数据结构 第十一章 外部排序

本章内容 11.1 外存信息的存取 11.2 外部排序的方法 11.3 多路平衡归并的实现 11.4 置换-选择排序 11.5 最佳归并树

11.1 外存信息的存取 常用的外存储器分类： 顺序存取的设备（如磁带）； 随机存取的设备（如磁盘）。 常用的外存储器是磁表面存储器, 信息记录在一薄层磁性材料的表面上, 这层材料附着于载体表面, 随着载体作高速旋转或直线运动, 在运动过程中用磁头进行读或写。 外存信息的存取特点, 决定了外部排序的策略选择。 11-3

11.1 外存信息的存取 磁带信息的存取 磁带存储器的工作原理和磁带录音机一样, 不同之处在于它存储的是数字信息而不是模拟信息。 磁带上的信息在横向分布、纵向分布以及首尾标志等都一定的格式。 以1/2英寸九道的磁带为例, 每一横排就可表示一个字符（8位+1个校验位）。 纵向按区进行存储, 区的长度不固定, 但有一个范围, 例如2到4096字节, 相邻区之间有一定长度的间隔（IBG, Inter Block Gap）, 作为磁带起停之用。 记录 1 记录 3 记录 2 11-4

11.1 外存信息的存取 在磁带上读写一块信息所需的时间由两部分组成： TI/O = ta + n tw 显然, 延迟时间和信息在磁带上的位置、当前读/写头所在的位置有关。 所以磁带便宜、可反复使用、是一种顺序存取设备, 但查找费时、速度慢（尤其是查找末端记录时）。 11-5

11.1 外存信息的存取 磁盘信息的存取 磁盘是一种直接存取的存储设备(DASD）。 页块的读写时间：TI/O = tseek + tlatency + n twm tseek：寻道时间 tlatency：等待时间 twm：传输时间 11-6

11.2 外部排序的方法 外部排序基本上由两个相对独立的阶段组成： 首先, 按可用内存大小, 将外存上含n个记录的文件分成若干长度为l的子文件或段(segment), 依次读入内存并利用有效的内部排序方法对它们进行排序, 并将排序后得到的有序子文件重新写入外存, 通常称这些有序子文件为归并段或顺串(run)； 然后, 对这些归并段进行逐躺归并, 使归并段（有序的子文件）逐渐由小至大, 直到得到整个有序文件为止。 11-7

11.2 外部排序的方法 例：一文件含10000记录, 通过10次内部排序得到10个初始归并段R1…R10, 其中每一段都含有1000个记录。 然后作两两归并： R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 R1’ R2’ R3’ R4’ R5’ R1’’ R2’’ R3’’ R1’’’ R2’’’ 有序文件 由10个初始归并段到一个有序文件, 共进行了4趟归并, 每一趟都从m个归并段得到ceil(m/2)个归并段。这种归并方法称为2-路平衡归并。 11-8

11.2 外部排序的方法 外存上信息的读/写是以“物理块”为单位进行的, 假设每个物理块可以容纳200个记录, 则每一趟归并需进行50次“读”和50次“写”, 4趟归并加上内部排序时所需进行的读/写使得在外排序中总共需进行500次读/写。 11-9

11.2 外部排序的方法 外部排序所需总的时间 = 内部排序（产生初始归并段）所需的时间(m × tIS) + 外存信息读写的时间(d × tIO) +内部归并所需的时间(s × utmg) 其中： tIS 是为得到一个初始归并段进行内部排序所需时间的均值； tIO 是进行一次外存读/写时间的均值； utmg 是对u个记录进行内部归并所需时间； m 为经过内部排序之后得到的初始归并段的个数； s 为归并的趟数； d 为总的读/写次数。 于是上例进行外排序所需总的时间为：10 tIS + 500 tIO + 4x10000 tmg 显然tIO较tmg要大的多, 因此提高外排序的效率应主要着眼于减少外存信息读写的次数d。 11-10

