树和二叉树（四）

内容回顾 树的存储方式 孩子兄弟表示法 树与二叉树的转换 树转二叉树 二叉树还原为树

本节内容 1 哈夫曼树的相关概念 2.哈夫曼树的构造算法 3.判定树 (哈夫曼树的应用之一) 4.哈夫曼编码（哈夫曼树的应用之二） 5.建立哈夫曼树及求哈夫曼编码的算法

1 哈夫曼树的相关概念 A B C D E F G 1）路径和路径长度 若一棵树中存在一个结点序列k1,k2,…,kj，使得ki是kj的双亲（0<i<j），则称此结点序列是从ki～ kj的路径。从k1～kj所经过的分支数称为这两点之间的路径长度，它等于路径上的结点数减1。

2）结点的权和带权路径长度 例：结点c的路径长度为2，其WPL=2*9=18 a c b d 7 3 9 8

3）树的带权路径长度 树中所有叶子结点的带权路径长度之和。通常记为： 其中 n 表示叶子结点的数目，wi 和 li分别表示叶子结点ki的权值和根到ki之间的路径长度。 a c b d 7 3 9 8

4）哈夫曼（Huffman）树 又称最优二叉树。它是 n 个带权叶子结点构成的所有二叉树中，带权路径长度WPL最小的二叉树。 例：有四个叶子结点a,b,c,d，分别带权为9、4、5、2，由它们构成三棵不同的二叉树。

a b c a） WPL=9×2 +4×2＋5×2＋2×2＝40 b） WPL=4×1＋2×2＋5×3＋9×3＝50 d 4 9 5 2 b c d a 4 9 5 2 a b c d 9 2 4 5 a b c a） WPL=9×2 +4×2＋5×2＋2×2＝40 b） WPL=4×1＋2×2＋5×3＋9×3＝50 c） WPL=9×1＋5×2＋4×3＋2×3＝37 Huffman树

3) 从F中删去这两棵树，同时加入刚生成的新树； 4) 重复(2)和(3)两步，直至F中只含一棵树为止。 2.哈夫曼树的构造算法 构造Huffman树的基本思想： 权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。 构造Huffman树的步骤（即Huffman算法）： 1）根据给定的n个权值{w1, w2, …, wn}，构造 n棵二叉树的集合 F = {T1, T2, …,Tn}，其中每棵二叉树中均只含一个带权值为wi的根结点,其左、右子树为空树； 2) 在F中选取其根结点的权值为最小的两棵二叉树，分别作为左、右子树构造一棵新的二叉树，并置这棵新的二叉树根结点的权值为其左、右子树根结点的权值之和; 3) 从F中删去这两棵树，同时加入刚生成的新树； 4) 重复(2)和(3)两步，直至F中只含一棵树为止。

第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 注：方框表示外结点（叶子） 圆框表示内结点（合并后的结点）。 a b c d 9 2 5 4 a c 6 第二步： a b c d 9 2 4 5 第三步： 6 11 第四步： a 9 b c d 2 4 5 6 11 20 注：方框表示外结点（叶子） 圆框表示内结点（合并后的结点）。

3.判定树 (哈夫曼树的应用之一) 在解决某些判定问题时，利用哈夫曼树可以得到最佳判定算法。 例：编制一将学生百分成绩按分数段分级的程序。 若学生成绩分布是 均匀的，可用图(a) 二叉树结构来实现。 a<60 a<70 a<80 a<90 不及格 中等 良好 优秀 及格 Y N (a)

学生成绩分布不是均匀的情况： 输入10000个数据，则需进行31500次比较。 分数 0—59 60—69 70—79 80—89 90—99 比例 0.05 0.15 0.4 0.3 0.1 a<60 a<70 a<80 a<90 不及格 中等 良好 优秀 及格 Y N (a) 输入10000个数据，则需进行31500次比较。 500*1+1500*2+4000*3+3000*4+1000*4=31500

有没有一种更好的办法来减少比较次数呢？

以比例数为权构造一棵哈夫曼树，如（b)判断树所示。 分数 0—59 60—69 70—79 80—89 90—99 比例 0.05 0.15 0.4 0.3 0.1 70≤a<80 a<60 及格 中等 良好 80≤a<90 60≤a<70 不及格 优秀 Y N 以比例数为权构造一棵哈夫曼树，如（b)判断树所示。 再将每一比较框的两次比较改为一次，可得到（c)判定树。 输入10000个数据，仅需进行22000次比较。 不及格 Y a<90 a<80 a<70 a<60 优秀 中等 及格 良好 N (c) (b)

4.哈夫曼编码（哈夫曼树的应用之二） 二进制编码 通信中，可以采用0、1的不同排列来表示不同的字符，称为二进制编码。 发送端需要将电文中的字符序列转换成二进制的0、1序列，即编码； 接受端需要把接受的0、1序列转换成对应的字符序列，即译码。

ABACCDA 字符的两种不同的编码方案 字符 编码 字符 编码 A 000 A 00 B 010 B 01 C 100 C 10 (1)　等长编码 ABACCDA 字符的两种不同的编码方案   字符 编码 字符 编码 A 000 A 00 B 010 B 01 C 100 C 10 D 111 D 11 （a） (b) (a)电文的代码为000010000100100111000，长度为21 (b)代码为00010010101100，长度为14

ABACCDA 字符 编码 A 0 B 00 C 1 D 01 (2) 不等长编码 (2)　不等长编码 ABACCDA 字符 编码 A 0 B 00 C 1 D 01 电文用二进制序列：000011010发送，其长度只有9个二进制位

