Unit 12 自然演繹法 授課教師：傅皓政 老師 【本著作除另有註明外，採取創用CC「姓名標示－非商業性－相同方式分享」台灣3.0版授權釋出】

Unit 12 自然演繹法 除了命題邏輯的推論規則之外，還需要 處理量詞的規則。 量詞規則的分類：個例規則、通稱規則、 否定規則。 真值樹法與自然演繹法的差別在於：自然演繹法的限制在於無法證明其為有效論證，真值樹法卻可以。 自然演繹法與真值樹法不同處在於：真值樹法只有分解規則，在量詞中只有個例化規則，然自然演繹法不僅有個例化規則，尚有普遍化規則。

Unit 12 自然演繹法 (1) 全稱個例規則：(UI, universal instantiation) (x)(x) (n/x) 遇到for all x，x可帶任意名稱。

Unit 12 自然演繹法 (2) 全稱通稱規則：(UG, universal generalization) (n) (x)(x/n) 此處出現的 n 不能是已有特定指涉的名 稱符號，也不能是由 EI 規則得到的語 句中的名稱符號。 原來是(n)，要變成xx，這會有問題，比如： 我說：「班上A被我當掉了。」 同學問：「A是誰？」 我說：「我不知道，反正A被我當掉了。」 然後同學就很悲傷的說：「班上所有人都被當掉了。」 因對所有x來說，x都被當掉了。 比如： 全班過年的壓歲錢都超過十萬，就得到一個個例，有個A壓歲錢超過十萬，那我可以推回所有人壓歲錢都超過十萬，因我是從x得來，若非由x得來，就不能推回去，此為其限制。 能否用此規則的限制在於： 一、不可為個體常元，必須原來即為name latter的角色。 二、它必須要由x來，也就是須從全稱量詞來，不可從存在量詞來。若是由全稱量詞個例化再普遍化，是可以的，若是由存在量詞被個例化，便不可普遍化。 因此若此推論是，班上有些人壓歲錢十萬塊以上，得到有人壓歲錢十萬塊以上，因此全班壓歲錢皆十萬塊以上，便不合理。

Unit 12 自然演繹法 (3) 存在通稱規則：(EG, existential generalization) (n) (x)(x/n) 此處出現的 n 沒有限制。

Unit 12 自然演繹法 (4) 存在個例規則：(EI, existential instantiation) (x)(x) 必須確定所用的name latter前面沒用過。

Unit 12 自然演繹法 否定規則：(QN) 定義：(x)(x) =df. (x)(x) ⊢(x)(x)  (x)(x) ⊢(x)(x)  (x)(x) ⊢(x)(x)  (x)(x) ⊢(x)(x)  (x)(x)

Unit 12 自然演繹法 實例說明： (a) (x)Px , (y)Py(x)Qx, (x)(QxRx) ⊢ (x)(QxRx) (b) (x)(KxMx), (x)(KxNx), (x)(KxMx) ⊢(x)(KxNx) (c) (x)(CxDx), (x)Dx ⊢ (x)Cx (d) (x)(BxCx), (x)(AxBx) ⊢ (x)(AxCx) (e) (x)(y)Fxy ⊢(y)(x)Fxy (f) (x)(y)Fxy ⊢(x)(y)Fyx

Unit 12 自然演繹法 (a) 1. (x)Px 2. (y)Py(x)Qx 3. (x)(QxRx) 目 標 從結論推想，既是QxRx，則便須要QaRa或QbRb，最後用存在通則化(EG)即可。 從前提找，有QxRx，第三個前提告訴我們若有Qa，便可有Ra。

Unit 12 自然演繹法 (a) 1. (x)Px Pr 2. (y)Py(x)Qx Pr 3. (x)(QxRx) Pr 4. Pa 5. (y)Py 6. (x)Qx 7. Qa 8. QaRa 9. Ra 10. QaRa 11. (x)(QxRx) 推論步驟的建構是目標導向，因此要想辦法得到結論。

Unit 12 自然演繹法 (a) 1. (x)Px Pr 2. (y)Py(x)Qx Pr 3. (x)(QxRx) Pr 4. Pa 1, UI 5. (y)Py 4, EG 6. (x)Qx 2,5 MP 7. Qa 6, UI 8. QaRa 3, UI 9. Ra 7,8 MP 10. QaRa 7,9 Conj 11. (x)(QxRx) 10, EG

Unit 12 自然演繹法 (b) 1. (x)(Kx  Mx) 2. (x)(Kx  Nx) 3. (x)(Kx  Mx) 目 標 (x)(Kx  Nx) 有三前提，要得到結論，思路應該如何？結論是，從前面那裡可以得到Ka，三個前提都有，然都是選言，大概的思考是去否定一個來得到另一個，這有點麻煩，Mx又要靠Ka。這想法要利用到條件句的三段論，就是P則Q，Q則R，以得到P則R。

