第3.1节 随机变量及其分布(2) 连续型 一、随机变量的定义 二、分布函数的性质 三、离散型随机变量 四、连续型随机变量 第3.1节　随机变量及其分布(2) 连续型 一、随机变量的定义 二、分布函数的性质 三、离散型随机变量 四、连续型随机变量 五、关于分布函数的一些结论

四、连续型随机变量 1.定义 性质 证明

1 证明

同时得以下计算公式 满足性质(1)与(2)的函数F(X)一定是某一随机变量 的分布函数

注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即 证明 由此可得 连续型随机变量的概率与区间的开闭无关

注意 若连续型随机变量 X=a 是不可能事件, 则有 连 续 型 离 散 型 若 X=a 为离散型随机变量,

上述命题对于必然事件也成立 由于 因此，密度函数p(x)的数值反映了随机变量取x的 临近的值的概率的大小，所以用密度函数描述连续型随机变量的概率分布在某种意义上与离散型时用分布列描述有相似之处.

例 解

例

解 (1) 因为  是连续型随机变量, 故有

2. 常见连续型随机变量的分布密度 【均匀分布】 概率密度 函数图形

均匀分布的意义

分布函数

例 设电阻值R是一个随机变量, 均匀分布在 900欧~1100欧.求R的概率密度及R 落在950欧~ 1050欧的概率. 解 由题意,R 的概率密度为 故有

例 设随机变量  在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对  进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率. 解  的分布密度函数为 设 A 表示“对 的观测值大于 3 的次数”, 即 A={ >3 }.

设 表示3次独立观测中观测值大于3的次数, 则 因而有

【 正态分布】(或高斯分布) 高斯资料

正态概率密度函数的几何特征

(8) 正态分布的3原则 也就是说，随机变量落入区间(a-3, a+3)的概率几乎为1.

正态分布的分布函数

正态分布的应用与背景 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布.

方法一:利用MATLAB软件包计算(演示) 正态分布下的概率计算 原函数不是 初等函数 方法一:利用MATLAB软件包计算(演示) 方法二:转化为标准正态分布查表计算

标准正态分布 标准正态分布的概率密度表示为 标准正态分布的分布函数表示为

标准正态分布的图形

例 解

例 解

例 证明 证明

例 解 (1) 所求概率为

例(p127例3) 从南郊某地乘车前往北区火车站搭乘火 车有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路程较短， 但交通拥挤，需要时间（单位为分）服从正态分布 N(50,100),另一条绕环城公路走，路程较长，但意外 阻塞较少，所需时间服从正态分布N(60,16)，试求 (1)假如有70分钟时间可用，问应走哪一条路？ (2)假如有65分钟时间可用，问应走哪一条路？ 解 设随机变量表示行车时间，则

【指数分布】

分布函数 应用与背景 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿命等都服从指数分布.

例 设某类日光灯管的使用寿命  服从参数为 =1/2000的指数分布(单位:小时) (1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以 上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以 上,求还能使用1000小时以上的概率. 解 的分布函数为

此例不是一个个别现象，而是指数分布的一个重要性质重要性质 :“无记忆性”.

函数G(*)满足引理2.4.1，因而 因此，在连续型随机变量中，指数分布是唯一具 有无记忆性的分布。

【埃尔兰分布】 设是一个连续型随机变量，其密度函数为 其中r为正整数，>0，则称服从埃尔兰分布. 此分 布是由丹麦科学家埃尔兰研究接听电话次数问题时 给出的，由此开创了排队论这门学科的研究。 r=1时，埃尔兰分布就退化为指数分布 埃尔兰分布的推导过程：此分布是由丹麦科学家埃尔兰研究接听电话次数问题时给出的，因此与泊松过程有密切关系.

【 分布】 其中r取正整数，为任意正数。如果r取任意正数， 为任意正数时，则可以给出另一种分布 称此分布为分布，简记为G(,r), 为尺度参数， R为形状参数。

分布的密度函数

五、关于分布函数的一些讨论 由于分布密度函数具有单调性，因此可以得到分 布密度的一些其他性质： (1) 分布密度至多只有可列个不连续点； (1) 分布密度至多只有可列个不连续点； (2) 分布密度F(x)可以进行勒贝格分解

小结 分布函数 2. 常见连续型随机变量的分布 均匀分布 正态分布(或高斯分布) 指数分布 埃尔兰分布 分布

3. 正态分布是概率论中最重要的分布 正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量 误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常 情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度; 炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态 分布.可以说,正态分布是自然界和社会现象中最 为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小 的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般 是一个正态随机变量.

另一方面,有些分布(如二项分布、泊松分布)的极 限分布是正态分布.所以,无论在实践中,还是在理 论上,正态分布是概率论中最重要的一种分布. 二项分布向正态分布的转换

例1 解

例2 解 则有实根的概率为

Gauss Carl Friedrich Gauss Born: 30 April 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany) Died: 23 Feb 1855 in Göttingen, Hanover (now Germany)