觀測者測得的頻率 Ch24 電磁波

都卜勒效應 對一個以速率 v 自地球後退的銀河而言， v 本身為負值 這就是觀測到的光線紅位移現象，說明發光體是遠離地球而去的 代入前面的頻率公式中會得到 f ’< f ，測得的波長 ’ 則會大於銀河發出光線的實際波長 所觀測到的光譜線，其波長都會朝紅光側偏移 這就是觀測到的光線紅位移現象，說明發光體是遠離地球而去的 Ch24 電磁波

例題24.1 頻率為 40.0 MHz 的正弦電磁波在真空中沿 x 方向行進，如圖24.6所示。 A.求此波的波長與週期。 解答 Ch24 電磁波

例題24.1(續) B.在某點與某時，電場沿著 y 軸其最大值為750 N/C。計算在此點與此時，磁場的大小與方向。 解答 Ch24 電磁波

例題24.1(續) C.寫出此波隨空間－時間變化的電場與磁場函數。 解答 Ch24 電磁波

例題24.1(續) D.一個位於 x 軸上的觀察者，在圖24.6右邊的遠方，沿著 x 軸以0.500 之速率朝左運動。此觀察者所測量到此電磁波的頻率為何？ 解答 Ch24 電磁波

24.4 赫茲的發現

赫茲 生於1857-1894年 畢生中最大的貢獻為發現無線電波 證明無線電波遵循波的各種現象 死於血中毒 1887年發現無線電波 Ch24 電磁波

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赫茲的實驗 將一個感應線圈與發報器相連 發報器中有二個相距極近的球狀電極 Ch24 電磁波

赫茲的實驗 感應線圈對電極提供瞬間突然提升的電壓 當二極間的空氣被強大的電場游離後，就變成了導體 在二個電極間的放電作用，會以極高的頻率週而復始的進行 從電路的觀點來看，這樣的裝置就如同 LC 電路一樣 Ch24 電磁波

赫茲的實驗 當接收器的頻率調整到和發報機相同時，接收器的二個電極間就會感應出火花放電來 在一系列的相關實驗後，赫茲證實，由這種裝置所產生的無線電波具有波的各種特性 干涉、繞射、反射、折射以及偏極化 他同時也測量出無線電波的波速 Ch24 電磁波

24.5 電磁波所攜帶的能量

波印廷向量(Poynting vector) 電磁波帶有能量 當它在空中傳播時，它會將能量傳給行進中遇到的各種物體 電磁波的能量流率可以用一個稱為波印廷的向量來表示 Ch24 電磁波

波印廷向量 波印廷向量的定義為： 它的方向即為波傳遞的方向 這個量與時間有關 它的大小隨時間改變 當電場或磁場達到最大值時，波印廷向量也達到最大值 Ch24 電磁波

波印廷向量 波印廷向量的大小，代表通過與波行進方向垂直的單位面積、單位時間內的能量 也就是通過單位面積上的功率 在 SI 單位系統中，它的單位為焦耳/秒‧公尺2 = 瓦特/公尺2 Ch24 電磁波

強度 波的強度 I 為某一段時間內，波印廷向量的平均值 對函數 取一週期的時間平均值，其結果為 ½ ，於是 Ch24 電磁波

能量密度 能量密度 u 為單位體積內的能量 對電場來說，其能量密度為 對磁場來說，其能量密度為 由於 ，而且 ，所以 Ch24 電磁波

能量密度 電磁波的磁場能量密度瞬間值和電場能量密度的瞬間值相同 在某一空間中，電磁波的能量是由電場與磁場均分 Ch24 電磁波

能量密度 電磁波的總能量密度為電場與磁場各別能量密度的相加 若將這一能量取一週期的值加以平均，可得到平均能量密度 uavg 所以波的強度 I 可以寫成 電磁波的強度等於平均能量密度乘上光速 Ch24 電磁波

簡答題 24.2 一個沿著 –y 方向傳播的電磁波，其電場在空間中某點瞬間的方向為 +x 方向。磁場在此時此刻的方向為 (a) –x 方向；(b) +y 方向；(c) +z 方向；(d) –z 方向？ (c)。 必須為 +z 方向，如此波印廷向量才會指向 –y 方向。 Ch24 電磁波

簡答題 24.3 對一個平面電磁波而言，下列何者不隨時間而改變？(a) 波印廷向量的大小；(b) 能量密度 uE；(c) 能量密度 uB；(d) 強度 I。 (d)。前三個選擇為瞬間值且隨時間改變，其強度為整個循環的平均值。 Ch24 電磁波