Unit 12 自然演繹法 (b) 1. (x)(Kx  Mx) Pr 2. (x)(Kx  Nx) Pr 4. Ka  Ma 5. Ma  Ka 6. Ma  Ka 7. Ma  Ka 8. Ka  Ma 9. Ka  Ka 10. Ka  Ka 11. Ka 12. Ka  Na 13. Na 14. Ka  Na 15. (x)(Kx  Nx) 自然演繹法中、此所見的a、b、c均為name latter，而非個體常元的角色，否則便無法使用UG。 自然演繹法特點是證明並非唯一，可以找到其他方式，重要的是目標導向的證明，要設法得到結論。盲點是若為無效論證，是無法證明，此及自然演繹法的盲點。 知道這樣證，是需要一些天賦或洞見(insight)，需要訓練的，自然演繹法中沒有標準作業流程，但有一些策略，以訓練思考。 初接觸邏輯，最大的困擾就是「我怎麼知道要這樣證？」我們只能提供一些策略，多加練習。

Unit 12 自然演繹法 (b) 1. (x)(Kx  Mx) Pr 2. (x)(Kx  Nx) Pr 4. Ka  Ma 3, UI 5. Ma  Ka 4, Comm 6. Ma  Ka 5, DN 7. Ma  Ka 6, Impl 8. Ka  Ma 1, UI 9. Ka  Ka 7, 8, HS 10. Ka  Ka 9, Impl 11. Ka 10, Taut 12. Ka  Na 2, UI 13. Na 11, 12, DS 14. Ka  Na 11, 13, Conj 15. (x)(Kx  Nx) 14, EG

Unit 12 自然演繹法 (c) 1. (x)(CxDx) 2. (x)Dx 目 標 (x)Cx

Unit 12 自然演繹法 (c) 1. (x)(CxDx) Pr 2. (x)Dx Pr 3. (x)(CxDx) 5. Da 6. CaDa 7. CaDa 8.  Da 9. Ca 10. (x)Cx 證明若是對所有的x就不能這樣推，為什麼？就是它的a從那來，是從前提二來的，所以最後不能用UG規則。 比如：班上有同學期末滿分，無法進一步推論所有人都滿分。

Unit 12 自然演繹法 (c) 1. (x)(CxDx) Pr 2. (x)Dx Pr 3. (x)(CxDx) 1, QN 4. (x)(CxDx) 3, DeM 5. Da 2, EI 6. CaDa 4, UI 7. CaDa 6, DN 8.  Da 5, DN 9. Ca 7,8, DS 10. (x)Cx 9, EG

Unit 12 自然演繹法 (d) 1. (x)(BxCx) 2. (x)(AxBx) 目 標 (x)(AxCx)

Unit 12 自然演繹法 (d) 1. (x)(BxCx) 2. (x)(AxBx) 3. AaBa 4. (AaBa )(BaAa) 5. BaAa 6. AaBa 7. AaBa 8. BaCa 9. AaCa 10. AaCa 11. AaCa 12. (x)(AxCx)

Unit 12 自然演繹法 (d) 1. (x)(BxCx) Pr 2. (x)(AxBx) Pr 3. AaBa 2, UI 4. (AaBa )(BaAa) 3, Equiv 5. BaAa 4, Simp 6. AaBa 5, Contra 7. AaBa 6, DN 8. BaCa 1, UI 9. AaCa 7, 8, HS 10. AaCa 9, Impl 11. AaCa 10, DN 12. (x)(AxCx) 11, EG

Unit 12 自然演繹法 (e) 1. (x)(y)Fxy 目 標 (y)(x)Fxy

Unit 12 自然演繹法 (e) 1. (x)(y)Fxy Pr 2. (y)Fay 3. Fab 4. (x)Fxb 5. (y)(x)Fxy

Unit 12 自然演繹法 (e) 1. (x)(y)Fxy Pr 2. (y)Fay 1, UI 3. Fab 2, UI 4. (x)Fxb 3, UG 5. (y)(x)Fxy 4, UG

Unit 12 自然演繹法 (f) 1. (x)(y)Fxy 目 標 (x)(y)Fyx

Unit 12 自然演繹法 (f) 1. (x)(y)Fxy Pr 2. (y)Fay 3. Fab 4. (y)Fyb 5. (x)(y)Fyx

Unit 12 自然演繹法 (f) 1. (x)(y)Fxy Pr 2. (y)Fay 1, UI 3. Fab 2, UI 4. (y)Fyb 3, UG 5. (x)(y)Fyx 4, UG