11.2 外部排序的方法 d和“归并过程”的关系： 若对上例进行5路平衡归并： R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 有序文件 仅需两趟归并, 总的读/写次数便减少为：2x100+100=300, 比2路归并减少了200次的读/写。对同一文件, 进行外排序时所需读/写外存的次数和归并的趟数s成正比。一般情况下, 对m个初始归并段进行k路平衡归并时, 归并的趟数s=floor(logkm). 可见：若能增加k或减少m便能减少s, 因此减少d. 11-11

floor(logkm)(k-1)(n-1)tmg = floor(log2m/log2k)(k-1)(n-1)tmg 11.3 多路平衡归并的实现 对于2路归并, 令两个归并段上有u个记录, 每得到归并后的一个记录, 仅需一次比较即可, 因此得到含u个记录的归并段需进行u-1次比较。 对于k路归并, 令u个记录分布在k个归并段上, 显然, 归并后的第一个记录应是k个归并段中关键字最小的记录, 这需要进行k-1次比较, 得到u个记录的归并段, 共需(u-1)(k-1)次比较。由此, 对n个记录的文件进行外排序时, 在内部归并过程中进行的总的比较次数为s(k-1)(n-1)。假设所得初始归并段为m个, 则归并过程中进行比较的总的时间为： floor(logkm)(k-1)(n-1)tmg = floor(log2m/log2k)(k-1)(n-1)tmg 由于(k-1)/log2k 随 k 的增长而增长, 这将抵消由于增大k而减少外存信息读写时间所得效益。 11-12

11.3 多路平衡归并的实现 在进行k路归并时利用“败者树(Tree of Loser)”, 则可使在k个记录中选出关键字最小的记录时仅需进行floor(log2k)次比较, 从而使总的归并时间变为： floor(log2m)(n-1)tmg 与k无关, 不再随k的增长而增长。 11-13

11.3 多路平衡归并的实现 胜者树及其使用 胜者进入下一轮, 直至决出本次比赛的冠军。决出冠军之后, 充分利用上一次比赛的结果, 使得更快地挑出亚军、第三名 …… 。 5 7 6 5 4 3 2 1 5 9 7 29 5 2 1 3 5 9 挑出冠军 需要进行 k-1 次比较, 此处需要比较 3 次。 4 5 6 7 5 7 29 9 11-14

11.3 多路平衡归并的实现 胜者树及其使用 胜者进入下一轮, 直至决出本次比赛的冠军。决出冠军之后, 充分利用上一次比赛的结果, 使得更快地挑出亚军、第三名 …… 。 7 7 6 5 4 3 2 1 7 9 16 29 7 2 1 3 7 9 挑出亚军 需要进行 log2k 次比较, 此处需要比较 2次。 4 5 6 7 16 7 29 9 11-15

logkm × log2k × ( n - 1 ) × tmg ＝ log2m × ( n - 1 ) × tmg 11.3 多路平衡归并的实现 胜者树及其使用 胜者进入下一轮, 直至决出本次比赛的冠军。决出冠军之后, 充分利用上一次比赛的结果, 使得更快地挑出亚军、第三名 …… 。 决出第一名需比较： k - 1 次 决出第二名需比较： log2k 次 决出第三名需比较： log2k 次 ………………………………… 结果：采用胜者树后, 从 k 个元素中挑选一个最小的元素仅需 log2k 次比较, 这时总的比较次数下降为： logkm × log2k × ( n - 1 ) × tmg ＝ log2m × ( n - 1 ) × tmg 该结果和 k 无关, 这是通过多用空间换来的。 改进：采用胜者树, k个元素中最小的元素输出之后, 从根结点到它的相应的叶子结点路径上的结点都需要进行修改, 为了加快程序运行的速度产生了败者树。 11-16