哈夫曼树编码 例：要传输的电文是{CAS；CAT；SAT；AT} 要传输的字符集是 D={C，A，S，T， ；} 每个字符出现的频率是W={ 2，4， 2，3， 3 } 方法： （1）用{ 2，4， 2，3， 3 }作为叶子结点的权值生成一棵哈夫曼树，并将对应权值wi的叶子结点注明对应的字符； （2）约定左分支表示字符“0”，右分支表示字符‘1’ （3）从根结点到叶子结点的路径上的‘0’或‘1’连接的序列就是结点对应的字符的二进制编码。 各字符编码是 T ； A C S       00 01 10 110 111 上述电文编码： 11010111011101000011111000011000 14 6 8 3 4 2 1 T ; A C S 例2：哈夫曼树用于电文编码 要传输的电文是{CAS；CAT；SAT；AT} 要传输的字符集是 D={C，A，S，T， ；} 每个字符出现的频率是W={ 2，4， 2，3， 3 } 以带权字符为叶子结点建立哈夫曼树，得到各字符编码是 T ； A C S 00       01 10 110 111 上述电文编码：11010111011101000011111000011000 其总长度为32，恰好等于哈夫曼树的带权路径长。可见哈夫曼编码是使电文具有最短长度的二进制编码。 注意：编码的总长度恰好为哈夫曼树的带权路径长。

5.建立哈夫曼树及求哈夫曼编码的算法 哈夫曼树没有度为1的结点，则一棵有n个叶子结点的哈夫曼树共有2n-1个结点，可以存储在一个大小为2n-1的一维数组中。 由于在构造哈夫曼树之后，为求编码需从叶子结点出发走一条从叶子到根的路径；而为译码需从根出发走一条从根到叶子的路径。所以，每个结点既需知道双亲的信息，又需知道孩子结点的信息。 typedef struct { unsigned int weight; unsigned int parent,lchild,rchild; } HTNode, *HuffmanTree; //动态分配数组存储哈夫曼树 typedef char **HuffmanCode;

//存放树的叶子结点，n-1个单元存放内部结点 for (p=HT, i=1; i<=n; ++i,++p,++w) void HuffmanCoding(HuffmanTree &HT,HuffmanCode &HC,int *w, int n) {//w存放n个字符的权值，构造哈夫曼树HT,并求出n个字符的哈夫曼编码HC if (n<=1) return; // n为字符数目， m=2*n-1; // m为结点数目 HT = (HuffmanTree)malloc((m+1)*sizeof(HTNode)); //HT存放Huffman树结构，0号单元未用,其余前n个单元 //存放树的叶子结点，n-1个单元存放内部结点 for (p=HT, i=1; i<=n; ++i,++p,++w) { p->weight = *w; p->parent=0; p->lchild=0; p->rchild=0; } // *p={*w,0,0,0}；初始化HT中的叶结点循环退出时i=n+1;

for (; i<=m;++i,++p) { p->weight = 0; p->parent=0; p->lchild=0; p->rchild=0; } // *p={0,0,0,0}; 初始化HT中的内部结点 for (i=n+1; i<=m;++i) // 建哈夫曼树，(建立HT链表中的链) { Select(HT,i-1,s1,s2);//在HT[1～i-1]中选择parent // 为0且weight最小的两个结点，序号分别为s1和s2 HT[s1].parent=i; HT[s2].parent = i; HT[i].lchild = s1; HT[i].rchild = s2; HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight; }

//从叶子到根逆向求哈夫曼编码 HC= (HuffmanCode)malloc((n+1)*sizeof(char *)); cd = (char *)malloc( n * sizeof(char) ); cd[n-1]=‘\0’; //编码结束符 for (i=1;i<=n;++i) //逐个字符求哈夫曼编码 { start = n-1; //编码结束符位置 for (c=i,f=HT[c].parent; f!=0; c=f,f=HT[f].parent) //从叶子到根逆向求编码 if (HT[f].lchild ==c) cd[--start]='0'; else cd[--start]='1'; HC[i]=(char *)malloc((n-start)*sizeof(char)); strcpy(HC[i],&cd[start]); //从cd复制编码串到HC printf("%s\n",HC[i]); } free(cd); //释放工作空间 } //HuffanCoding

例： 已知某系统在通信联络中只可能出现八种字符，其概率分别为0. 05，0. 29，0. 07，0. 08，0. 14，0. 23，0 例： 已知某系统在通信联络中只可能出现八种字符，其概率分别为0.05，0.29，0.07，0.08，0.14，0.23，0.03，0.11，试设计Huffman编码。 设权w=（5，29，7，8，14，23，3，11），n=8，则m=15 存储结构的初始状态为： 11 3 23 14 8 7 29 5 weight parent lchild rchild 1 2 4 6 9 10 12 13 15 14 13 100 12 2 0(15) 58 11 6 42 10 5 0(14) 29 9 8 0(13) 19 × 4 3 0(12) 15 × 7 1 0(11) 8 × 11 × 0(9) 3 × 23 × 14 × 0(10) 7 × 5× weight parent lchild rchild 15

HC 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 23 29 1 1 11 14 1 1 5 3 7 8 cd \0

小结：哈夫曼树及其应用 1.Huffman算法的思路： —权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。

本章小结 1、定义和性质 2、存储结构 3、遍历 树 顺序结构 链式结构 森林 先序遍历 中序遍历 后序遍历 哈夫曼树 哈夫曼编码 二叉链表 三叉链表 森林 二叉树 中序遍历 后序遍历 先序遍历 3、遍历 哈夫曼树 哈夫曼编码

作业 1. 以数据集{4，5，6，7，10，12，18}为结点权值，画出Huffman树，并计算其带权路径长度。