第3章 利率、現值、終值與年金
本章大綱 利息的形成 單利與複利 年金 貸款之本金分期攤還 有效利率 購屋及租屋規劃
圖3.1 利率之高低取決於金融市場中資金之供需
單利與複利(1/3) 若只對本金計算利息，未來賺得之利息不再孳生利息，稱為單利；但若將未來賺得之利息納入本金之中計算其利息，即所謂之「利滾利」，則稱為複利。 單利 複利 終值與現值 終值 小張今將本金1,000元以10%年利率存入銀行，其十年後可得： 本利和＝1,000×(1＋10%)10＝2,593.74（元）
單利與複利(2/3) FVn ：n期後之終值；PV：現在的金額或現值；i：每期利率；n：期數；FVIF(i, n)：終值利率因子。
單利與複利(3/3) 現值 小陳預計在十年後存得50萬元以供子女教育所需，則在年利率10%的情況下，小陳目前應存入多少元呢？
年金 年金指的是在某一特定期間內，定期支付或領回某一特定額度之現金流量。 期末開始支付或領回者，稱為普通年金；期初即開始支付或領回者，則稱為期初年金。 年金終值 年金現值 永續年金
年金終值(1/3) 小張於每年底存16,000元，年利率10%，則五年後小張可領回多少？ 則普通年金之終值可以下列通式表示：
年金終值(2/3) 若上例中小張決定於每年初存16,000元，年利率為10%，則五年後小張可領回多少呢？ 這就是「期初年金終值」的概念。
年金終值(3/3) 需在 後之Set處，設定為期初年金模式。此例之操作方式如下：
年金現值(1/3) 年金現值指的是現在支付或領回一金額，未來之特定期間內每一期可領回或需支付多少，亦即未來期間內各期年金之總現值。 小王工作數年後，決定再回到學校修習財金系學士學位，如果財金系每年之學費約為10萬元（假設於每年底支付），預計四年可畢業，則小王目前手上應有多少錢才足以負擔未來四年的學費呢？
年金現值(2/3) 普通年金之現值可以下列通式表示： PVIFA(i, n)為年金現值利率因子。
年金現值(3/3) 此例中，小王未來四年每年（底）需支付學費10萬。
永續年金 有一種特殊年金，其沒有到期日或期限，我們稱之為永續年金。 永續年金之現值為；
貸款之本金分期攤還(1/3) 本金的分期攤還貸款，可解釋為「現在借若干金額（即現值），未來某期間內每期應償還多少錢（即年金）」的意涵，恰與年金現值的概念相反。 貸款之平均攤還因子恰為年金現值因子之倒數，此因子稱為貸款常數或抵押貸款常數。 貸款未來每期之攤還金額為：
實際演練 3.2
貸款之本金分期攤還(2/3) 在目前貸款200萬元，月利率為1%，以二十四個月平均攤還之情況下，小陳每個月應支付94,146.94元償還貸款。
表3.3 分期平均償還貸款之運算
貸款之本金分期攤還(3/3) 在第二十期支付的情形為：
實際演練 3.3(1/5)
實際演練 3.3(2/5)
實際演練 3.3(3/5)
實際演練 3.3(4/5)
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圖3.6 貸款1,000萬元，年利率10%，三十年內按月平均攤還貸款下每月之償還額、利息及本金支出
有效利率 小陳的例子中，其貸款年利率為12%，但複利期間卻以「月」為時間單位。 每年十二個月，複利十二次，表示小陳貸款之有效年利率為： (1＋1%)12－1＝12.68% 有效年利率之通式為：
實際演練 3.4
實際演練 3.7
實際演練 3.8
購屋及租屋規劃 常用來評估購屋或租屋的方法為「年成本法」及「淨現值法」。
年成本法(1/2) 經濟面 租屋相關成本或考慮因素： 租金。 押金（之利息）。 房租扣除額（每年最高12萬元）。 租金漲跌趨勢與租屋市場之供需有關。 購屋相關成本或考慮因素： 本金（自備款）額度。 貸款利息（為簡單起見，以貸款餘額(L×適用利率)i計）。 房貸利息扣除額（每年最高30萬元）。 未來房價漲跌（增貶值）趨勢：與經濟成長率、區域規劃與建設、貨幣供給額、通貨膨脹率、相關成本有關。
年成本法(2/2) 心理面 評估過程 租屋之年成本總計（每月租金×12＋押金×年利率機會成本）。 購屋之年成本總計（貸款額(L)×適用利率(i)＋自備款×年利率機會成本＋房屋稅＋土地稅）。 再考慮房貸利息扣除額最高30萬元，租屋扣除額最高為12萬元，二者間之「稅盾」差異為18萬元，再乘上稅率。 缺點：(i)未考慮租屋未來租金是否調整及不安全感；(ii)未考慮購買房價未來折舊貶值或增值的潛力。
淨現值法 淨現值之介紹： 其中，CF1～n為未來各期現金流量；CF0為期初投入自有資本，k為自有資本必要報酬率。
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