例題24.2 一個點波源的電磁輻射其平均輸出功率為 800 W。請求出在距離波源 3.50 m處，電場與磁場的最大值。 解答 Ch24 電磁波

例題24.2(續) Ch24 電磁波

24.6 動量與輻射壓力

動量 電磁波不得傳遞能量，它同時也傳遞動量 當電磁波所帶的動量被物體表面吸收時，表面就會受到壓力作用 假設電磁波在 t 時間內對一個面傳送了 U 的總能量，那麼對完全吸收的面而言，此面一共吸收了 p = U/c 的動量 Ch24 電磁波

壓力與動量 壓力 P 是指單位面積所受的力 由於波印廷向量 S 的大小為 (dU/dt)/A 是故 P = S/c 上述關係是對一完全吸收面而言 一物的表面能將入射能量百分之百吸收時，該物即稱為黑體 Ch24 電磁波

壓力與動量 對完全反射面來說，面上的動量變化 p = 2U/c ，而受到的輻射壓 P = 2S/c 若物體表面的反射係數介於完全反射與完全吸收之間，那麼由輻射傳送到面上的動量將會介於 U/c 和 2U/c 之間 若太陽光直接照射於某一面上，面上所接受到的輻射壓約為 5 × 10-6 牛頓/公尺2 Ch24 電磁波

輻射壓的決定 右圖為一量度輻射壓的裝置 實際操作時，整個裝置是放在高度真空的環境內 輻射壓是透過連接二個圓盤的水平桿偏轉角度來決定 Ch24 電磁波

太空航行 太空帆船有一大片反射光線的帆 太空帆船靠著光壓提供動力 研究顯示，太空帆船在兩個行星之間飛行所需的時間和傳統的火箭相似 量的來源是靠大片的帆反射來自於太陽的光線產生 研究顯示，太空帆船在兩個行星之間飛行所需的時間和傳統的火箭相似 Ch24 電磁波

簡答題 24.4 如圖24.11的裝置，假設黑色圓盤由一個半徑為原來一半的圓盤取代，當此圓盤被取代後，在相同時間內傳送到圓盤上的何者會改變？(a) 圓盤上的輻射壓力；(b) 圓盤上的輻射力量；(c) 圓盤上的輻射動量。 Ch24 電磁波

簡答題 24.4 (b)，(c)。輻射壓力 (a) 並未改變。因為壓力為單位面積所受的力；在 (b) 中較小的圓盤吸收較少的輻射，以致於受力較小。同樣的，(c) 的動量亦減少。 Ch24 電磁波

例題24.3 太陽傳送到地球表面的能量大約為1000 W/m2。 A.計算入射到一個尺寸為8.00 m × 20.0 m的屋頂上其總功率。 解答 Ch24 電磁波

例題24.3(續) B.假設屋頂的覆蓋為完全吸收體，計算屋頂上所受的輻射壓力與輻射力。 解答 Ch24 電磁波

例題24.4 許多人在發表演說時常利用雷射筆當作指示工具。若一個3.0-mW的雷射筆，所產生的光點直徑為2.0 mm，當此光點照射到一個反射率為70% 的螢幕上，計算其所產生的輻射壓力。此功率3.0-mW為時間平均功率。 解答 Ch24 電磁波

例題24.4(續) Ch24 電磁波

24.7 電磁波光譜

電磁波的波譜 電磁波波譜是由許多不同類型的電磁波組合而成 在相鄰二類電磁波的波譜之間並無明確的分界 各種不同類型的電磁輻射，都是由加速電荷這種方式所產生 Ch24 電磁波

電磁輻射波譜 請注意到相鄰二類型波之間頻率的重疊 可見光在電磁波波譜中只佔極小的一段範圍 各類型的電磁波是依頻率或波長來加以區分 Ch24 電磁波

電磁波波譜的一些重點 無線電波 微波 波長範圍由 0.1 公尺到 104 公尺以上 運用於無線電與電視通訊系統上 波長範圍由 10-4 公尺到 0.3 公尺 非常適用於雷達系統 微波爐即為微波在日常生活中的一種運用 Ch24 電磁波

電磁波波譜的一些重點 紅外線 可見光 波長範圍在 7  10-7 公尺到 10-3 公尺之間 把它稱為熱波是一種不正確的說法 它是由熱的物質及分子所產生 很容易被大多數的物質吸收 可見光 電磁波波譜中能被人類眼睛看到的部分 眼睛反應最敏銳的波長約在 5.5  10-7 公尺左右 (也就是黃-綠光之間) Ch24 電磁波