11.3 多路平衡归并的实现 败者树 在父节点中记下刚进行完的比赛中的败者, 但同样让胜者去参加下一轮的竞赛, 便得到一棵“败者树”。 11-17

11.3 多路平衡归并的实现 下图即为一棵实现5-路归并的败者树ls[0…4], 图中方形结点表示叶子结点(也可看成是外结点), 分别为5个归并段中当前参加归并的待选择记录的关键码；败者树中根结点ls[1]的双亲结点ls[0]为“冠军”, 在此指示各归并段中的最小关键码记录为第三段中的记录；结点ls[3]指示b1和b2两个叶子结点中的败者即是b2, 而胜者b1和b3(b3是叶子结点b3、b4和b0经过两场比赛后选出的获胜者)进行比较, 结点ls[1]则指示它们中的败者为b1。 11-18

11.3 多路平衡归并的实现 5-路归并的败者树例 3 ls[0] ls[1] 1 ls[2] ls[3] 2 b0 b1 b2 ls[4] 2 b0 b1 b2 ls[4] 4 10 9 20 10 15 9 18 20 20 22 40 b4 b3 6 12 6 15 25 12 37 48 11-19

11.3 多路平衡归并的实现 在选得最小关键码的记录之后, 只要修改叶子结点b3中的值, 使其为同一归并段中的下一个记录的关键码, 然后从该结点向上和双亲结点所指的关键码进行比较, 败者留在该双亲, 胜者继续向上直至树根的双亲。如下图所示。当第3个归并段中第2个记录参加归并时, 选得最小关键码记录为第一个归并段中的记录。为了防止在归并过程中某个归并段变为空, 可以在每个归并段中附加一个关键码为最大的记录。当选出的“冠军”记录的关键码为最大值时, 表明此次归并已完成。 11-20

11.3 多路平衡归并的实现 5-路归并的败者树例 1 ls[0] ls[1] ls[2] ls[3] 4 2 b0 b1 b2 ls[4] ls[2] ls[3] 4 2 b0 b1 b2 ls[4] 3 10 9 20 10 15 9 18 20 20 22 40 b4 b3 15 12 15 25 12 37 48 11-21

11.3 多路平衡归并的实现 实现k-路归并的败者树的初始化也容易实现, 只要先令所有的非终端结点指向一个含最小关键码的叶子结点, 然后从各叶子结点出发调整非终端结点为新的败者即可。 下面程序中简单描述了利用败者树进行k-路归并的过程, 为了突出如何利用败者树进行归并, 避开了外存信息存取的细节, 可以认为归并段已存在。 typedef int LoserTree[k]; //败者树是完全二叉树且不含叶子, 可采用顺序存储结构 typedef struct{ KeyType key; }ExNode, External[k]; //外结点, 只存放待归并记录的关键码 11-22

11.3 多路平衡归并的实现 void K_Merge(LoserTree *ls, External *b){ //k-路归并处理程序利用败者树ls将编号从0到k-1的k个输入归并段中的记录归并到输出归并段b[0] //到b[k-1]为败者树上的k个叶子结点, 分别存放k个输入归并段中当前记录的关键码 for(i=0;i<k;i++) input(b[i].key); //分别从k个输入归并段读入该段当前第一个记录的关键码到外结点 CreateLoserTree(ls); //建败者树ls, 选得最小关键码为b[0].key while(b[ls[0]].key!=MAXKEY){ q=ls[0]; //q指示当前最小关键码所在归并段 output(q); //将编号为q的归并段中当前(关键码为b[q].key的记录写至输出归并段) input(b[q].key); //从编号为q的输入归并段中读入下一个记录的关键码 Adjust(ls, q); //调整败者树, 选择新的最小关键码 } output(ls[0]); //将含最大关键码MAXKEY的记录写至输出归并段 11-23

