第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
知 识 梳 理 1．直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d r Δ 0 相切 d r 相离 Δ 0 ＜ ＞ ＝ ＝ ＞ ＜
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 方法 位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 相离 d＞r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 内含 0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)
[感悟·提升] 1．两个防范 一是应用圆的性质求圆的弦长，注意弦长的一半、弦心距和圆的半径构成一个直角三角形，有的同学往往漏掉了2倍，如(3)； 二是在判断两圆位置关系时，考虑要全面，防止漏解，如(4)、(5)，(4)应为两圆外切与内切，(5)应为两圆相交、内切、内含．
2．两个重要结论 一是两圆的位置关系与公切线的条数： ①内含时：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条． 二是当两圆相交时，把两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得两圆公共弦所在直线的方程．
规律方法 判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
规律方法 (1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法． (2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．
【训练2】 (1)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是________． (2)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝________.
答题模板9——与圆有关的探索问题 【典例】 (12分)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y＝kx－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．
由题意知OA⊥OB，则有x1x2＋y1y2＝0，(8分) 也就是x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0. ∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0. ∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化简得b2＋3b－4＝0.(10分) 解得b＝－4或b＝1，均满足Δ＞0，(11分) 即直线AB的方程为x－y－4＝0，或x－y＋1＝0.(12分)
【自主体验】 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．