關於可見光的進一步說明 不同的波長對應不同的顏色 可見光的範圍由紅光 (波長約 7  10-7 公尺) 到紫光 (波長約 4  10-7 公尺) Ch24 電磁波

可見光特殊的波長與顏色 Ch24 電磁波

電磁波波譜的一些重點 紫外線 X-射線 波長範圍由 6 10-10 公尺到 4  10-7 公尺 太陽是紫外線的主要來源 大部分由太陽發出的紫線，都被大氣層裡的臭氧所吸收 X-射線 波長在 10-12 公尺到 10-8 公尺之間 通常這種射線的來源，是高能電子撞擊到一塊金屬靶時所發出 常被用來作為醫療診斷工具 Ch24 電磁波

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電磁波波譜的一些重點 伽瑪射線 對於物體而言，以不同的電磁波波長照射，會呈現不同的訊息 波長介於 10-14 公尺到 10-10 公尺之間 它由放射性原子核所產生 具有高穿透性，若被生物組織吸收時，會導致嚴重的傷害 對於物體而言，以不同的電磁波波長照射，會呈現不同的訊息 Ch24 電磁波

使用的波長以及所顯示的訊息 右圖為蟹狀星雲的四張照片 從左上方照片開始，依順時鐘方向，這四張照片分別是利用下述不同類型的電磁波所拍攝 X-射線 可見光 無線電波 紅外線 Ch24 電磁波

簡答題 24.5 在許多廚房中，微波爐常用來烹煮食物。微波爐的頻率約在 1010 Hz。這些微波爐的波長約為 (a) 公里；(b) 公尺；(c) 公分；(d) 微米。 (c)。波長的大小順序可由方程式 c = lf 或圖24.12求得。 Ch24 電磁波

簡答題 24.6 無線電波的頻率約在 105 Hz，其所攜帶聲波的頻率約在 103 Hz，則此無線電波的波長約為 (a)公里；(b) 公尺；(c) 公分；(d) 微米。 (a)。波長的大小順序可由方程式 c = lf 或圖24.12求得。 Ch24 電磁波

24.8 偏級化

光波的偏極 電磁波中的電場與磁場它們除相互垂直外，同時也和波傳遞的方向垂直 偏極是電磁波中的電場和磁場有某種特殊方向性 偏極的方向是由電磁波中具有特殊方向的電場來定義 Ch24 電磁波

非偏極光－實例 由波源所發出的波，一般都可以朝任意方向振動 電磁波是由各個波源所產生的波重疊之後所形成 這種波為非偏極波 右圖中利用箭頭表示出光束中各種可能的電場方向 Ch24 電磁波

光的偏極 如果電磁波的合成電場在某處永遠是沿一個方向振盪 (如右圖)，我們就稱此波為線偏極化 由電場與波行進方向所構成的平面，稱為此波的偏極面 Ch24 電磁波

使光產生偏極的方法 將光束中除了在偏極面上單一方向電場保留之外，移除其他方向振盪的電場，就能得到線偏極光束 一般用來形成偏極光的過程，被稱作選擇性的吸收 Ch24 電磁波

利用選擇性的吸收方式將光偏極 利用一種材料，它允許光束中和材料上某一特定方向平行的電場通過，而將其他方向的電場加以吸收，來製造偏極光 Ch24 電磁波

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利用選擇性的吸收方式將光偏極 E. H. 藍道發現了一種能經由選擇性吸收，而將光線偏極的材料 他把這種材料稱作偏振片 (Polaroid) 材料中的分子迅速將光束中電場方向與分子鏈平行的加以吸收，而允許與分子鏈垂直方向的電場通過 Ch24 電磁波

利用選擇性的吸收方式將光偏極 通常我們都把與分子鏈垂直的方向稱為透射軸 對一個理想的起偏器來說 光束中所有平行於起偏器透射軸方向的電場都可以穿透 至於那些電場振動方向與透射軸垂直的，就全部被吸收 Ch24 電磁波

偏極光束的強度 經第一片起偏器後，強度為 I0 的偏極光，穿過第二片解偏器後所剩強度 I ，它們之間的關係為： 上式稱為馬呂士定律 (Malus’ Law) ，它適用於光束穿透任意二偏極材料前後的強度變化，式中的 θ 角為該二種偏極材料透射軸之間的夾角 Ch24 電磁波