11.3 多路平衡归并的实现 最后要提及一点, k值的选择并非越大越好, 如何选择合适的k是一个 需要综合考虑的问题。 void Adjust(LoserTree *ls, int s){ //选得最小关键码记录后, 从叶到根调整败者树, //选下一个最小关键码, 从叶子结点b[s]到根结 //点ls[0]的路径调整败者树 t=(s+k)/2; //ls[t]是b[s]的双亲结点 while(t>0){ if(b[s].key>b[ls[t]].key) s<-->ls[t]; //s指示新的胜者 t=t/2; } ls[0]=s; void CreateLoserTree(LoserTree *ls){ //建立败者树 //已知b[0]到b[k-1]为完全二叉树ls的叶子结点存有k个关 //键码,沿从叶子到根的k条路径将ls调整为败者树 b[k].key=MINKEY; //设MINKEY为关键码可能的最小值 for(i=0;i<k;i++) ls[i]=k; //设置ls中“败者”的初值 for(i=k-1;k>0;i--) Adjust(ls, i); //依次从b[k-1], b[k-2], …, b[0]出发调整败者 } 最后要提及一点, k值的选择并非越大越好, 如何选择合适的k是一个 需要综合考虑的问题。 11-24

11.4 置换-选择排序 归并的趟数不仅和k成反比, 也和m成正比, 因此减少m是减少s的另一条途径。这里m是外部文件经过内部排序之后得到的初始归并段的个数, m=ceil(n/l)。 若要减少m, 就需要增加l, 但是内存的容量有限, 利用上一章内排序的方法无法做到, 所以必须探索新的排序方法。 置换-选择排序(Replacement-Selection Sorting)是在树形选择排序的基础上得来的, 它的特点是：在整个排序（得到所有初始归并段）的过程中, 选择最小（或最大）关键字和输入、输出交叉或平行进行。 11-25

11.4 置换-选择排序 假设初始待排文件为输入文件FI, 初始归并段文件为输出文件FO, 内存工作区为WA, FO和WA的初始状态为空, 并设内存工作区WA的容量为w个记录, 则置换-选择排序的操作过程为： 从FI输入w个记录到工作区WA; 从WA中选出其中关键字最小值的记录, 记为MINIMAX记录； 将MINIMAX记录输出到FO中去； 若FI不空, 则从FI输入下一个记录到WA中； 从WA中所有关键字比MINIMAX记录的关键字大的记录中选出最小关键字记录, 作为新的MINIMAX记录； 重复3-5, 直至在WA中选不出新的MINIMAX记录为止, 由此得到一个初始归并段, 输出一个归并段的结束标志到FO中去； 重复2-6, 直至WA为空, 由此得到全部初始归并段。 11-26

11.4 置换-选择排序 例如：初始文件含24个记录, 关键字分别为： 51, 49, 39, 46, 38, 29, 14, 61, 15, 30, 1, 48, 52, 3, 63, 27, 4, 13, 89, 24, 46, 58, 33, 76 假设内存工作区可容纳6个记录，则用内排序的方法可以得到4个初始段： RUN1: 29, 38, 39, 46, 49, 51 RUN2: 1, 14, 15, 30, 48, 61 RUN3: 3, 4, 13, 27, 52, 63 RUN3: 24, 33, 46, 58, 76, 89 而用置换-选择排序，则可求得如下3个初始归并段： RUN1: 29, 38, 39, 46, 49, 51, 61 RUN2: 1, 3, 14, 15, 27, 30, 48, 52, 63, 89 RUN3: 4, 13, 24, 33, 46, 58, 76 11-27

11.4 置换-选择排序 置换-选择排序的过程 (见教材第300页)： FO WA FI 51, 49, 39, 46, 38, 29, 14, 61, 15, 30, 1, 48, 52, 3, 63, 27, 4, 13, 89, 24, 46, 58, 33, 76 51, 49, 39, 46, 38, 29 14, 61, 15, 30, 1, 48, 52, 3, 63, 27, 4, 13, 89, 24, 46, 58, 33, 76 29 51, 49, 39, 46, 38, 14 61, 15, 30, 1, 48, 52, 3, 63, 27, 4, 13, 89, 24, 46, 58, 33, 76 29, 38 51, 49, 39, 46, 61, 14 15, 30, 1, 48, 52, 3, 63, 27, 4, 13, 89, 24, 46, 58, 33, 76 29, 38, 39 51, 49, 15, 46, 61, 14 30, 1, 48, 52, 3, 63, 27, 4, 13, 89, 24, 46, 58, 33, 76 29, 38, 39, 46 51, 49, 15, 30, 61, 14 1, 48, 52, 3, 63, 27, 4, 13, 89, 24, 46, 58, 33, 76 29, 38, 39, 46, 49 51, 1, 15, 30, 61, 14 48, 52, 3, 63, 27, 4, 13, 89, 24, 46, 58, 33, 76 29, 38, 39, 46, 49, 51 48, 1, 15, 30, 61, 14 52, 3, 63, 27, 4, 13, 89, 24, 46, 58, 33, 76 29, 38, 39, 46, 49, 51, 61 48, 1, 15, 30, 52, 14 3, 63, 27, 4, 13, 89, 24, 46, 58, 33, 76 … 11-28

11.4 置换-选择排序 在WA中选择MINIMAX记录的过程需利用“败者树”来实现。 内存工作区中的记录作为败者树的外部节点，而败者树的根节点的父节点指示工作区中关键字最小的纪录； 为了便于选出MINIMAX记录，为每一个记录附设一个所在归并段的序号，在进行关键字的比较时，现比较段号，段号小的为胜者，段号相同的则关键字小的为胜者； 败者树的建立可从设工作区中所有记录的段号均为“0”开始，然后从FI逐个输入w个记录到工作区是，自下而上调整败者树，由于这些记录的段号为“1”，则他们对于“0”段的记录而言均为败者，从而逐个填充到败者树的各节点中去。 11-29

11.4 置换-选择排序 记录值分布按等概率 均 匀 下 雪 W积雪(内存容量) 记录数 展开的环路 均 匀 下 雪 W积雪(内存容量) 环路起、终点 当前车位 值递增 当前最小值 最小值 最大值 扫雪车在环形路上扫雪。将环路截断展开，积雪截面为三角形如上图,其面积为W,则车走一圈扫走的面积为2W.类比到置换_选择排序如黄字所示。 段分界值 11-30

11.5 最佳归并树 由置换-选择生成所得的初始归并段，其各段长度不等。 假如由置换-选择得到9个初始归并段，其长度分别为：9, 30, 12, 18, 3, 17, 2, 6, 24。作3-路平衡归并（如下图），假设每个记录占一个物理块，则两趟归并所需对外存进行的读/写次数为： (9+30+12+18+3+17+2+6+24)x2x2=484 9 30 12 51 18 3 17 38 2 6 24 32 121 11-31

11.5 最佳归并树 考虑下图的归并过程，仅需对外存进行446次读/写，这棵归并树为最佳归并树(11+32+59+121)x2，为所有归并策略中所需读/写次数最小的方案。 2 3 6 11 30 9 17 18 24 59 121 12 32 11-32

11.5 最佳归并树 存在有m个叶节点的带权路径长度最短的k叉树，称为霍夫曼树(Huffman)。 2 3 5 24 9 17 18 12 47 91 6 20 11-33

11.5 最佳归并树 对k-路归并而言，若(m-1) MOD (k-1) = 0，则导出的霍夫曼树节点的度数刚好为0或k，否则，可附加 k - (m-1) MOD (k-1) – 1 个虚段，即第一次归并为 (m-1) MOD (k-1) + 1路归并。 若按最佳归并树的归并方案进行磁盘归并排序，需在内存建立一张载有归并段的长度和它在磁盘上的物理位置的索引表。 11-34

习题 本章习题参见教师网页： http://staff.ustc.edu.cn/~leeyi 11-35