偏極光束的強度 偏極光通過解偏器後的強度，在起偏器與解偏器二者的透射軸夾角為下列二值時，達到最大 θ = 0 或 180o 當起偏器與解偏器二者的透射軸相互垂直時，穿透光的強度為零 這種情形是由於光被前後二片偏極材料完全吸收之故 Ch24 電磁波

偏極光的強度－實例 上左圖，二片偏光器的透射軸完全平行，此時透過二片偏光器後的光最強 上中圖，二片偏光器的透射軸間夾角為 45°，此時穿透光的強度已經減弱了 上右圖，二片偏光器的透射軸相互垂直，此時的透射光強度為零 Ch24 電磁波

簡答題 24.7 微波的偏極化器，可利用相距1公分左右柵欄狀的平行金屬導線製成。當微波通過此偏極化器後，其電場向量為 (a) 平行；(b) 垂直此金屬導線？ Ch24 電磁波

簡答題 24.7 (b)。電場向量平行於金屬導線導致金屬中的電子沿著導線振盪，因此帶有這些電場向量的波，其能量藉由電子的加速轉移到金屬，最後經由金屬的電阻變為內能。若波的電場向量垂直於金屬導線，將無法加速電子並穿越過去。 Ch24 電磁波

24.9 延伸議題：雷射光的特性

雷射光的特性 雷射光為同調相干性光 雷射光為單色 (單一波長) 光 光的發散角極小 各光線之間維持著固定的相位關係 在雷射光中沒有破壞性的干涉發生 雷射光為單色 (單一波長) 光 它所涵蓋的波長範圍極窄 光的發散角極小 即或是經過相當遠的路程，雷射光束的擴散情形極小 Ch24 電磁波

激發輻射 激發輻射是形成雷射光的必要過程 當一個處於激發輻射的原子，受到某一特定能量的光子入射時，會使此原子的電子釋放出另一相同能量光子後，使整個原子的能量由高能量狀態，降回低能量狀態 先前入射的光子並未被原子吸收，在原子另外釋放一個光子後，就有二個同能量，同方向運行的光子存在了 Ch24 電磁波

激發輻射－實例 Ch24 電磁波

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激發輻射 一個入射的以及由原子釋放的這二個光子具有相同的相位 它們都可以利用類似的過程來激發其他的原子釋放同能量的光子，而形成鏈式反應 雷射之所以為同調光，主要就是由於這些光子產生的方式 Ch24 電磁波

激發輻射的必要條件 要能發生激發輻射，首先需要在發射光子的系統中儲備大量同能量的光子 系統必須要達到一種反分佈狀態 (population inversion) 系統中具有某一特定能量的激發態原子數要比基態能量的原子數為多 此一反分佈狀態才能確保，激發態原子所釋放的光子數較基態原子同一時間吸收的光子數為多 Ch24 電磁波

形成雷的另外一些條件 系統中某一特定能量的激發態必須為一個亞穩態 (metastable state) 此一亞穩態的生命期必須較其它激發態的生命期大很多 亞穩態所對應的能量以 E* 表示 在這種條件下，激發輻射需在原子的自發性發射之前啟動 Ch24 電磁波

形成雷的另外一些條件 發射出來的光子還需要進一步加以控制 它們必須在系統中停留一段時間以激發更多的光子 對於產生雷射的裝置，這種控制光子的設備，是在系統的端點處，架設反射面鏡來達成 二片反射面鏡中的一片是屬於一般的全反射面鏡，而另一片則是部分穿透式反射鏡，以便讓達到一定強度的同調光穿出 Ch24 電磁波

產生雷射的裝置圖 管內裝有某種特殊的原子 需要外在的能量輸入用來把基態原子“抽取”到某一特定的亞穩受激態 二片平行的鏡子將光子侷限在管子內 活性介質 需要外在的能量輸入用來把基態原子“抽取”到某一特定的亞穩受激態 二片平行的鏡子將光子侷限在管子內 第二面鏡子為部分穿透式的反射面鏡 Ch24 電磁波

能階－氦-氖雷射 右圖為氖原子的能階圖 氖原子被外在的能量激發到 E3* 的亞穩態 當氖原子由 E3* 降回 E2 能態時，激發輻射的動作即被觸發 受激發射後的光子最後會產生波長為 632.8奈米的同調光 Ch24 電磁波

雷射的應用 雷射井 (捕捉器) 光學鑷子 雷射冷卻 使物體可以形成玻色-愛因斯坦 (Bose-Einstein) 冷態 Ch24 電磁波

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